基于模糊軟集的群決策方法研究

馮琴榮，王芬芬

(山西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 山西 臨汾　041004)

?

基于模糊軟集的群決策方法研究

馮琴榮，王芬芬

(山西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 山西 臨汾041004)

針對(duì)基于模糊軟集的群決策問題,將模糊軟集相似度度量的概念引入到專家權(quán)重未知的群決策問題中來,分析了單個(gè)專家模糊軟集與標(biāo)準(zhǔn)模糊軟集之間的關(guān)系及單個(gè)專家模糊軟集與其他專家模糊軟集之間的關(guān)系,進(jìn)而提出了一種構(gòu)造專家權(quán)重的方法。最后利用模糊軟矩陣和專家權(quán)重設(shè)計(jì)了一個(gè)基于模糊軟集的群決策算法,實(shí)例表明該算法是合理的。

模糊軟集;相似度度量;群決策

實(shí)際應(yīng)用中采集的數(shù)據(jù)大都是不確定的、不精確的和模糊的,為了能從這些數(shù)據(jù)中提取出隱含的有用信息,學(xué)者們已提出了一些數(shù)學(xué)理論和工具。如:模糊數(shù)學(xué)[1]、區(qū)間數(shù)學(xué)[2]、概率論等,但是這些理論都有其不完善的一面。如模糊集理論在處理不確定性問題時(shí)需要提供隸屬函數(shù);概率論在處理不確定問題時(shí)需要提供先驗(yàn)概率;區(qū)間數(shù)學(xué)只是為問題的精確解建立一個(gè)區(qū)間估計(jì),在大多數(shù)情況下區(qū)間數(shù)是非常有用的,但是它不能有效地處理不確定性問題。

針對(duì)上述理論存在的不足,1999年D.Molodstov 提出了軟集理論[3]。 在軟集基礎(chǔ)上,Maji[4]提出了模糊軟集的概念。目前，模糊軟集已被廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域,如經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)以及環(huán)境科學(xué)等。近年來對(duì)模糊軟集的研究,無論是理論方面還是應(yīng)用方面都已取得了很大的進(jìn)展,特別是它在決策方面的應(yīng)用已被大家廣泛關(guān)注。Maji等人[5]運(yùn)用傳統(tǒng)的對(duì)象求行和的方法獲得最優(yōu)決策,這種方法在模糊軟集下就不適用了。因此Feng等人[6]提出了水平軟集的概念,將模糊軟集轉(zhuǎn)化為軟集從而進(jìn)行決策。Guan等人[7]研究了模糊軟集的軟信息序關(guān)系,并給出了基于模糊軟集的決策算法。

群決策的研究始于1781年。決策者為了提高決策的準(zhǔn)確性和科學(xué)性,由多個(gè)專家對(duì)同一個(gè)問題共同進(jìn)行決策。目前基于模糊軟集的群決策問題受到了大家的關(guān)注。何其慧等人[8]利用集成算子和可能度矩陣等工具研究了基于模糊軟集的群決策問題。Feng[9]利用軟粗糙集的上下近似研究了基于模糊軟集的群決策問題。Lan等人[10]利用α水平截集和模糊軟集的相似度研究了基于模糊軟集的群決策問題。然而在基于模糊軟集的群決策問題中,決策者一般是在專家權(quán)重給定的情況下對(duì)方案進(jìn)行排序的,結(jié)果具有一定的主觀性。為了能更客觀地獲取最佳決策對(duì)象,我們根據(jù)給定的數(shù)據(jù)來確定每個(gè)專家的權(quán)重。毛軍軍等人[11]是從連續(xù)和離散時(shí)間建立基于指數(shù)衰減模型的權(quán)重確定公式,利用集成思想將時(shí)序模糊軟集集成為綜合模糊軟集,最后得到最優(yōu)決策。錢慶慶等人[12]根據(jù)時(shí)間權(quán)重符合對(duì)數(shù)增長模型得到權(quán)重確定公式。

本文將模糊軟集的相似度度量引入到專家權(quán)重未知的群決策問題中來,分析了單個(gè)專家的模糊軟集與標(biāo)準(zhǔn)模糊軟集的關(guān)系，及單個(gè)專家的模糊軟集與其他專家的模糊軟集間的關(guān)系,進(jìn)而提出了一種構(gòu)造專家權(quán)重的方法。最后利用模糊軟矩陣和專家權(quán)重設(shè)計(jì)了一個(gè)基于模糊軟集的群決策算法。

1　預(yù)備知識(shí)

本節(jié)我們將簡要回顧模糊軟集的基本知識(shí)。

定義1[3]設(shè)U是非空有限論域,E是參數(shù)集，P(U)為論域U的冪集，A?E，稱有序?qū)?F,A)為論域U上的軟集,這里F:A→P(U)。

U上的軟集可以看成是由論域U的子集構(gòu)成的參數(shù)族。因此,對(duì)于每一個(gè)e∈A,F(e)可以看作軟集(F,A)的e-近似集。

2　基于相似度確定專家權(quán)重的方法

在解決群決策問題時(shí),一般文獻(xiàn)都是在專家權(quán)重給定的條件下做決策。為了能更客觀地獲取最佳決策對(duì)象,我們提出了一種確定專家權(quán)重的方法。下面給出模糊軟集間相似度的定義,通過使用模糊軟集間的相似度來構(gòu)造專家的權(quán)重。

