正定矩陣合同對(duì)角化的一個(gè)簡(jiǎn)潔方法及其應(yīng)用

馮愛芳,　劉祖華,,　郭聿琦

(1.昆明學(xué)院數(shù)學(xué)系，昆明650214;　2.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州730000)

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正定矩陣合同對(duì)角化的一個(gè)簡(jiǎn)潔方法及其應(yīng)用

馮愛芳1,劉祖華1,2,郭聿琦2

(1.昆明學(xué)院數(shù)學(xué)系，昆明650214;2.蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，蘭州730000)

利用正定矩陣的性質(zhì), 給出一個(gè)“求可逆矩陣P， 將正定矩陣A合同對(duì)角化”的簡(jiǎn)潔方法，給出該方法在化正定二次型為標(biāo)準(zhǔn)形和求標(biāo)準(zhǔn)正交基底中的應(yīng)用.

正定矩陣; 合同對(duì)角化; 正定二次型; 標(biāo)準(zhǔn)正交基底

高等代數(shù)是本科數(shù)學(xué)類專業(yè)的必修課, 對(duì)學(xué)生完成其他專業(yè)課程的學(xué)習(xí)具有基礎(chǔ)性的作用. 因此, 對(duì)該課程中某些重要內(nèi)容作些深入的研究是非常必要的[1-3]. 正定矩陣是一類重要的矩陣, 在“高等代數(shù)”中占有重要地位, 其理論有著豐富的內(nèi)容, 正定二次型以及歐氏空間的相關(guān)內(nèi)容都與之有關(guān). 本文關(guān)于正定矩陣的合同對(duì)角化問(wèn)題作進(jìn)一步研究.

首先, 我們給出一些基本概念和事實(shí).

1　基本概念和事實(shí)

定義1[4]令F為一數(shù)域, A,B∈Fn×n. 稱A與B合同, 如果存在F上可逆矩陣P, 使得

B=P′AP.

若矩陣A與一個(gè)對(duì)角陣合同, 則稱A可合同對(duì)角化.

定義2[4]令A(yù)∈Rn×n. 稱A為正定矩陣, 如果存在實(shí)可逆矩陣Q , 使得

A=Q′Q.

顯然, 正定矩陣是對(duì)稱的, 且與單位矩陣合同. 因此, 正定矩陣可合同對(duì)角化.

關(guān)于實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性, 有以下基本事實(shí):

定理3[4]令A(yù)∈Rn×n, A′=A. 則以下幾條等價(jià):

(i) A是正定的;

(ii) 存在實(shí)可逆矩陣P, 使得P′AP=Ddi,n, 其中Ddi,n為對(duì)角線元素為d1,d2,…,dn的對(duì)角陣,di>0,i=1,2,…,n;

(iii) A的所有順序主子式均大于零;

(iv) 實(shí)n元二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX為正定二次型(即關(guān)于任意一組不全為零的實(shí)數(shù)(c1,c2,…,cn), 都有f(c1,c2,…,cn)>0).

定理3的(ii)中的矩陣P可逆, 從而P是若干初等矩陣的乘積, 不妨令

P=P1P2…Ps,

其中Pi為初等矩陣,i=1,2,…,s,s∈+. 則

P′s…P′2P′1AP1P2…Ps=P′AP=Ddi,n.

定義4令A(yù)∈Fn×n, P為一初等矩陣. 則P′AP表示關(guān)于矩陣A施行一對(duì)行列對(duì)偶的初等變換. 稱這一對(duì)初等變換為一個(gè)初等合同變換.

因此有

定理5[4]任意n階對(duì)稱矩陣(特別地, 正定矩陣)?？山?jīng)由有限次初等合同變換化為對(duì)角陣.

2　正定矩陣合同對(duì)角化的一個(gè)簡(jiǎn)潔方法

下面為了陳述的方便,先交代三個(gè)初等矩陣的記號(hào).

顯然

令

其中Pi,i=1,2,…,n-1均為上三角陣, 并且容易驗(yàn)證

由A為正定矩陣知, P′n-1…P′2P′1AP1P2…Pn-1為正定矩陣, 從而P′n-1…P′2P′1AP1P2…Pn-1的所有順序主子式Δk全都大于零,k=1,2,…,n. 而容易驗(yàn)證

Δ1=a11>0,Δk+1=a11Δ′k>0,k=1,2,…,n-1,

其中Δ′k為A1的全部順序主子式,k=1,2,…,n-1, 因此

Δ′k>0,k=1,2,…,n-1,

為上三角矩陣, 并且

因此, 有

為上三角陣, 且

根據(jù)定理6, 求可逆矩陣P, 將正定矩陣A合同對(duì)角化的方法步驟如下:

(i) 構(gòu)作矩陣C=(A,E);

D=(M,N),

其中M是對(duì)角線元素分別為d1,d2,…,dn的上三角矩陣;

(iii) 令P=N′. 則P′AP=Ddi,n.

3　正定二次型合同對(duì)角化的兩個(gè)應(yīng)用

下面我們以在兩個(gè)方面的應(yīng)用來(lái)體現(xiàn)該方法的優(yōu)越性.

(i) 化正定二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

正定二次型與正定矩陣一一對(duì)應(yīng),實(shí)二次型正定當(dāng)且僅當(dāng)其對(duì)應(yīng)的二次型矩陣正定. 并且一個(gè)二次型經(jīng)由變數(shù)的可逆線性替換后所得新二次型的二次型矩陣與原二次型矩陣合同. 因此, 化正定二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的問(wèn)題就歸結(jié)到正定矩陣的合同對(duì)角化問(wèn)題上來(lái).

