三層媒質(zhì)中電偶極子的仿真

宋志宏，種滿東

（海軍裝備部駐西安地區(qū)軍事代表局，西安710054）

三層媒質(zhì)中電偶極子的仿真

宋志宏，種滿東

（海軍裝備部駐西安地區(qū)軍事代表局，西安710054）

偶極子模型是進(jìn)行水下電磁場建模的主要手段，研究其在海水中產(chǎn)生的場具有重要的實(shí)際意義。針對這個(gè)問題，利用鏡像法，在空氣-海水-海底三層模型下，在電磁場唯一性原理的基礎(chǔ)上，通過矢量磁位方法分別推導(dǎo)了垂直和水平電偶極子在海水中產(chǎn)生的極低頻電磁波的解析表達(dá)式。通過該方法推導(dǎo)電磁波表達(dá)式的過程更加簡單，且各個(gè)分量有明確的物理意義。仿真結(jié)果表明：水平電偶極子的電場和磁場的所有分量場強(qiáng)均大于垂直電偶極子的分量；水平電偶極子在海深方向具有方向性，而垂直電偶極子沒有方向性。這些有益的結(jié)論為進(jìn)一步利用垂直/水平電偶極子進(jìn)行極低頻電磁波研究提供參考。

鏡像法；三層模型；垂直電偶極子；水平電偶極子；極低頻

電磁波在分層導(dǎo)電媒質(zhì)中的傳播，一直受到人們極大的關(guān)注，隨著水下電、磁傳感器靈敏度的提高及信號(hào)處理技術(shù)的進(jìn)步，使得水下電磁波遠(yuǎn)距離被檢測到成為可能，因而很多學(xué)者開始投入該領(lǐng)域的研究，從而促使了水下電磁波研究的飛速發(fā)展［1-2］。無論是在水下通信［3-4］、潛艇探測和通信［5-7］、海洋監(jiān)測方面［8］，還是在近幾年的熱點(diǎn)研究如水下航行器的導(dǎo)航與通信［9］、水下無線傳感器網(wǎng)絡(luò)［10］、水下基站數(shù)據(jù)交互［11］等領(lǐng)域，都需要建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型并通過合適的計(jì)算方法來確定介質(zhì)中的電磁波，因此對電磁波數(shù)學(xué)模型的建立及其在分層媒質(zhì)中的傳播特性，一直是研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)［12-16］。

電偶極子模型是一種最基本的電磁場源，從Sommerfeld開始，人們就關(guān)注偶極子天線在分層導(dǎo)電媒質(zhì)中的輻射問題，建立了一系列諸如此類問題的數(shù)學(xué)模型；倪海等［17］在假定海水是無限深的情況下討論了二層導(dǎo)電媒質(zhì)（空氣、海水）中水平電偶極子的輻射問題；盧新城等［18］推導(dǎo)出極低頻時(shí)諧水平電偶極子在海水中（二層導(dǎo)電媒質(zhì)）所產(chǎn)生電磁場的近似解析表達(dá)式，上述2種研究可用于深海環(huán)境（海底影響忽略不計(jì)）。但當(dāng)偶極子天線處于淺海環(huán)境中時(shí)，由于海底反射波、海底表面波、海面海底之間的相互作用的存在，此時(shí)研究海水中電磁波的傳播特性時(shí)，不能忽略海底的影響，這時(shí)需建立三層導(dǎo)電媒質(zhì)（空氣、海水、海底），研究其中偶極子模型的傳播特性。陳聰?shù)龋?9-20］研究了分層導(dǎo)電媒質(zhì)中頂層極低頻時(shí)諧電偶極子在絕緣介質(zhì)半空間中產(chǎn)生的電磁場分布，劉勝道等［21］利用并矢格林函數(shù)法推導(dǎo)出三層導(dǎo)電媒質(zhì)（空氣、海水、海底）中垂直/水平電偶極子的解析表達(dá)式。

國內(nèi)外學(xué)者分別對水平和垂直電偶極子進(jìn)行研究。然而，三層媒質(zhì)中2種偶極子在海水中的極低頻電磁場強(qiáng)度對比，該方面還沒有人給出明確結(jié)論。