其中

第k個(gè)專家的模糊軟集與標(biāo)準(zhǔn)模糊軟集之間的相似度越大,則該專家所占的權(quán)重比例就應(yīng)越大;反之則較小,接下來給出專家權(quán)重的定義。

定義8在只考慮單個(gè)專家模糊軟集與標(biāo)準(zhǔn)模糊軟集之間的相似度情形下,第k個(gè)專家的權(quán)重定義為:

在決定專家的權(quán)重時(shí),除了考慮單個(gè)專家的模糊軟集與標(biāo)準(zhǔn)模糊軟集之間的相似度外,還應(yīng)該考慮單個(gè)專家模糊軟集和其他專家模糊軟集間的相似度。接下來我們就給出單個(gè)專家模糊軟集和其他專家模糊軟集之間的相似度,并進(jìn)一步求專家的權(quán)重。

k=1,2,…,K。

如果單個(gè)專家的模糊軟集與其他專家模糊軟集之間的相似度越大，專家所占的權(quán)重比例就應(yīng)越大;反之則較小。

定義10在只考慮單個(gè)專家模糊軟集與其他專家模糊軟集間的相似度情形下,第k個(gè)專家的權(quán)重定義為

定義11整合后第k個(gè)專家的標(biāo)準(zhǔn)權(quán)重λk定義如下:

其中α∈[0,1],α可以由決策者指定。

注在文獻(xiàn)[14]中，Liang等人的方法僅從單個(gè)專家模糊軟集和其他專家模糊軟集之間的相似度來考慮。本文不僅考慮了單個(gè)專家模糊軟集和其他專家模糊軟集之間的相似度,而且也考慮了單個(gè)專家模糊軟集與標(biāo)準(zhǔn)模糊軟集之間的相似度。

定義12[15]模糊軟集中的每個(gè)對(duì)象和參考對(duì)象的評(píng)分指標(biāo)定義如下:

3　模糊軟集在群決策中的應(yīng)用

在大多數(shù)文獻(xiàn)中,專家權(quán)重是由決策者直接給出或者假定各專家權(quán)重是相等的,有少數(shù)文獻(xiàn)中給出了確定專家權(quán)重的方法。如文獻(xiàn)[11-12]研究了時(shí)序模糊軟集環(huán)境下的群決策問題,考慮不同時(shí)刻模糊軟集數(shù)據(jù)對(duì)最終決策的影響不同,從時(shí)間上建立了指數(shù)衰減模型的權(quán)重確定公式。在本文中,我們通過使用模糊軟集的相似度來構(gòu)造多個(gè)專家的權(quán)重,求出來的專家權(quán)重在研究基于模糊軟集的群決策問題時(shí)顯得更加合理和精確。然后利用加權(quán)算術(shù)平均算子將多個(gè)專家的模糊軟矩陣和標(biāo)準(zhǔn)權(quán)重集成為綜合模糊軟矩陣,最后利用評(píng)分指標(biāo)對(duì)綜合模糊軟矩陣進(jìn)行了排序。

按照上面的分析,給出了如下基于模糊軟集的群決策算法。

算法:基于模糊軟集的群決策算法。

輸出:所有對(duì)象之間的一個(gè)序關(guān)系。

第2步:決策者給出參數(shù)集中各參數(shù)的權(quán)重。

第7步:按如下方式構(gòu)造綜合模糊軟集的參考對(duì)象,

第8步:利用以下公式計(jì)算綜合模糊軟集中的每個(gè)對(duì)象和參考對(duì)象的評(píng)分指標(biāo),

其中wj為第j個(gè)參數(shù)的權(quán)重。

第9步:按照評(píng)分指標(biāo)降序?qū)C合模糊軟集中對(duì)象進(jìn)行排序。評(píng)分指標(biāo)最大者即為最優(yōu)的決策對(duì)象。

為了說明基于模糊軟集的群決策方法的有效性,下面我們通過一個(gè)例子來說明。

例1[8]假設(shè)某個(gè)公司中有一個(gè)崗位需要招聘一名職員,現(xiàn)有5個(gè)候選人{(lán)xi:i=1,2,…，5}競選這個(gè)崗位。通過職業(yè)的分析得到4個(gè)決策因素:良好的態(tài)度(e1),性格開朗(e2)，良好的英語(e3)，良好的溝通技巧(e4),為了公平選擇，公司決定由4位專家分別對(duì)這5位候選人打分，其打分結(jié)果如下:

專家1

專家2

專家3

專家4

第1步:輸入4位專家為5位候選人打分的模糊軟集數(shù)據(jù)表如上。

第2步:假設(shè)決策者給每個(gè)參數(shù)的權(quán)重為:w1=0.2,w2=0.2,w3=0.35和w4=0.25。

根據(jù)定義7和定義8求得的專家權(quán)重為:

