空心線圈電感量計(jì)算公式的推導(dǎo)與驗(yàn)證

丁琬清

【摘 要】為準(zhǔn)確計(jì)算空心線圈電感量，本文采用控制變量法的思路設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)，分別分析線圈匝數(shù)N，線圈直徑D以及線圈長(zhǎng)徑比i對(duì)空心線圈電感量的影響規(guī)律，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步推導(dǎo)并驗(yàn)證了空心線圈電感量計(jì)算公式。

【關(guān)鍵詞】線圈匝數(shù)；線圈直徑；線圈長(zhǎng)徑比

0 緒論

電感線圈是一種由一圈靠一圈的導(dǎo)線繞在絕緣管上而制成的，依靠電磁感應(yīng)原理進(jìn)行工作的電氣元件，導(dǎo)線之間彼此互相絕緣。電感線圈在電路中主要起著一個(gè)穩(wěn)流作用，抑制電流的變化，防止電流突變。

電感線圈的電特性正好與電容器相反，即“通低頻，阻高頻”。高頻信號(hào)通過電感線圈時(shí)會(huì)遇到很大的阻力，很難通過；而對(duì)低頻信號(hào)通過它時(shí)所呈現(xiàn)的阻力則比較小，即低頻信號(hào)可以較容易的通過它。因此，電感線圈對(duì)交流電的電阻是隨著頻率的增加而變大的，而對(duì)直流電的電阻幾乎為零。而對(duì)于電感線圈在電路中所表現(xiàn)出的對(duì)交流電的阻礙作用，我們稱之為線圈的感抗，與電容的容抗以及電阻的阻抗相對(duì)應(yīng)。感抗的單位是歐姆，其大小由電流的頻率和線圈的電感量決定。其中電感量作為線圈本身的固有特性，可以用來衡量線圈產(chǎn)生電磁感應(yīng)能力的大小，是電感器工業(yè)生產(chǎn)中的關(guān)鍵參數(shù)。所以，如何準(zhǔn)確計(jì)算電感線圈的電感量對(duì)于電感元件的發(fā)展有著極為重要的意義。

因此，為進(jìn)一步了解線圈電感量的變化規(guī)律以及計(jì)算方法，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)用以探究空心線圈電感量與各參數(shù)之間的變化關(guān)系，并且在這些變化關(guān)系的基礎(chǔ)上對(duì)空心線圈電感量的計(jì)算公式進(jìn)行了推導(dǎo)與驗(yàn)證。

1 實(shí)驗(yàn)方案

為設(shè)計(jì)一個(gè)探究空心線圈電感量的變化規(guī)律的實(shí)驗(yàn)，首先，需要確定本實(shí)驗(yàn)中所涉及的實(shí)驗(yàn)變量以及所采用的實(shí)驗(yàn)方法；其次，需要選用相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)器材以及設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)電路；最后，需要確定實(shí)驗(yàn)的測(cè)試原理。

1.1 確定實(shí)驗(yàn)變量

通過對(duì)現(xiàn)有資料的查閱，可以發(fā)現(xiàn)空心電感線圈電感量主要與線圈的匝數(shù)N、線圈的直徑D以及線圈的長(zhǎng)徑比（線圈長(zhǎng)度l與線圈直徑D的比值，i=L/D）i有關(guān)。因此，本實(shí)驗(yàn)中所研究的實(shí)驗(yàn)變量分別為線圈的匝數(shù)N、直徑D以及長(zhǎng)徑比i。

1.2 選取實(shí)驗(yàn)方法

為分別研究上述3個(gè)變量對(duì)空心線圈電感量的變化規(guī)律，本文采用控制變量法。即保持其中兩個(gè)變量不變，通過改變另一個(gè)變量的方式來研究此變量對(duì)空心線圈電感量的影響規(guī)律。