鏡像法是根據(jù)唯一性原理求解某些具有導(dǎo)體邊界的電磁場邊值問題的一種經(jīng)典方法［22-23］。本文以空氣-海水-海底三層模型為例，通過鏡像分別對垂直和水平電偶極子在海水中產(chǎn)生的電磁場進(jìn)行了推導(dǎo)，計(jì)算結(jié)果表明，水平電偶極子的所有分量均大于垂直電偶極子的分量，但是水平電偶極子在海水中產(chǎn)生的電磁場在海深方向具有方向性，而垂直電偶極子沒有方向性。這些有益的結(jié)論為進(jìn)一步利用垂直/水平電偶極子進(jìn)行極低頻電磁波研究提供參考。

1　三層媒質(zhì)中的電偶極子模型

考慮各向同性的三層媒質(zhì)，上半空間為空氣（絕緣媒質(zhì)），中間層為海水（導(dǎo)電媒質(zhì)），最下層為海底（導(dǎo)電媒質(zhì)）。如圖1所示。垂直/水平電偶極子位于海水介質(zhì)中，其中偶極子通有電流為I，長度為L，柱坐標(biāo)系的原點(diǎn)設(shè)置在空氣和海水分界面上，海水中任意點(diǎn)的場點(diǎn)坐標(biāo)為（ρ，φ，z）。在區(qū)域l（l取1，2，3）中，介電常數(shù)為ε1，磁導(dǎo)率為 μ1，電導(dǎo)率為σ1。k1為區(qū)域1中的傳播常數(shù)。需要說明的是海水區(qū)域中的ε1和σ1不等于真空中的介電常數(shù)和電導(dǎo)率，而是海水中的介質(zhì)參數(shù)，這些參數(shù)在很多文獻(xiàn)中都有介紹，這里不再詳細(xì)介紹和推導(dǎo)。

圖1　三層媒質(zhì)中的垂直/水平電偶極子Fig.1 Vertical/horizontal electric dipole in three medium

2　鏡像法推導(dǎo)矢量磁位

眾所周知，根據(jù)麥克斯韋方程組推導(dǎo)電磁場的表達(dá)式主要有波動(dòng)方程、傅里葉變換和矢量位等3種方法。由于通過矢量位方法推導(dǎo)得到的電磁場表達(dá)式，物理意義更明顯，公式推導(dǎo)更方便，越來越多的學(xué)者采用該方法推導(dǎo)電磁場解析表達(dá)式，本文也采用該方法推導(dǎo)垂直/水平電偶極子在三層媒質(zhì)中的電磁場的解析表達(dá)式。鑒于篇幅有限，本文只給出了垂直電偶極子的詳細(xì)推導(dǎo)過程，水平電偶極子可通過同樣推導(dǎo)方法得出解析表達(dá)式，在后面直接給出其最終表達(dá)式，這里不再贅述。

采用鏡像法推導(dǎo)矢量磁位時(shí)，需要先將三層媒質(zhì)簡化為二層媒質(zhì)，分別推導(dǎo)出2個(gè)分界面的反射系數(shù)，再推導(dǎo)2個(gè)界面都存在時(shí)總的矢量磁位。

2.1僅存在空氣和海水分界面

僅存在空氣、海水二層媒質(zhì)時(shí)，由于矢量磁位平行于偶極子方向，只有z分量。在海面之上空間不存在場源，在區(qū)域1中矢量磁位A1z滿足齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程［24］，即

式（1）可以用分離變量法求解。由于垂直偶極子的旋轉(zhuǎn)對稱性，通解與方位角無關(guān)，可以寫出矢量磁位A1z的表達(dá)式。即

式（2）中的指數(shù)取正號(hào)，是因?yàn)楹Ｃ嬷献鴺?biāo)z是負(fù)值。式（2）實(shí)際上是垂直電偶極子產(chǎn)生的、透過邊界面的矢量磁位。

在區(qū)域2中（垂直電偶極子所在區(qū)域），矢量磁位滿足非齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程，即

如圖2所示，場點(diǎn)位于海水中，即z≥0，則由鏡像法可設(shè)像I′L位于），全空間視為充滿海水。式（4）第1項(xiàng)是齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程的通解；第2項(xiàng)是非齊次標(biāo)量亥姆霍茲方程的特解。從物理意義上說，第1項(xiàng)為像（z=0界面反射）在場點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位；第2項(xiàng)為源在場點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位；區(qū)域2中的矢量磁位是源和像（z=0界面反射）的矢量磁位之和。

