循環(huán)矩陣與單位根

趙洪森,　曹　煒

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江寧波315211)

?

循環(huán)矩陣與單位根

趙洪森,曹煒

(寧波大學(xué)數(shù)學(xué)系，浙江寧波315211)

研究了任意域上多項(xiàng)式f(x)在 m(≥degf(x))次單位根群中的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與由f(x)的系數(shù)所構(gòu)成的循環(huán)矩陣的秩之間的關(guān)系，推廣了K?nig-Rados定理，得到了f(x)與xm-1互素的充要條件，并給出了分解f(x)及判定f(x)是否為分圓多項(xiàng)式的方法.

循環(huán)矩陣； 單位根； 分圓多項(xiàng)式

1　引　　言

在本文中，對(duì)于給定的方陣A，用r(A)表示方陣A的秩. 用Fq表示含有q個(gè)元的有限域；對(duì)于一般的域K，用char(K )表示其特征，當(dāng)K存在n次本原單位根(記為ξn)時(shí)，用Un(K)表示K中的n次單位根群，即

定義1.2稱矩陣A為右循環(huán)矩陣，并記A=CR(a0,a1,…,an-1)，若

定義1.2中的右循環(huán)矩陣在文獻(xiàn)中也被稱為循環(huán)矩陣.熟知，右循環(huán)矩陣具有以下的性質(zhì).

定理1.3[1，2]對(duì)于任給的矩陣A=CR(a0,a1,…,an-1)∈n×n，設(shè)

f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1，

ξn為中的n次本原單位根(可取ξn=e2πi/n). 則矩陣A可對(duì)角化，且其特征值為

本文將用到另一種循環(huán)矩陣，它是一種特殊的Hankel矩陣，其定義如下:

定義1.4稱矩陣A為左循環(huán)矩陣，并記A=CL(a0,a1,…,an-1)，若

定義1.5設(shè)char(K)=p,n是一個(gè)不能被p整除的正整數(shù),ξn是上的一個(gè)n次本原單位根.則上的n次分圓多項(xiàng)式定義為

定理1.6[3]如定義1.5所設(shè)，并用F表示K的素域，則有

(i) deg(Qn(x))=φ(n)；

(ii)xn-1=∏d|nQd(x)；

(iii)Qn(x)∈F[x]；特別地，當(dāng)K=時(shí)，Qn(x)∈[x].

定理1.7[4](K?nig-Rados)設(shè)

f(x)=a0+a1x+…+aq-2xq-2∈Fq[x],

及A=CL(a0,a1,…,aq-2),則方程f(x)=0在Fq上非零解的個(gè)數(shù)為q-1-r(A).

2　主要結(jié)論

定理 2.1設(shè)多項(xiàng)式

f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1∈[x]，a0an-1≠0.

對(duì)于給定的正整數(shù)m≥n，設(shè)A=CL(a0,a1,…,am-1),其中ai=0,i=n,…,m-1,則當(dāng)K中存在m次本原單位根時(shí)，方程f(x)=0在Um(K)中解的個(gè)數(shù)為m-r(A).

證設(shè)Um(K)中m個(gè)不同的元素分別為b1,b2,…,bm. 構(gòu)造范德蒙矩陣

設(shè)f(x)=0在Um(K)中解的個(gè)數(shù)為N. 不妨設(shè)b1,b2,…,bm中的后N個(gè)為解, 即

由于矩陣B和

都是可逆的范德蒙矩陣，必有

即f(x)=0在Um(K)中解的個(gè)數(shù)N=m-r(A). 定理得證.

例1設(shè)

f(x)=x5+10x4+x3+10x2+11x+6∈F13[x],

解設(shè)A=CL(6,11,10,1,10,1).計(jì)算可得r(A)=3. 由定理2.1知,f(x)=0在U6(F13)中解的個(gè)數(shù)為6-3=3.

(x2-1)(x-3)|f(x),

故可得

f(x)=(x2-1)(x-3)(x2+2).

由二次互反律易知x2+2在F13中不可約. 故f(x)在F13中的因式分解為

f(x)=(x-1)(x+1)(x-3)(x2+2).

推論2.2設(shè)多項(xiàng)式

f(x)=a0+a1x+…+an-1xn-1∈[x]，a0an-1≠0.

