一類廣義互聯(lián)大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)重構(gòu)的魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定

李小華，嚴(yán) 慰，劉 洋

（遼寧科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，遼寧鞍山 114051）

一類廣義互聯(lián)大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)重構(gòu)的魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定

李小華，嚴(yán) 慰，劉 洋

（遼寧科技大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，遼寧鞍山 114051）

研究了一類廣義互聯(lián)大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)重構(gòu)時(shí)的魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定問題.首先給出廣義互聯(lián)大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)重構(gòu)的數(shù)學(xué)描述，然后利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式（LMI）的方法，在廣義大系統(tǒng)容許性的基礎(chǔ)上，給出了廣義互聯(lián)大系統(tǒng)及廣義擴(kuò)展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定的充分條件及狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法.最后通過仿真算例驗(yàn)證了所提出算法的有效性.

廣義互聯(lián)大系統(tǒng)；擴(kuò)展結(jié)構(gòu)；分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定；線性矩陣不等式

廣義大系統(tǒng)可以更好地描述許多實(shí)際生產(chǎn)過程，如大型電力系統(tǒng)、計(jì)算機(jī)通信網(wǎng)絡(luò)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)和社會(huì)系統(tǒng)等，從而引起了人們的廣泛關(guān)注［1］.近年來，對廣義大系統(tǒng)魯棒分散鎮(zhèn)定控制的研究取得許多成果.文獻(xiàn)［2］用特征值配置方法研究了廣義大系統(tǒng)狀態(tài)反饋魯棒分散鎮(zhèn)定問題；文獻(xiàn)［3］采用矩陣范數(shù)運(yùn)算和區(qū)間矩陣的秩-1矩陣技術(shù)研究了區(qū)間離散廣義大系統(tǒng)的魯棒分散鎮(zhèn)定問題；文獻(xiàn)［4］基于Lyapunov方法研究了一類離散廣義大系統(tǒng)在子系統(tǒng)正則的條件下的分散鎮(zhèn)定問題；文獻(xiàn)［5］應(yīng)用線性矩陣不等式（LMI）方法研究了一類具有數(shù)值界的參數(shù)定常不確定關(guān)聯(lián)廣義大系統(tǒng)的分散魯棒鎮(zhèn)定問題；文獻(xiàn)［6］基于一種正則、無脈沖標(biāo)準(zhǔn)分解，利用矩陣不等式理論研究了關(guān)聯(lián)不確定廣義大系統(tǒng)的魯棒分散鎮(zhèn)定問題；文獻(xiàn)［7］基于時(shí)滯相關(guān)的Lyapunov-Krasovskii泛函方法和大系統(tǒng)的分散控制理論，研究了一類時(shí)滯模糊廣義大系統(tǒng)的時(shí)滯相關(guān)分散可靠H∞控制問題.但是，這些研究均沒有考慮廣義大系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性，沒有考慮廣義大系統(tǒng)發(fā)生結(jié)構(gòu)重構(gòu)時(shí)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.文獻(xiàn)［8］雖研究了廣義大系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性，但沒有考慮系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題.

大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)重構(gòu)在實(shí)際中是常見的.當(dāng)大系統(tǒng)發(fā)生結(jié)構(gòu)重構(gòu)時(shí)會(huì)對其穩(wěn)定性造成很壞的影響，因此互聯(lián)大系統(tǒng)關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的問題是非常重要的.對于一般互聯(lián)大系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)重構(gòu)的分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定問題已有一些研究［9-13］.然而，對于廣義大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定方面的研究尚未見報(bào)道.本文利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式方法研究了廣義大系統(tǒng)結(jié)構(gòu)重構(gòu)時(shí)的分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定的問題，主要針對結(jié)構(gòu)重構(gòu)的2種情況：一種是廣義大系統(tǒng)的子系統(tǒng)脫離大系統(tǒng)或又重新連接上的結(jié)構(gòu)變化，另一種則是考慮了結(jié)構(gòu)擴(kuò)展的情況，即在原大系統(tǒng)的基礎(chǔ)上加入了新的子系統(tǒng)的情況.對這2種情況下的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性問題進(jìn)行了研究，通過推導(dǎo)此類廣義擴(kuò)展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定的充分條件，給出了廣義互聯(lián)大系統(tǒng)關(guān)聯(lián)穩(wěn)定控制器的設(shè)計(jì)方法，最后用仿真實(shí)例證明了此方法的有效性.

