小物和小理的物理對(duì)話錄(35)
——光的衍射條紋

◇　北京　劉　銘　蔣煒波　孟衛(wèi)東(特級(jí)教師)

(作者單位：清華大學(xué)附屬中學(xué))

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小物和小理的物理對(duì)話錄(35)

——光的衍射條紋

◇北京劉銘蔣煒波孟衛(wèi)東(特級(jí)教師)

前言:小物和小理是2名普通的高中生,他們酷愛(ài)物理,在學(xué)習(xí)高中物理的過(guò)程中,小物經(jīng)常向小理提出許多刁鉆而有趣的物理問(wèn)題,了解他們的故事也能讓你的物理達(dá)到新的高度．

1　對(duì)話錄

小物:通過(guò)之前折射率的推導(dǎo),我才發(fā)現(xiàn)惠更斯原理居然這么好用,而且還能夠用惠更斯原理直接推導(dǎo)解釋反射定律以及全反射現(xiàn)象,太神奇了!

小理:是的,雖然惠更斯原理沒(méi)辦法解釋光的本質(zhì),但是它從波動(dòng)角度出發(fā),還是比較好地解釋了折射和反射現(xiàn)象,它還能夠定性地解釋衍射現(xiàn)象．

小物:的確是,只要想到最前沿的振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)是一個(gè)新的波源,那么波源產(chǎn)生的波將向各個(gè)方向傳播,就能夠解釋為什么波能夠繞到障礙物后面繼續(xù)傳播了,但是好像沒(méi)辦法解釋障礙物尺寸和衍射明顯程度的關(guān)系．

小理:是的,所以說(shuō)是定性解釋,說(shuō)明惠更斯原理還是不夠完美．

小物:說(shuō)起來(lái),我們剛剛學(xué)過(guò)波的干涉現(xiàn)象,還得到了干涉條紋的分布規(guī)律,而同時(shí)書上又說(shuō)波通過(guò)狹縫的時(shí)候能夠看到衍射現(xiàn)象,也給出了衍射條紋分布圖,但是并沒(méi)有給出具體的條紋分布規(guī)律,如果咱們可以弄清衍射條紋的分布規(guī)律,就能夠補(bǔ)充惠更斯原理了呀!

小理:說(shuō)得容易,衍射條紋也有亮條紋和暗條紋,怎么確定亮暗條紋的位置呢?你有想法嗎?

小物:我這不是找你討論來(lái)了嘛,我也暫時(shí)沒(méi)想法,但老師不是說(shuō)只要多加思考肯定能找到辦法.

小理:我想想看…….

2　小理的思考

衍射現(xiàn)象也出現(xiàn)了亮條紋和暗條紋,根據(jù)干涉條紋的規(guī)律,亮暗條紋是由于不同相位的波在某處疊加造成的,而相位關(guān)系是由波程差決定的．那么我們能不能假設(shè)衍射現(xiàn)象中的亮暗條紋也是由于波的疊加造成的呢?如果假設(shè)成立的話就能夠通過(guò)波程差來(lái)尋找衍射條紋的位置了!

2.1光的雙縫干涉條紋

如圖1所示，激光垂直照射到雙縫S1、S2上,雙縫S1、S2相當(dāng)于2個(gè)新的光源,而且相位相同(即振動(dòng)同步),且2個(gè)光源發(fā)出的光各自傳播到屏幕上的P1點(diǎn),各自走過(guò)的路程(即光程)為r1和r2,如果想要光屏上P1處出現(xiàn)亮條紋,根據(jù)波的疊加原理要求光程差r2-r1必須為半波長(zhǎng)的偶數(shù)倍(或者波長(zhǎng)的整數(shù)倍),即Δx=r2-r1=nλ.

圖1

取P1M=P1S1=r1,因?yàn)槠聊坏诫p縫的距離L很大,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于雙縫的間距d,即r1和r2均遠(yuǎn)大于d,因此可以近似認(rèn)為S1M⊥P1M,這樣光程差為

Δx=r2-r1=S2M=dsinθ=nλ.