對(duì)于給定的正整數(shù)m≥n，設(shè)A=CL(a0,a1,…,am-1),其中ai=0,i=n,…,m-1,則當(dāng)K中存在m次本原單位根時(shí)，g(x)=xm-1與f(x)互素的充分必要條件為r(A)=m.

證g(x)與f(x)互素?g(x)=0與f(x)=0在域中無公共解

?f(x)在Um(K)中無解?m-r(A)=0(由定理2.1) ?r(A)=m.

例2在復(fù)數(shù)域上判斷f(x)=2x7-x6+2x5-3x4+x3+6x-7與g(x)=x8-1是否互素?

解設(shè)A=CL(-7,6,0,1,-3,2,-1,2),計(jì)算可得r(A)=7≠m=8. 由推論2.2知，f(x)與g(x)不互素, 并且有m-r(A)=8-7=1個(gè)公共解.

例3在F11上判斷f(x)=3x4+4x3+3x2+2x+1與g(x)=x5-1是否互素?

解設(shè)A=CL(1,2,3,4,3), 計(jì)算可得r(A)=5=m,故得f(x)與g(x)互素.

推論2.3設(shè)f(x)=xn+…+a1x+a0∈[x]，m≥n+1為正整數(shù). 若p∈P(m)，令

A=CL(a0,a1,…,am-1),Ap=CL(a0,a1,…,am+m/p-1)，

其中an=1,ai=0,i=n+1,…,m+m/p-1. 則f(x)是m次分圓多項(xiàng)式充分必要條件為φ(m)=n且

r(A)=m-φ(m),r(Ap)=m+m/p,?p∈P(m).

證f(x)是m次分圓多項(xiàng)式?f(x)的根恰為φ(m)個(gè)不同的m次本原單位根且它們均為單根?f(x)有φ(m)個(gè)單根，且若f(ξ)=0則ξm=1但ξm/p≠1對(duì)任意的p∈P(m)(由引理1.1)?f(x)=0有φ(m)個(gè)不同的單根且均在Um()中而在Um+m/p()中無解對(duì)于?p∈P(m)?φ(m)=n且r(A)=m-φ(m),r(Ap)=m+m/p,?p∈P(m)(由定理2.1).

例4證明在復(fù)數(shù)域上f(x)=x4+1是8次分圓多項(xiàng)式.

證顯然,m=8,知P(m)={2}，φ(8)=4=degf(x), 令

A=CL(1,0,0,0,1,0,0,0),A2=(1,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0).

計(jì)算可得r(A)=4=m-φ(m), r(A2)=12=m+m/2. 由推論2.3,f(x)=x4+1為8次分圓多項(xiàng)式.

[1]陳曉蘭. 關(guān)于反循環(huán)矩陣的對(duì)角化問題[J]. 工科數(shù)學(xué), 1998，16(4):130-132.

[2]吳世玗. r-循環(huán)矩陣與矩陣的對(duì)角化[J]. 工科數(shù)學(xué), 2002，18(4):80-82.

[3]林東岱. 代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與有限域[M]. 北京:高等教育出版社, 2006.

[4]Lidl R, Niederreiter H. Finite Fields[M]. Cambridge, UK: Cambridge Univ. Press, 1997:187-239.

Circulant Matrices and Roots of Unity

ZHAO Hong-sen,CAO Wei

(Department of Mathematics, Ningbo University，Ningbo Zhejiang, 315211，China)

We show that the number of zeros of the polynomial f(x) in the group of m-th roots of unity can be expressed in terms of the rank of the associated left circulant matrix, which generalizes the K?nig-Rado theorem. As an application, the sufficient and necessary condition for f(x) to be coprime with xm-1 is obtained. We also provide the alternative approaches to factorizing f(x) as well as to determining whether f(x) is a cyclotomic polynomial.

circulant matrix; roots of unity; cyclotomic polynomial

2016-01-18；[修改日期]2016-04-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371208)；寧波市自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016A610079)

趙洪森(1990-)，男，碩士研究生，從事數(shù)論及其應(yīng)用研究.Email:1076022157@qq.com

O156

A

1672-1454(2016)04-0040-04