例1化正定二次型

為標(biāo)準(zhǔn)形, 并給出相應(yīng)的變數(shù)的可逆線性替換.

解顯然, 二次型矩陣

令

則

(ii) 求標(biāo)準(zhǔn)正交基底

傳統(tǒng)的求有限維歐氏空間標(biāo)準(zhǔn)正交基底的方法是Schmidt正交化方法, 其特點(diǎn)是逐個(gè)擴(kuò)充, 層次分明, 但計(jì)算繁瑣. 利用正定矩陣的合同對(duì)角化方法求標(biāo)準(zhǔn)正交基底則更為簡(jiǎn)潔.

定理8令V為一n維Euclid空間, A是其內(nèi)積在基底(α1,α2,…,αn)下的度量矩陣. 則

(i) 存在實(shí)可逆矩陣P, 使得P′AP=Ddi,n;

(ii) 令

(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)P.

則(β1,β2,…,βn)是V的一個(gè)正交基底.

證(i) 因?yàn)锳是內(nèi)積在基底(α1,α2,…,αn)下的度量矩陣, 所以A是正定矩陣. 由定理3知, 存在實(shí)可逆矩陣P, 使得P′AP=Ddi,n.

(ii) 令

(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)P.

則由(α1,α2,…,αn)是基底, 和P可逆知, (β1,β2,…,βn)仍為基底, 且內(nèi)積在其下的度量矩陣B滿足

B=P′AP=Ddi,n.

于是, (β1,β2,…,βn)是V的一個(gè)正交基底.

根據(jù)定理6和定理8,得到求標(biāo)準(zhǔn)正交基底的方法步驟如下:

(i) 求出內(nèi)積在基底(α1,α2,…,αn)下的度量矩陣A, 分別以α1,α2,…,αn為元素構(gòu)作形式行向量B=(α1,α2,…,αn)；

D=[M,N]，

P′(A,B′)=(P′A,P′B′)=(M,N),

其中M為上三角矩陣, N=(BP)′；

(iii) 令β1,β2,…,βn為形式列向量N的n個(gè)元素(即形式行向量BP的n個(gè)元素). 則(β1,β2,…,βn)即是V的一個(gè)正交基底；

(iv) 將(β1,β2,…,βn)單位化為(γ1,γ2,…,γn), 則(γ1,γ2,…,γn)即為V的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底.

例2在Euclid空間R4中(關(guān)于通常內(nèi)積), 將基底(α1,α2,α3,α4)標(biāo)準(zhǔn)正交化, 其中

α1=(1,1,0,0),α2=(1,0,1,0),α3=(-1,0,0,1),α4=(1,-1,-1,1).

解內(nèi)積在基底(α1,α2,α3,α4)下的度量矩陣A, 和以α1,α2,α3,α4為元素構(gòu)作的形式行向量B分別為

則

即為R4的一個(gè)正交基底. 再將(β1,β2,β3,β4)單位化, 即令

則

即為R4的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基底.

注一般地, 關(guān)于任意實(shí)對(duì)稱矩陣A, 滿足

P′AP=Ddi,n

的可逆矩陣P未必是上三角矩陣, 從而

P′A=Ddi,nP-1

未必是上三角矩陣. 因此, 關(guān)于(A,E)僅施行有限次第二種初等行變換時(shí), 并沒(méi)有一個(gè)明確的目標(biāo), 我們不知道要將A化到什么狀態(tài)才能停止施行變換. 例如, 令

關(guān)于(A,E)僅施行第二種初等行變換, 化為

此時(shí)

雖然P′A為上三角陣, 但

不是對(duì)角陣.

[1]李尚志. 線性代數(shù)精彩應(yīng)用案例(之一)[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)，2006, 22(3): 1-8.

[2]李志慧, 梁斌. 利用矩陣的初等變換求方陣的特征值[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2007, 23(4): 167-171.

[3]郭聿琦, 王正攀, 劉國(guó)新. 談?wù)劇案哂^點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)”—以基礎(chǔ)代數(shù)學(xué)為例[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué)， 2011, 27(1): 4-7.

[4]郭聿琦, 岑嘉評(píng), 王正攀. 高等代數(shù)教程[M].北京: 科學(xué)出版社,2014.

The Simple Method for the Congruent Diagonalization of the Positive Definite Matrixs and the Applications

FENG Ai-fang1,LIU Zu-hua1,2， GUO Yu-qi2

(1. Department of Mathematics ,Kunming University, Kunming 650214, China;2. Department of Mathematics and Statistics,Lanzhou University, Lanzhou 730000, China)

By using the properties of the positive definite matrix, the simple method for getting the inverse maxtrix Pcongruent diagonalize the positive definite matrix A are given .And the applications to change the positive definite quadratic forminto the canonical form, and solve the standard orthogonal basis are given.

positive definite matrix; congruent diagonalization; positive definite quadratic form; standard orthogonal basis

2015-11-19；[修改日期]2016-04-01

云南省教育廳科學(xué)研究基金項(xiàng)目(2015Y392)

馮愛芳(1981-)，女，副教授，從事群論研究. Email: fengaifang888@sina.com

O153

C

1672-1454(2016)04-0091-06