λ1=(0.246,0.259,0.249,0.246)，

根據(jù)定義9和定義10求得專家權(quán)重為:

λ2=(0.243,0.253,0.256,0.248)。

表1　標(biāo)準(zhǔn)模糊軟集

第4步:假設(shè) α=0.5,利用定義11整合專家的兩種權(quán)重λ1和λ2,求得的專家的標(biāo)準(zhǔn)權(quán)重λ為:

λ=(0.245,0.256,0.252,0.247)。

表2　綜合模糊軟集

第7步:由第6步可知, 綜合模糊軟集的參考對(duì)象為

第8步:通過

計(jì)算綜合模糊軟集中每個(gè)對(duì)象和參考對(duì)象的評(píng)分指標(biāo), 結(jié)果如表3所示。

表3　評(píng)分指數(shù)

第9步:按照評(píng)分指標(biāo)降序?qū)C合模糊軟集中對(duì)象進(jìn)行排序,結(jié)果為: x4>x2>x5>x3>x1,因此對(duì)象x4為最優(yōu)決策對(duì)象。

4　結(jié)　論

本文將模糊軟集的相似度引入到專家權(quán)重未知的群決策問題中來, 分析了單個(gè)專家的模糊軟集與標(biāo)準(zhǔn)模糊軟集的關(guān)系及單個(gè)專家的模糊軟集與其他專家的模糊軟集間的關(guān)系,進(jìn)而提出了一種構(gòu)造專家權(quán)重的方法。最后利用模糊軟矩陣和專家權(quán)重設(shè)計(jì)了一個(gè)基于模糊軟集的群決策算法。實(shí)例表明該算法是合理的。

[1]ZADEJ L A. Fuzzy sets [J]. Information and Control, 1965, 8: 338-353.

[2]GORZALZANY M B. A method of inference in approximate reasoning based on interval-valued fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems, 1987, 21: 1-17.

[3]MOLODTSOV D. Soft set theory-first results [J]. Computers and Mathematics with Applications, 1999,37(4): 19-31.

[4]MAJI P K, BISWAS R, ROY A R. Fuzzy soft sets [J]. Journal of Fuzzy Mathematics, 2001, 9(3):589-602.

[5]ROY A R, MAJI P K. A fuzzy soft set theoretic approach to decision making problems[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2007, 203(2): 412-418.

[6]FENG F, JUN Y B, LIU X Y, et al. An adjustable approach to fuzzy soft set based on decision making[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2010, 234(1): 10-20.

[7]GUAN X C, LI Y U, FENG F. A new order relation on fuzzy soft sets and its application[J]. Soft Computer, 2013, 17(1): 63-70.

[8]何其慧,王翠翠,姚登寶.基于模糊軟矩陣的多專家群決策方法[J]. 合肥學(xué)院學(xué)報(bào), 2012, 22(3):30-34.

[9]FENG F. Soft rough sets applied to multicriteria group decision making[J]. Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, 2011, 2(1): 69-80.

[10] LAN J L, HE L P. A new method for fuzzy group decision making based on α-level cut and similarity [J]. Information Science, 2005, 3614: 503-513.

[11] 毛軍軍,姚登寶,王翠翠,等.基于時(shí)序模糊軟集的群決策方法[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2014,34(1): 183-189.

[12] 錢慶慶,吳濤,趙妍,等.基于動(dòng)態(tài)雙極值模糊軟集的群決策方法[J]. 計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用,2014,50(12): 39-41.

[13] SULAIMAN N H, MOHAMAD D. A set theoretic similarity measure for fuzzy soft sets and its application in group decision making[J].Computer Science and Mathematics, 2013, 1522: 237-244.

[14] LIANG X, WEI C P. An atanassov′s intuitionistic fuzzy multi-attribute group decision making method based on entropy and similarity measure[J]. Computer Science and Mathematics, 2014, 5: 435-444.

[15] BORAH M J, NEOG T J, SUT D K. Fuzzy soft matrix theory and its decision making[J]. International Journal of Modern Engineering Research, 2010, 2(2): 121-127.

(編輯亢小玉)

Research on group decision making based on fuzzy soft set

FENG Qin-rong, WANG Fen-fen

(School of Mathematics and Computer Science, Shanxi Normal University, Linfen 041004， China)

The aim of this paper is to focus on the problem of group decision making based on fuzzy soft sets. Firstly, the concept of similarity measure for fuzzy soft sets is introduced to solve the problem of group decision making under the condition of expert weight unknown. Secondly, the relationship between the single expert fuzzy soft set and standard fuzzy soft set as well as the relationship between the single expert fuzzy soft set and the other expert fuzzy soft set are analyzed, and a method of constructing expert weight is proposed. Finally, the group decision making algorithm is presented using fuzzy soft matrix and the expert weight, an example is provided to show that the algorithm is reasonable.

fuzzy soft set; similarity measure; group decision making

2015-12-04

山西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2012011011-1)

馮琴榮，女，山西運(yùn)城人，山西師范大學(xué)副教授，博士，從事粗糙集、軟集方面的研究。

O29,N94

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-04-002