以數(shù)列為例談“高觀點(diǎn)”下的合理糾錯(cuò)

◇　河北　王習(xí)武

(作者單位：河北省灤平縣第一中學(xué))

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以數(shù)列為例談“高觀點(diǎn)”下的合理糾錯(cuò)

◇河北王習(xí)武

下面是一道典型的易錯(cuò)題:

因?yàn)閍1=1,an=2 004，所以an=n×1=2 004, 所以n=2 004.

上述答案是錯(cuò)的,正確答案是n=4 008.

錯(cuò)解分析為什么會(huì)錯(cuò)呢?是由于對(duì)n的取值范圍理解不科學(xué)所致．因?yàn)橛械耐瑢W(xué)僅僅認(rèn)為只有在已知Sn求an時(shí)才討論n=1．實(shí)際上,數(shù)列是函數(shù)思想的延伸,一個(gè)數(shù)列可以將an看成關(guān)于n的函數(shù),因此數(shù)列的通項(xiàng)公式就如同函數(shù)的解析式,能夠根據(jù)每個(gè)n的值,求出數(shù)列的每一項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，而n的取值范圍就是數(shù)列的定義域．

用這種觀點(diǎn),我們來(lái)進(jìn)行下面的討論.

1　什么時(shí)候需要“驗(yàn)證n=1”

2　什么時(shí)候不用“驗(yàn)證n=1”

我們?cè)賮?lái)看看下面的題目.

3　如何防止過(guò)度驗(yàn)證或者忽視驗(yàn)證

我們先來(lái)看下面的例題.

(n≥2),

an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2(n≥3).

所以an-an-1=(n-1)an-1,an=nan-1(n≥3),

又a1=1,a2=a1=1．所以正確答案是

上述過(guò)程中,大家會(huì)注意到在每次等式變形的后面,都添加上n的取值范圍,就像函數(shù)的定義域一樣,關(guān)注它的變化,不難判斷最終需要“驗(yàn)證n=1”．

運(yùn)用函數(shù)定義域的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)“驗(yàn)證n=1”的現(xiàn)象,可以輕松應(yīng)對(duì)所有的數(shù)列問(wèn)題.這樣一來(lái)我們不再是僅僅停留在“運(yùn)用Sn求數(shù)列通項(xiàng)需要驗(yàn)證n=1”的狹隘認(rèn)識(shí)上面了．其實(shí),在處理其他很多問(wèn)題時(shí)都需要“高觀點(diǎn)”,這樣同學(xué)們才能印象更深,理解更透徹．

再比如求解高次不等式時(shí),常常需要按照“奇穿偶不穿”的原則畫(huà)圖求解.

首先要正確理解圖形的實(shí)質(zhì),其次要透徹理解為什么“偶不穿”．前者學(xué)過(guò)導(dǎo)數(shù)就會(huì)明白圖形的實(shí)質(zhì)其實(shí)就是函數(shù)簡(jiǎn)圖.后者,筆者認(rèn)為不能說(shuō)“偶不穿”,應(yīng)該說(shuō)“偶也穿”.因?yàn)榕贾馗┻^(guò)了之后,又回頭了,最終效果看起來(lái)似乎是“沒(méi)穿過(guò)”,這樣理解也就沒(méi)有所謂“奇穿偶不穿”,實(shí)際上是“見(jiàn)根就穿”．

(作者單位：河北省灤平縣第一中學(xué))