1　廣義互聯(lián)大系統(tǒng)模型及預(yù)備知識(shí)

考慮一類由N個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的廣義互聯(lián)大系統(tǒng)SN，其子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述為

而Ai、Bi、Ci、Gi、Hi為具有一定維數(shù)的常數(shù)矩陣，F(xiàn)i，j表示第j個(gè)子系統(tǒng)到第i個(gè)子系統(tǒng)的互聯(lián)，F(xiàn)i，j= 1表示有互聯(lián)，F(xiàn)i，j=0表示無互聯(lián).現(xiàn)對原廣義互聯(lián)大系統(tǒng)引入狀態(tài)反饋控制器，并將N個(gè)子系統(tǒng)閉環(huán)合寫為

式中根據(jù)Fi，j的變化可以給出子系統(tǒng)脫離大系統(tǒng)或重新連接上的情況.將互聯(lián)關(guān)系代入式（2），得閉環(huán)系統(tǒng)SN在此結(jié)構(gòu)變化時(shí)的數(shù)學(xué)描述為

而當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)擴(kuò)展時(shí)，用圖1的形式可以明確表示出結(jié)構(gòu)擴(kuò)展的情況.

圖1中，SN為由N個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的原系統(tǒng)，SN+1為新加入的子系統(tǒng)，它們之間的連接關(guān)系可通過關(guān)聯(lián)矩陣來表示：

式中，KN+1是該子系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制律.新加入的子系統(tǒng)和原系統(tǒng)間的連接關(guān)系為

則擴(kuò)展系統(tǒng)模型可表示為

將式（5）寫成閉環(huán)形式

這里，擴(kuò)展后的廣義互聯(lián)大系統(tǒng)（6）相比較原廣義互聯(lián)大系統(tǒng)（2）來說，大系統(tǒng)維數(shù)增加了，而且增加了新系統(tǒng)與原系統(tǒng)間的互聯(lián)項(xiàng).

將式（6）進(jìn)一步寫為緊縮形式

式中

式（7）表示出擴(kuò)展結(jié)構(gòu)廣義互聯(lián)系統(tǒng)的閉環(huán)模型.針對廣義互聯(lián)大系統(tǒng)（7），給出如下定義.

定義1［14］如果線性廣義大系統(tǒng)正則、穩(wěn)定且無脈沖，則稱該系統(tǒng)是容許的.

為了給出本文的主要結(jié)果，引入下面的引理.

引理1［15］當(dāng)且僅當(dāng)存在矩陣使得下式成立：

2　主要結(jié)果及證明

2.1廣義互聯(lián)大系統(tǒng)的分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定

在給出結(jié)果之前，先做如下假設(shè).

假設(shè)1 結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)Si（i=1，2，…，N）是容許的，即正則、穩(wěn)定且無脈沖.

假設(shè)2 廣義互聯(lián)系統(tǒng)SN的互聯(lián)項(xiàng)是不確定的，滿足二次約束：

針對子系統(tǒng)脫離大系統(tǒng)或又重新連接上的結(jié)構(gòu)變化，可以通過對系統(tǒng)SN的互聯(lián)項(xiàng)設(shè)定二次約束來體現(xiàn)出關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的分析.即當(dāng)Fi，j=0或1時(shí)，均在二次約束范圍內(nèi).

下面給出廣義互聯(lián)大系統(tǒng)分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定的主要結(jié)果.

成立，則廣義互聯(lián)大系統(tǒng)（3）是魯棒分散關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的.式中

則廣義互聯(lián)大系統(tǒng)中的分散狀態(tài)反饋控制律增益陣

即該控制律可以魯棒關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定廣義互聯(lián)大系統(tǒng)（3）.