1.3 選用實(shí)驗(yàn)器材

由于線圈電感量不方便直接測(cè)量，所以本文通過間接測(cè)量線圈感抗的方式來計(jì)算線圈的電感量。因此，本實(shí)驗(yàn)所需要的器材如下：

①一個(gè)5V的交流電源，電源頻率為100kHz；

②一根橫截面為4mm2，長(zhǎng)度為3m的銅芯導(dǎo)線；

③一個(gè)量程為3V的電壓表；

④一個(gè)量程為0.6A的電流表；

⑤阻值范圍為0～50Ω的滑動(dòng)變阻器一個(gè)；

⑥開關(guān)一個(gè)，導(dǎo)線若干。

1.4 設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)電路

針對(duì)上述所選用的實(shí)驗(yàn)器材，本文所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)電路圖如圖1所示。

1.5 闡述實(shí)驗(yàn)原理

影響空心線圈電感量的參數(shù)主要有線圈的匝數(shù)N、直徑D以及長(zhǎng)徑比i，本文研究這3個(gè)參數(shù)分別對(duì)線圈電感量的影響規(guī)律，并推導(dǎo)出空心線圈電感量的計(jì)算公式，本文所設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)原理如下：

①依據(jù)控制變量法設(shè)定實(shí)驗(yàn)數(shù)值，即在研究某一參數(shù)對(duì)線圈電感量的影響規(guī)律時(shí)，保持另外兩個(gè)參數(shù)不變，僅改變此參數(shù)的大?。?/p>

②用一根橫截面為4mm2，長(zhǎng)度為3m的銅芯導(dǎo)線按上述實(shí)驗(yàn)參數(shù)繞制出相應(yīng)電感線圈，并將繞制成的電感線圈接入如圖1所示的實(shí)驗(yàn)電路中；

③通過圖1中的電壓表以及電流表，計(jì)算出空心線圈的感抗，其計(jì)算過程如公式（1）所示。

④依據(jù)所得的感抗值進(jìn)一步計(jì)算出線圈的電感量，其計(jì)算過程如公式（2）所示。

⑤分別繪制出電感量L隨匝數(shù)N、直徑D以及長(zhǎng)徑比i變化的關(guān)系曲線，并通過相應(yīng)曲線得出匝數(shù)N、直徑D以及長(zhǎng)徑比i與電感量L之間的函數(shù)關(guān)系式分別公式（3）所示。

⑥綜合分析這3個(gè)參數(shù)與線圈電感量之間的函數(shù)關(guān)系式，并從中推導(dǎo)出空心線圈電感量的計(jì)算公式公式（4）所示。

2 實(shí)驗(yàn)分析與數(shù)據(jù)處理

采用控制變量法做三組實(shí)驗(yàn)分別分析線圈匝數(shù)N、直徑D以及長(zhǎng)徑比i對(duì)線圈電感量的影響規(guī)律：

2.1 線圈匝數(shù)N

保持線圈的直徑D為10mm，長(zhǎng)徑比i為10不變，令線圈匝數(shù)N在20～60圈的范圍內(nèi)變化，步長(zhǎng)為5圈。根據(jù)上述數(shù)據(jù)繞制線圈，并將線圈接入電路中可以得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表1所示。

以線圈匝數(shù)N為橫坐標(biāo)，電感量L為縱坐標(biāo)將表1中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)描于網(wǎng)格圖上，并以一條平滑的曲線將數(shù)據(jù)連接起來，如圖2所示。

通過觀察圖2中的數(shù)據(jù)與曲線，可以發(fā)現(xiàn)本次試驗(yàn)結(jié)果接近一條二次曲線。這說明當(dāng)線圈直徑D與線圈長(zhǎng)徑比i保持不變時(shí)，線圈電感量L與線圈匝數(shù)N之間是一種二次函數(shù)關(guān)系，即L∝N。因此，電感量L與線圈匝數(shù)N之間的函數(shù)關(guān)系式可以表述如下：