圖2　鏡像法求二層媒質(zhì)（空氣-海水）時(shí)海水中的場Fig.2 Deriving the field of seawater in the two media（air-seawater）by mirror method

根據(jù)垂直矢量磁位的邊界條件：

式（6）第1項(xiàng)是場源（垂直電偶極子）產(chǎn)生的矢量磁位；第2項(xiàng)是像（z=0界面反射）產(chǎn)生的矢量磁位；-P可以看作是界面（空氣-海水）對不均勻平面波譜的反射系數(shù)。

2.2僅存在海水和海底分界面

當(dāng)僅存在海水、海底二層媒質(zhì)時(shí)，同理2.1中的分析可知，區(qū)域2內(nèi)源和像（z=D界面反射）共同在場點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位的表達(dá)式為：

同理，式（7）第1項(xiàng)是源（垂直電偶極子）在場點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位，第2項(xiàng)是像（z=D界面反射）在場點(diǎn)產(chǎn)生的矢量磁位。-Q可以看作是界面（海水-海底）對不均勻平面波譜的反射系數(shù)。

2.3存在2個(gè)平行界面

當(dāng)z=0和z=D界面同時(shí)存在，場點(diǎn)處的矢量磁位不僅是由源和2個(gè)像產(chǎn)生，還包括2個(gè)界面間n次反射后的到達(dá)場點(diǎn)的矢量磁位。因此，位于海水中一個(gè)垂直電偶極子在海水中的場點(diǎn)處產(chǎn)生的場，用圖3所示的無窮多個(gè)鏡像垂直電偶極子分別在無限大的海水空間產(chǎn)生的場的疊加來等效。-P和-Q分別是2個(gè)分界面的反射系數(shù)，對圖3中場源和所有鏡像源，相對應(yīng)的傳播路徑及其矢量磁位表達(dá)式見表1。通過對比分析，可將電偶極子及其所有的鏡像劃分為4類，見表2。表中：m=0，1，2，…，n=1，2，…。三層媒質(zhì)中，區(qū)域2內(nèi)總的垂直矢量磁位的表達(dá)式為：式（8）中，

圖3　三層媒質(zhì)時(shí)的垂直電偶極子的鏡像Fig.3 Mirror by VED in three medium

表1　場源和鏡像源對應(yīng)的傳播路徑及矢量磁位表達(dá)式Tab.1 Propagation paths and magnetic vector expressions from source and mirror sources

表2　根據(jù)不同位置劃分的4類場源和所有鏡像Tab.2 Source and mirror sources classified into four categories depending on the location

3　海水中的電磁場表達(dá)式

對于線性、均勻、各向同性導(dǎo)電媒質(zhì)，由Max-well方程組可得時(shí)諧電磁場的矢量磁位A、電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B滿足：

3.1垂直電偶極子

由于垂直電偶極子的矢量磁位只有z分量，且不隨方位角變化，因而在柱坐標(biāo)系內(nèi)只產(chǎn)生1個(gè)磁場分量，2個(gè)電場分量，即徑向電場公式為：

式（11）中，

垂直電場和方位角磁場分別為：

3.2水平電偶極子

由上面推導(dǎo)得水平電偶極子的各方向的電磁場。

徑向電場公式為：

方位角電場公式為：

垂直磁場公式為：

徑向磁場公式為：

方位角磁場公式為：

垂直電場公式為：

式（13）～（19）中：

4　仿真實(shí)驗(yàn)

前面給出了垂直/水平電偶極子的解析表達(dá)式，可以通過仿真對比分析2種偶極子的電磁場強(qiáng)度。本文解析式中的積分采用高斯勒讓德數(shù)值積分的方法來求解，在不追求算法速度的條件下，該方法計(jì)算過程簡單且結(jié)果足夠精確，可得到足夠準(zhǔn)確的結(jié)果。

仿真條件：垂直/水平電偶極子的電偶極矩都為1L=10 C·m，頻率為3Hz，海水的深度為D，場源深度為z0，接收點(diǎn)深度為z，各種介質(zhì)參數(shù)如表3所示。

表3　三層媒質(zhì)的介質(zhì)參數(shù)Tab.3 Three medium medium parameters

數(shù)值計(jì)算結(jié)果如圖4所示。圖4是場源深度40 m，場點(diǎn)深度20 m，海水深度100 m時(shí)，海水中2種電偶極子的電場和磁場各個(gè)方向場強(qiáng)分量與水平距離的關(guān)系曲線，VED表示垂直電偶極子，HED表示水平電偶極子。