證明：對于廣義互聯(lián)大系統(tǒng)（3）選擇Lyapunov函數(shù)

式中

由假設(shè)2，將其寫成矩陣不等式的形式為

又由假設(shè)1，結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)是正則無脈沖的，但要保證廣義互聯(lián)大系統(tǒng)正則無脈沖，根據(jù)引理1可知廣義互聯(lián)大系統(tǒng)（3）必須滿足

由于式（14）是一個(gè)等式約束，不能直接用LMI方法進(jìn)行求解，根據(jù)文獻(xiàn)［16］中的方法進(jìn)行如下變換：

式中β為任意小的正常數(shù).將式（15）寫為矩陣不等式即等價(jià)于式（10）.

由引理1可知，若要使廣義互聯(lián)大系統(tǒng)（3）穩(wěn)定，還需滿足

式（16）可等效為

對式（17）（13）運(yùn)用S-過程［11］，取τ=1，得

利用Schur補(bǔ)引理［11］，有

將式（19）整理得

式中

則

帶入到式（21）即可得到定理1中的式（11）.

由于表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)變化的Fi，j從1變?yōu)?或從0變?yōu)?時(shí)，系統(tǒng)互聯(lián)的變化仍在所限制的范圍內(nèi)，并仍可使穩(wěn)定性的條件成立，故控制律可以使廣義互聯(lián)大系統(tǒng)魯棒關(guān)聯(lián)穩(wěn)定.則廣義互聯(lián)大系統(tǒng)的分散狀態(tài)反饋控制律增益陣可由式（12）求出.

2.2結(jié)構(gòu)擴(kuò)展時(shí)廣義互聯(lián)大系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定

考慮在原結(jié)構(gòu)廣義互聯(lián)大系統(tǒng)SN的基礎(chǔ)上，加入一個(gè)新的子系統(tǒng)SN+1，組成擴(kuò)展結(jié)構(gòu)廣義互聯(lián)大系統(tǒng)如式（7）.對這樣的擴(kuò)展結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行控制設(shè)計(jì)，基本出發(fā)點(diǎn)是在不改變原結(jié)構(gòu)的分散控制律的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)新加入子系統(tǒng)的分散鎮(zhèn)定控制律，使得新子系統(tǒng)及擴(kuò)展后的大系統(tǒng)均保持關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性.

假設(shè)3 原結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)已具有分散關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制律，且正則、無脈沖、關(guān)聯(lián)穩(wěn)定.

假設(shè)4 新加子系統(tǒng)SN+1同樣滿足正則無脈沖條件.

式中：α2N＞0、αN+1＞0是不確定互聯(lián)的界；QN和QN+1為同維數(shù)的互聯(lián)約束矩陣，有

定理2 針對擴(kuò)展結(jié)構(gòu)廣義互聯(lián)大系統(tǒng)（7），如果存在對稱正定陣PN和PN+1，矩陣LN+1、MN+1，以及任意小的正常數(shù) β和正常數(shù) γN、γN+1，使得不等式

成立，式中

則廣義擴(kuò)展大系統(tǒng)（7）是魯棒分散關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的.新加入的子系統(tǒng)的分散控制律可由

求出.

證明：針對系統(tǒng)（7），選擇Lyapunov函數(shù)

式中

由假設(shè)5，將式（22）寫成矩陣不等式的形式

由引理1可知，若要保證廣義擴(kuò)展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)（7）正則無脈沖，則必須滿足

同理，將式（27）進(jìn)行變換

式（27）等價(jià)于

式中β取任意小的正常數(shù).這樣等式的形式轉(zhuǎn)變成了線性矩陣不等式的形式，展開后得到式（23）.

若廣義擴(kuò)展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)（7）滿足

則大系統(tǒng)穩(wěn)定，其等效為

對式（30）（26）運(yùn)用S-過程，且取τ=1，得

再利用Schur補(bǔ)引理，得

式中

將式（34）兩邊同乘YN+1=I），且設(shè)得

式中

由于式（35）是一個(gè)關(guān)于LN+1與KN+1的BMI，通過增加等式約束

帶入式（35），就將BMI轉(zhuǎn)變?yōu)榱薒MI，得到式（24）.

由于表示結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的Fi，j從1變?yōu)?或從0變?yōu)?時(shí)，系統(tǒng)互聯(lián)的變化仍在所約束限制的范圍內(nèi)，以及有假設(shè)3的條件，故控制律KN+1可以使整個(gè)廣義擴(kuò)展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)魯棒關(guān)聯(lián)穩(wěn)定.則新加入子系統(tǒng)的分散狀態(tài)反饋控制律增益陣可由式（25）求出.這樣，定理2得證.

