分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

陳惠+++崔曉麗

【摘要】分類討論能夠更好地區(qū)分同類知識(shí)點(diǎn)，避免混淆相似的知識(shí)點(diǎn)，有利于學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，并做好知識(shí)的遷移。結(jié)合目前高考的題型，若能夠做好分類討論，在高考中就可以獲得一定的機(jī)會(huì)。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視對(duì)分類討論思想的運(yùn)用，幫助學(xué)生有效掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有效方式，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高。對(duì)此，本文結(jié)合具體的數(shù)學(xué)題目，就分類討論在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)要的剖析。本文作者結(jié)合多年來(lái)的工作經(jīng)驗(yàn)，對(duì)分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用進(jìn)行了研究，具有重要的參考意義。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 分類討論思想

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）20-0143-01

一、全面討論，層次分類

分類討論運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，最為重要的一點(diǎn)就是要能夠根據(jù)題目提供的數(shù)據(jù)和條件來(lái)確定要討論的參數(shù)，并據(jù)此進(jìn)行合理的分類，做到不重復(fù)且沒(méi)有遺漏，討論時(shí)層次應(yīng)清晰明確，做到不越級(jí)討論。教師在灌輸分類討論思想的時(shí)候，應(yīng)將這些要素一一交代清楚，這樣解題時(shí)才能夠全面而且充分，沒(méi)有遺漏。很多學(xué)生解題時(shí)出現(xiàn)差錯(cuò)原因就在于沒(méi)有按層次分類并全面地討論。

例題1 存在函數(shù)y=x2—2x，x∈[-2，a]，求函數(shù)的最小值。

解析：在二次函數(shù)的解題中經(jīng)常會(huì)使用到分類討論，如例題1所示的題目，也是較為常見(jiàn)的二次函數(shù)求最值題。在解答這一問(wèn)題時(shí)，學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)，首先會(huì)想到該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=1，但是x=1是不是在區(qū)間[-2，a]之內(nèi)，就需要進(jìn)行分類討論。在討論過(guò)程中，據(jù)題目提供的條件，需要明確討論的對(duì)象參數(shù)并進(jìn)行合理的分類討論，從分類討論的過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，分類討論需要做到全面且有層次，不能重復(fù)也不能有所遺漏，任何一項(xiàng)失誤都會(huì)導(dǎo)致最后的結(jié)果錯(cuò)誤。在分類中，還需要統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，有層次、分階段地討論，不能盲目隨意地分類討論，否則也容易出差錯(cuò)。也就是說(shuō)，在進(jìn)行分類的時(shí)候，應(yīng)根據(jù)題目條件和問(wèn)題的性質(zhì)，盡可能少地、精準(zhǔn)地分類，在不重復(fù)不缺漏的情況下，有了層次分明的分類后，自然能夠正確地解答問(wèn)題。

二、掌握定理，正確分類

在高中數(shù)學(xué)中有很多公式定理其實(shí)都與分類討論相關(guān)，這是因?yàn)樵诠揭约岸ɡ碇斜旧砭痛嬖趪?yán)格的限制條件，故而根據(jù)定理或公式進(jìn)行解題的時(shí)候就需要依據(jù)這些定理的限制條件進(jìn)行相關(guān)的分類討論，以避開(kāi)討論結(jié)果不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那闆r。不少學(xué)生不能爭(zhēng)取讓運(yùn)用分類討論的思想解題，很大一部分原因也在于對(duì)定理、公式的掌握不透徹，解題時(shí)沒(méi)能充分考慮到所使用的定理和公式的限制條件。根據(jù)定理、公式運(yùn)用的分類討論，在等比數(shù)列的求和公式、絕對(duì)值的定義以及二次函數(shù)的定義等方面十分常見(jiàn)，教師教學(xué)時(shí)要注意引導(dǎo)學(xué)生透徹掌握定理、公式。

例題2 存在二次函數(shù)y=（a-1）xb+1+x2+1，試求a和b的取值范圍。

解析：解這道題時(shí)主要是根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)定理來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的分類討論，因?yàn)閥=（a-1）xb+1+x2+1是二次函數(shù)，那么x的指數(shù)明顯不能超過(guò)2，據(jù)此（b+1）的值就可以分成三種情況：（b+1）=1或（b+1）=0或（b+1）=2，根據(jù)這三種情況討論b的取值范圍，對(duì)a的取值范圍的討論也根據(jù)二次函數(shù)的定義及性質(zhì)理論進(jìn)行同樣的分類討論。又如，在求等比數(shù)列前n項(xiàng)和的題目中，主要依據(jù)的也是等比數(shù)列的求和公式，就需要分q=1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論了。這些都是根據(jù)定理或公式展開(kāi)的分類討論，可見(jiàn)在數(shù)學(xué)教學(xué)或解題中使用分類討論的思想，主要定理與公式是必須掌握的。這一類型的分類就是數(shù)學(xué)概念上的知識(shí)運(yùn)用，利用概念進(jìn)行解題的時(shí)候，分類是十分重要的。此外，有一些數(shù)學(xué)定理和公式在定義的時(shí)候所要求的范圍已經(jīng)有了限制，對(duì)于這種前提也需要使用分類討論的思想，這點(diǎn)教師在教學(xué)中需要注意。