2.2 線圈直徑D

保持線圈匝數(shù)N為15圈，長(zhǎng)徑比i為5不變，令線圈直徑D在10～50mm的范圍內(nèi)變化，步長(zhǎng)為5mm。根據(jù)上述數(shù)據(jù)繞制線圈，并將線圈接入電路中可以得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表2所示。

以線圈直徑D為橫坐標(biāo)，電感量L為縱坐標(biāo)將表2中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)描于網(wǎng)格圖上，并以一條平滑的曲線將數(shù)據(jù)連接起來，如圖3所示。

通過觀察圖3中的數(shù)據(jù)與曲線，可以發(fā)現(xiàn)本次試驗(yàn)結(jié)果與一條通過零點(diǎn)的直線相接近。這說明當(dāng)線圈匝數(shù)N與線圈長(zhǎng)徑比i保持不變時(shí)，線圈電感量L與線圈直徑D之間是一種正比例函數(shù)關(guān)系，即L∝D。因此，電感量L與線圈匝數(shù)N之間的函數(shù)關(guān)系式可以表述如下：

2.3 長(zhǎng)徑比i

保持線圈匝數(shù)N為20圈，線圈直徑D為10mm不變，令長(zhǎng)徑比i在1～10的范圍內(nèi)變化，步長(zhǎng)為1。根據(jù)上述數(shù)據(jù)繞制線圈，并將線圈接入電路中可以得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3所示。

以線圈長(zhǎng)徑比i為橫坐標(biāo)，電感量L為縱坐標(biāo)將表3中實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)描于網(wǎng)格圖上，并以一條平滑的曲線將數(shù)據(jù)連接起來，如圖4所示。

為確定公式（8）中常數(shù)a、b的具體數(shù)值，選取兩個(gè)已知參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)空心線圈接入實(shí)驗(yàn)電路進(jìn)行測(cè)量。為提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性，采用多次測(cè)量取平均值的方法降低實(shí)驗(yàn)誤差。兩標(biāo)準(zhǔn)空心線圈參數(shù)如表4所示。

將兩線圈分別接入電路進(jìn)行多次測(cè)量，并取平均值得到結(jié)果如表5所示。

將表5中的測(cè)量平均值代入公式（9）中可以得到常數(shù)a、b的具體數(shù)值分別為a=0.47，b=0.0011。將常數(shù)a、b的數(shù)值代入公式（9）中可以進(jìn)一步得到空心線圈電感量L的計(jì)算公式如下：

將本文所推導(dǎo)出的空心線圈電感量L的計(jì)算公式（10）與現(xiàn)有的空心線圈電感量L的經(jīng)驗(yàn)公式（11）對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)本文所推導(dǎo)的公式與現(xiàn)行經(jīng)驗(yàn)公式極為接近。這表明本文的推導(dǎo)過程具有較高的可信度，所得出的結(jié)論具有一定的理論價(jià)值。同時(shí)，本文所推導(dǎo)出的計(jì)算公式也反過來驗(yàn)證了現(xiàn)行經(jīng)驗(yàn)公式的準(zhǔn)確性。

3 結(jié)論

在本文推導(dǎo)空心線圈電感量L計(jì)算公式的過程中可以得到以下結(jié)論：

（1）當(dāng)線圈直徑D與線圈長(zhǎng)徑比i保持不變時(shí)，線圈電感量L與線圈匝數(shù)N之間是一種二次函數(shù)關(guān)系，即L∝N；

（2）當(dāng)線圈匝數(shù)N與線圈長(zhǎng)徑比i保持不變時(shí)，線圈電感量L與線圈直徑D之間是一種正比例函數(shù)關(guān)系，即L∝D；

（3）當(dāng)線圈匝數(shù)N與線圈直徑D保持不變時(shí)，線圈電感量L與（i+a）之間是一種反比例函數(shù)關(guān)系，即L∝（a為常數(shù)）。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉修泉，曾昭瑞，黃平.空心線圈電感的計(jì)算與實(shí)驗(yàn)分析[J].工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào)，2008，02：149-153.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]