與此同時(shí),光屏上P1點(diǎn)到光屏中心P的距離x=Ltanθ. 在角度很小的時(shí)候,可以近似認(rèn)為

sinθ=tanθ,于是

于是我們得到干涉亮條紋在屏幕上的位置

據(jù)此我們發(fā)現(xiàn)雙縫干涉的亮條紋間距相同,所以我們說(shuō)干涉條紋是等間距均勻分布的,當(dāng)然這也僅僅限于屏幕中心部分,因?yàn)橹挥衅聊恢行牟糠植艥M足角度很小，使得sinθ=tanθ成立．

2.2光的單縫衍射條紋

根據(jù)干涉條紋的形成過(guò)程我們可以發(fā)現(xiàn),只要出現(xiàn)亮暗條紋分布,則一定是出現(xiàn)了波的疊加,使得在空間中出現(xiàn)了疊加加強(qiáng)和疊加減弱的區(qū)域.在這樣的認(rèn)知前提下,我們也可以認(rèn)為衍射亮暗條紋的出現(xiàn)也是由于光波的疊加導(dǎo)致的.

圖2

為了方便推導(dǎo),我們借助干涉現(xiàn)象來(lái)解釋衍射現(xiàn)象,如圖2所示，我們將單縫分成上下2部分S1和S2,上下2部分的光線一一對(duì)應(yīng),比如上部分的最上方光線和下部分的最上方光線對(duì)應(yīng),以此類推．因?yàn)閷?shí)驗(yàn)得到的衍射條紋并不是等間距分布,而且屏幕中心位置P一定是衍射亮條紋,因此我們?cè)谶@里首先尋找中心亮條紋的邊界,即第1級(jí)暗條紋的位置P1．

暗條紋在這里的含義是單縫上下2部分所有的對(duì)應(yīng)光線在P1處都是干涉相消,導(dǎo)致屏幕上接收不到光線產(chǎn)生暗紋.我們先研究S1和S2最上方對(duì)應(yīng)光線干涉相消的條件,取P1M=P1S1=r1,因?yàn)槠聊缓蛦慰p的距離L很大,遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于單縫的寬度d,即r1和r2均遠(yuǎn)大于d,因此可以近似地認(rèn)為S1M⊥P1M,2條光線的光程差為

為了使得2條光線干涉相消,必須滿足光程差為半波長(zhǎng)的奇數(shù)倍.我們計(jì)算第1級(jí)暗條紋的位置,因此時(shí)光程差為半波長(zhǎng)的1倍,于是得到

在衍射現(xiàn)象中,明顯衍射的條件之一是障礙物的尺寸和波的波長(zhǎng)能夠相比,這樣使得上述結(jié)果對(duì)應(yīng)的θ角不像雙縫干涉中的那么小,因此一般不再認(rèn)為sinθ=tanθ,因此暗紋P1的位置不再使用距離P1P來(lái)標(biāo)定,而是使用θ角直接標(biāo)定．與此同時(shí)也可以看到，當(dāng)障礙物的尺寸等于波長(zhǎng)的時(shí)候,即d=λ時(shí),θ=90°,衍射條紋將分布在整個(gè)光屏上,當(dāng)然最主要的光仍然分布在正中央,其他地方的光非常弱以至于不可見(jiàn)．

同樣的方法,我們可以繼續(xù)標(biāo)定第2級(jí)暗紋的位置．我們很容易想到當(dāng)上述光程差為半波長(zhǎng)的3倍的時(shí)候,在屏幕上也會(huì)得到暗紋,即

這的確是一條暗紋的位置,但這并不是第2級(jí)暗紋的位置,因?yàn)樵谶@條暗紋和第1級(jí)暗紋中間還有1條暗紋．我們換個(gè)角度考慮,繼續(xù)使用上述方法,我們將單縫的上下2半部分各自再分成2部分,即將單縫分成4部分,如圖3所示.

圖3

相比之下P2更加靠近第1級(jí)暗條紋,因此這是衍射的第2級(jí)暗條紋,而之前的那一條紋為第3級(jí)暗條紋．因此衍射暗條紋的分布為

n為暗條紋的級(jí)數(shù)．這樣我們就得到了單縫衍射的條紋分布規(guī)律,可見(jiàn)衍射條紋確實(shí)不是等間距的,這一點(diǎn)和干涉條紋區(qū)別很大．

除了條紋分布之外,不同條紋的亮暗程度也是不一樣的,干涉亮條紋的亮度幾乎相同(在屏幕中央附近的干涉加強(qiáng)亮條紋),而衍射亮條紋中中間亮條紋最亮,其他亮條紋則相對(duì)暗了很多,因此在測(cè)量光的波長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)中我們采用了干涉現(xiàn)象,而非衍射現(xiàn)象．

故事到了最后,小物又給小理提出了一個(gè)問(wèn)題:衍射光柵的條紋分布原理和干涉條紋的分布原理一樣嗎?是否也能夠用上述方法解釋呢?

(作者單位：清華大學(xué)附屬中學(xué))