2015年高考北京理科數(shù)學第19題的探究與反思

◇　廣東　陳國毫

(作者單位：廣東省佛山市南海區(qū)西樵高級中學)

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2015年高考北京理科數(shù)學第19題的探究與反思

◇廣東陳國毫

以問題為載體、知識為基礎(chǔ)、思維為主線、能力為目標,全面考查學生的學習潛能和數(shù)學素養(yǎng),是當前高考命題的一個重要方向.在每年全國各地的高考中,圓錐曲線必有1道大題,其中往往綜合考查等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學思想,以及定義法、配方法、待定系數(shù)法、參數(shù)法等數(shù)學通法.試題體現(xiàn)能力立意、強調(diào)思維空間,對學生的數(shù)學素養(yǎng)要求較高.很多學生往往做了第(1)問,后面的問題或因文字多、符號繁、探索味道濃、運算量大、思路不清晰而望塵莫及.因此對圓錐曲線的研究,特別是在高三復習課上對圓錐曲線綜合題的解決,應當選擇合適有效的處理方式.以下筆者結(jié)合2015年高考北京理科數(shù)學第19題,談?wù)勛约旱囊恍┫敕?

1　原題展示

(1) 求橢圓C的方程,并求點M的坐標(用m、n表示);

(2) 設(shè)O為原點,點B與A關(guān)于x軸對稱,直線PB交x軸于點N.問:y軸上是否存在點Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求點Q的坐標;若不存在,說明理由.

2　解法剖析

第(2)問實則考查對幾何性質(zhì)的探究.圖形中點對稱、直線與x軸的交點、所研究的角的位置,這些直觀的幾何特征是處理問題的關(guān)鍵.采用坐標法,顯化M、N、Q的坐標形式,分別為

利用tan∠OQM=tan∠ONQ,確定坐標中涉及的變量之間的關(guān)系

3　背景探源

本題改編自人教版《選修4-4》第34頁習題2.2第2題.

從核心方法上分析,都注重運用代數(shù)的方法量化幾何關(guān)系.

從形式上看,二者高度相同:都以焦點在x軸的橢圓(盡管例2沒有指明a>b>0這個條件,但是通過分析這個條件是隱含的)為載體,點關(guān)于x軸對稱(例2短軸的端點顯然對稱),過對稱點的直線與x軸有交點;涉及的求解對象都與x軸有關(guān).區(qū)別在于例1研究的是角度的恒等問題,例2研究的是線段長度的定值問題.

類似的以此題為背景的,還有如下題目:

圖1

(1) 求橢圓的標準方程.

(2) 探究:|OP|·|OQ|是否為常數(shù).

圖2

(1) 求橢圓E的方程.

(2) 設(shè)橢圓E的上、下頂點分別為A1、A2,P是橢圓上異于A1、A2的任一點,直線PA1、PA2分別交x軸于點N、M,若直線OT與過點M、N的圓G相切,切點為T. 求證：線段OT的長為定值,并求該定值.

圖3

(1) 求橢圓C的方程.

(3) 設(shè)點P是橢圓C異于M、N的任一點,且直線MP、NP分別交x軸于點R、S,O為坐標原點,求證:|OR|·|OS|為定值.

例4中2個頂點A、A1關(guān)于x軸對稱,由切割線定理得OT2=OM·ON,問題轉(zhuǎn)化為線段長度的定值問題;而例5中,由橢圓與圓的對稱性可知,點M、N關(guān)于x軸對稱,問題也是求線段長度的定值問題.

4　一般結(jié)論

對以上3個類似題進行對比,不難發(fā)現(xiàn),2個對稱點是橢圓上任意給定的,點P亦然,并異于2個對稱點.而結(jié)論涉及的線段長度的乘積恒為定值.而例1第(2)問,其實是源于這個一般性結(jié)論的推論.

|OP|·|OQ|=a2.