三、準(zhǔn)確理解，確定分類

結(jié)合近年來(lái)的高考題目不難發(fā)現(xiàn)，分類討論思想愈發(fā)成為重點(diǎn)考查的知識(shí)點(diǎn)，尤其是往后的大題中，使用分類討論解題更加普遍。其中，那些需要根據(jù)不同的參數(shù)來(lái)確定分類標(biāo)準(zhǔn)的題目，其確定的過(guò)程更直接決定著整道題目能否正確解開(kāi)，這就要求教師在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把握好分類討論，正確認(rèn)識(shí)分類標(biāo)準(zhǔn)并能做出合理的分類，以應(yīng)對(duì)考試中的各種變化。

例題3實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程kx2 +2|x|+k=0有實(shí)數(shù)解？

對(duì)于數(shù)學(xué)題目何時(shí)需要分類討論，則要根據(jù)題中所給條件而定，并沒(méi)有硬性的規(guī)定，更沒(méi)有直接可以套用的公式和規(guī)律。我們只有在教學(xué)時(shí)不斷積累經(jīng)驗(yàn)，不斷改進(jìn)方法，才能使學(xué)生正確合理地應(yīng)用分類討論。在解題時(shí)，應(yīng)注意挖掘題目中的極個(gè)別情形進(jìn)行分類討論。例如：“方程ax2 +bx+c=0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為Δ= b2 -4ac時(shí)忽略了個(gè)別情形：當(dāng)a=0時(shí)，方程雖然有解但不能轉(zhuǎn)化為Δ ≥ 0；又如：設(shè)直線方程時(shí)，不能直接設(shè)直線的斜率為k，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線無(wú)斜率，應(yīng)另行考慮，這樣直線方程要分有斜率和沒(méi)有斜率兩類情形討論；再如：等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式也是分為q=1和q≠1兩類情形給出的，等等類似問(wèn)題都需要分類考慮。

四、合作學(xué)習(xí)，深化討論

分類討論在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用是多方面的，其學(xué)習(xí)的組織形式上也可以是多種多樣的，小組合作的形式是經(jīng)過(guò)證明后比較有效地一種學(xué)習(xí)方式。同樣的，將小組合作學(xué)習(xí)的形式與分類討論的教學(xué)相結(jié)合，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分類討論相關(guān)知識(shí)，可以促使學(xué)生互相交換不同的學(xué)習(xí)意見(jiàn)，既能夠及時(shí)解決學(xué)生在學(xué)習(xí)當(dāng)中的困惑，也可以在討論中獲得一個(gè)比較明確的答案。

在分類討論的教學(xué)中，小組合作的活動(dòng)形式可以是多樣的，如教師可以讓學(xué)生將新舊知識(shí)結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分類討論，像方程、不等式等就可以進(jìn)行分類討論；也可以將同類的高考題目或者月考題型集中起來(lái)進(jìn)行分類討論；還可以就數(shù)學(xué)概念之間的相似與不同進(jìn)行分類討論與歸類，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的印象等。可以說(shuō)，分類討并不只是運(yùn)用在具體的某一類題型的解答中，而是可以滲透在數(shù)學(xué)的方方面面，它可以是抽象的，也可以是具象的。同時(shí)，小組的合作學(xué)習(xí)能夠打破個(gè)體學(xué)習(xí)的局限性，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心，引導(dǎo)學(xué)生將來(lái)主動(dòng)地分類、思考。

綜上所述，分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用相當(dāng)廣泛，它不僅可以幫助學(xué)生理清思路、快速解題，提高解題的正確率，同時(shí)還能夠有效鍛煉學(xué)生的解題思維，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的嚴(yán)密性和靈活性之訓(xùn)練也有幫助。從高考來(lái)看，很多問(wèn)題也是離不開(kāi)分類討論思想的。因此，在教學(xué)中，教師要結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)出更多更有效的方法，幫助學(xué)生充分使用分類討論思想來(lái)解題。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐云軍，馮霞.新課改下高中數(shù)學(xué)課堂提問(wèn)的方法策略[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2010（11）.

[2]王先國(guó).淺談數(shù)學(xué)解證題中邏輯思維能力的培養(yǎng)[J].現(xiàn)代閱讀（教育版），2013（3）.

[3]李洪剛.談新形勢(shì)下怎樣引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)[J].現(xiàn)代教育，2011（5）.

[4]趙慧.分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用[J].考試周刊，2010（38）.