圖4　海水中極低頻垂直/水平電偶極子產(chǎn)生的電場、磁場強(qiáng)度與水平距離的關(guān)系Fig.4 Relationship between field intensity and horizontal distance by ELF vertical/horizontal electric dipole in the seawater

從圖4可以看出：2種電偶極子的電場和磁場各個(gè)方向的場強(qiáng)分量衰減趨勢相似，在近場衰減很快，隨著距離的增加，衰減逐漸趨于平穩(wěn)；此外，水平電偶極子的所有分量均大于垂直電偶極子的分量，同方向的場強(qiáng)差大約都在60 dBm左右。因此，采用偶極子天線模擬場源時(shí)，可以首先考慮水平電偶極子。

圖5是場源深度200 m、海水深度400 m時(shí)對2種電偶極子電場E2ρ分量場強(qiáng)空間分布的仿真計(jì)算。

圖5　海水中極低頻垂直/水平電偶極子產(chǎn)生的電磁場的空間分布Fig.5 Spatial distribution of electromagnetic field by ELF vertical/horizontal electric dipole in the seawater

顯而易見，海水中水平電偶極子在海水中產(chǎn)生的電磁場在海深方向具有方向，而垂直電偶極子沒有方向性。水平電偶極子的其他5個(gè)分量也同樣具有方向性，垂直電偶極子的其他2個(gè)分量沒有方向性（由于篇幅限制，這里沒有給出仿真結(jié)果圖）。因此，在接收水平電偶極子發(fā)射天線的遠(yuǎn)場信號(hào)時(shí)，需要考慮方向性對場強(qiáng)的影響。

5　結(jié)論

本文利用鏡像法，在空氣-海水-海底三層模型下，在電磁場惟一性原理的基礎(chǔ)上，通過矢量磁位方法詳細(xì)的推導(dǎo)了垂直電偶極子在海水中產(chǎn)生的電磁場的解析表達(dá)式，并給出了水平電偶極子的解析表達(dá)式。通過該方法推導(dǎo)電磁波表達(dá)式的過程更加簡單，且各個(gè)分量有明確的物理意義，能夠清晰地反映出電磁波的傳播路徑。

本文通過對2種偶極子的仿真對比得出以下結(jié)論：2種電偶極子的電場和磁場各個(gè)方向的場強(qiáng)分量衰減趨勢相似，在近場衰減很快，隨著距離的增加，衰減逐漸趨于平穩(wěn)；水平電偶極子的電場和磁場的所有分量場強(qiáng)均大于垂直電偶極子的分量，同方向的分量差大概在60 dBm，在模擬場源時(shí)可以優(yōu)先選擇水平電偶極子；水平電偶極子在海深方向具有方向，而垂直電偶極子沒有方向性。因此研究水平電偶極子時(shí)，為了獲得最佳接收效果需要考慮其方向性。

這些有益的結(jié)論為進(jìn)一步利用垂直/水平電偶極子進(jìn)行極低頻電磁波研究提供參考。

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Simulation Analysis of Electric Dipoles in Three-Layer Medium Model

SONG Zhihong，ZHONG Mandong
（Military Representatives Bureau of Naval Equipment Department in Xi’an District，Xi’an 710054，China）

The dipole model in sea is the major measures in electromagnetic field，so it is practically important to study the fields in the sea generated by the dipole.In the three layers model of air-sea water-seafloor，the analytical expressions of ELF（extremely low frequency）EM（electromagnetic）wave produced by VED（vertical electric dipole）and HED（horizontal electric dipole）source located in seawater which had been derived in the space of seawater by using the mirror image theory according to the uniqueness theorem of electromagnetic field.The physical meaning was more apparent，and the derived formula was more convenient through this method.Simulation results showed that all the components of the HED the field intensity of electric and magnetic fields are greater than the VED.The HED had the directions in the sea deep，but not the VED.These conclusions provided

for the ELF EM wave studies by the HED and VED.

image method；three layers model；vertical electric dipole；horizontal electric dipole；extremely low frequency

O451

A

1673-1522（2016）04-0423-07

10.7682/j.issn.1673-1522.2016.04.004

2016-01-18；

2016-04-21

宋志宏（1977-），男，工程師，碩士。