同理可得直線A1B:

陳友益(2018)研究了影響供應鏈金融發(fā)展的因素。在整個鏈中上下游、多級企業(yè)存在一些操作、法律、市場等的風險。會影響其發(fā)展。

則|OP|·|OQ|=|xP·xQ|=a2.

|OP|·|OQ|=b2.

|OP|·|OQ|=b2.

|OP|·|OQ|=a2.

圖4

證明結(jié)合圖4可知,

5　拓展

類比橢圓,可以將上述的結(jié)論推廣至雙曲線.限于篇幅,這里不一一列舉,有興趣的讀者可以類比上述的方法進行求證,或者用幾何畫板進行驗證.

下面探討拋物線在滿足上述條件的情況下,會有什么性質(zhì).

性質(zhì)2設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上2個點A與A1關(guān)于x軸對稱,B是拋物線上異于A與A1的任一點,直線AB、A1B與x軸分別交于點M、N,則有|OM|=|ON|.

推論3設(shè)拋物線y2=2px(p>0)上2個點A與A1關(guān)于x軸對稱,其準線l與x軸的交點為N,連接NA交拋物線于點B,則A1B必過焦點F.

推論4設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的準線l與x軸的交點為N,F為拋物線的焦點,A是拋物線上任一點,直線NA交拋物線于點B,直線BF交拋物線于點A1，則直線NA與NA1關(guān)于x軸對稱.

6　反思

1) 通性通法齊把握.

所謂通性通法是指解決具有相同性質(zhì)數(shù)學問題所用的通用方法,通性通法是數(shù)學思想和數(shù)學方法在解決問題中的集中體現(xiàn).就現(xiàn)階段而言,中學生應該掌握的最基本的通性通法應是具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的思想方法.解析幾何的基本思想是用代數(shù)的眼光來看待平面幾何問題.用代數(shù)的方法研究圓錐曲線的性質(zhì),實質(zhì)上是將對復雜的幾何關(guān)系的考查轉(zhuǎn)化為對曲線方程特點的考查,因為代數(shù)方法可以程序化地進行運算、操作,可以使研究過程更有規(guī)律可循.

2) 對比變式相結(jié)合.

所謂變式是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化,如：不斷地變更命題中的非本質(zhì)特征;變換問題中的條件或結(jié)論;轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式;配置實際應用的各種環(huán)境,使數(shù)學內(nèi)容的非本質(zhì)特征時隱時現(xiàn)，而本質(zhì)特征保持不變.就高三復習階段而言,教師在評講、處理練習時,應給學生滲透的思想不應止步于最終答案的獲得.問題得到了答案,并非意味著解題過程的完成,對待解決問題態(tài)度,除了透徹理解自己的思路、解法外,還應該考慮能否用不同的方式去解決問題.當問題的解答冗長而復雜時,自然會揣測是否存在著某種更清楚且少迂回的解法,即使成功地找出一個令人滿意的解法,也不必有大功告成的感覺,而應該考慮是否還有其他做法,然后對不同解法加以比較,看看哪個最本質(zhì)，哪個最簡單，哪個最完美.同時,教師應以試題研究為陣地,充分利用題目之間的相似性進行比較,就其共同點概括問題的本質(zhì),將問題進行變式推廣,教學生如何去分類處理、研究反思,完善學生的認知結(jié)構(gòu),增強數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性.只要弄清問題本質(zhì)上的共性,就會應用解答的同一模式去處理類似的問題.

總之,數(shù)學教學的本質(zhì)是學生在教師的引導下能動地構(gòu)建數(shù)學認知結(jié)構(gòu),使自己得到全面發(fā)展的過程.而其中最重要的是讓學生把握問題處理的通性通法,明白數(shù)學知識的遷移是豐富多彩的，題目之間的聯(lián)系是非常緊密的.數(shù)學的學習不是埋于題海、盲目追求數(shù)量,而是真正了解數(shù)學問題變化的規(guī)律,掌握這種變化背后的本質(zhì)聯(lián)系,學會解決變式,學會設(shè)計變式、拓展問題，提高自身的數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng).

(作者單位：廣東省佛山市南海區(qū)西樵高級中學)