3　算例

考慮廣義互聯(lián)大系統(tǒng)包含2個(gè)子系統(tǒng)S1和S2的情況，其數(shù)學(xué)模型為式（1）所示，且相應(yīng)系數(shù)矩陣為

由此可知，系統(tǒng)S1和S2均正則.這里子系統(tǒng)間的連接關(guān)系為

按照定理1的方法，通過求解式（10）（11）即可得出子系統(tǒng)的控制律分別為

然后，對原廣義大系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，其脈沖響應(yīng)曲線如圖2所示.

仿真結(jié)果表明2個(gè)子系統(tǒng)都是穩(wěn)定的.為了驗(yàn)證其關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性，將子系統(tǒng)間的互聯(lián)項(xiàng)F1，2斷開，仿真結(jié)果如圖3所示.

結(jié)果表明斷開互聯(lián)項(xiàng)曲線并沒有明顯變化，證明了原廣義大系統(tǒng)是關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的，且具有魯棒性.

現(xiàn)加入第3個(gè)子系統(tǒng)S3，其數(shù)學(xué)模型為式（1）中i=3的情況，且相應(yīng)矩陣為

子系統(tǒng)間的連接關(guān)系為

按照定理2的方法，得新加子系統(tǒng)的分散控制律為

然后，對擴(kuò)展后的系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究，其脈沖響應(yīng)曲線如圖4所示.

由圖4可知，本文方法在保證新加子系統(tǒng)穩(wěn)定的同時(shí)可使擴(kuò)展后的系統(tǒng)也是穩(wěn)定的.為了驗(yàn)證系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性，將互聯(lián)項(xiàng)F1，3斷開，仿真結(jié)果如圖5所示.

由圖5可知，斷開互聯(lián)項(xiàng)曲線并沒有明顯變化，證明了該廣義擴(kuò)展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)具有關(guān)聯(lián)穩(wěn)定性及魯棒性.

4　結(jié)論

本文利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和線性矩陣不等式（LMI）方法，在廣義互聯(lián)大系統(tǒng)正則和無脈沖的條件下，給出了一類廣義互聯(lián)大系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)重構(gòu)的2種情況時(shí)的魯棒分散關(guān)聯(lián)鎮(zhèn)定的充分條件及狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法.對于廣義擴(kuò)展結(jié)構(gòu)大系統(tǒng)，本文方法可在不改變原結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分散控制律的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計(jì)新加入子系統(tǒng)的控制律，使新加入的子系統(tǒng)及擴(kuò)展后的廣義大系統(tǒng)均是魯棒穩(wěn)定且關(guān)聯(lián)穩(wěn)定的.仿真算例證明了該方法的可行性和有效性.

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（責(zé)任編輯 張 蕾）

Robust Decentralized Connective Stabilization for a Class of Large-scale Descriptor Interconnected Systems With Structural Reconstruction

LI Xiaohua，YAN Wei，LIU Yang
（School of Electronic and Information Engineering，University of Science and Technology Liaoning，Anshan 114051，Liaoning，China）

A robust decentralized connective stabilization problem of a class of large-scale descriptor interconnected systems with structural reconstruction was studied in this paper.The structural reconstruction included two cases in which some subsystems may be disconnected and then reconnected，as well as some new subsystems were added to an original structure.Firstly，the mathematical description of the large-scale descriptor interconnected system was given when the structure of the system changed. Then，the sufficient conditions of robust decentralized connective stabilization for large-scale descriptor interconnected systems and the one with expanding construction under the premise of admissibility of the large-scale descriptor systems was obtained by using Lyapunov theory and LMI approach.And the design approach of the state feedback controllers was presented.Finally，a numerical example was given to show the effectiveness of the proposed approach.

large-scaledescriptorsystems；expandingconstruction；decentralizedconnective stabilization；linear matrix inequality（LMI）

TP 273

A

0254-0037（2016）01-0001-08

10.11936/bjutxb2015010037

2015-01-15

國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61403177）

李小華（1964—），女，教授，主要從事復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與控制、工業(yè)過程建模與控制方面的研究，E-mail：lixiaohua6412@163.com