維度的基礎(chǔ)問題

查理德·韋伯

維度是什么

你可能認(rèn)為如此基礎(chǔ)的問題應(yīng)該早就有一個簡單的答案了，可惜并非如此。事實(shí)上，給維度下定義是一個非常棘手的事情。

對維度最直觀、最古老的描述是：一個系統(tǒng)所擁有的維數(shù)是物體能夠移動的獨(dú)立方向的數(shù)目。上和下是一個維度，因?yàn)樯虾拖率且粋€硬幣的兩面，向上走就是遠(yuǎn)離下方。左和右、前和后也一樣，但上和右、下和后等之間就沒有這種關(guān)系。所以古希臘幾何學(xué)家說：我們生活在三維世界中。

到目前為止，一切還很簡單，但接下來馬上就要失控了。我們需要同時使用空間和時間來定義我們在宇宙中的位置。早在18世紀(jì)末，法國人達(dá)朗貝爾和拉格朗日就發(fā)現(xiàn)用于描述時間的數(shù)學(xué)語言和用于描述空間的非常相似。所以，當(dāng)時的數(shù)學(xué)家很快得出結(jié)論：時間就是第四維度。

將時間看作第四維度這種新的觀念遠(yuǎn)超出維度的原始定義，大大地擴(kuò)充了維的概念。從那時候開始，維不再僅僅是描述物理的空間坐標(biāo)，而成為描述確定物體狀態(tài)的獨(dú)立坐標(biāo)或變量。

這一手實(shí)在高明，從此數(shù)學(xué)家可以運(yùn)用幾何分析這一利器去處理他們想研究的任何事情。例如，現(xiàn)在一個經(jīng)濟(jì)學(xué)家可以將整個經(jīng)濟(jì)活動看作一個巨大的多維度客體。面包和黃油的價格升降可以被描述為價格坐標(biāo)在多維空間中的運(yùn)動，與我們在前后或上下方向上的運(yùn)動完全類似。當(dāng)然，這僅是描述經(jīng)濟(jì)狀態(tài)的數(shù)百萬個維度中的兩個。

理解維度

現(xiàn)在，請看本句末尾的這個小黑點(diǎn)（英文中的句號，“.”），然后盯著它看。恭喜，你已經(jīng)目睹了零維空間?，F(xiàn)在用你的手指沿著紙邊移動，然后再看看這整張紙，它們分別是一維和二維空間，也挺容易吧？但現(xiàn)在，嘗試想象超過三維的空間。

很費(fèi)解？別擔(dān)心，很多人跟你一樣。“我個人無法想象超過三維的空間?！眰惗貒鯇W(xué)院的弦論學(xué)者邁克爾·杜夫說。事實(shí)上，在工作中，他時常要處理十維或十一維的研究對象——自己都不能想象，理論物理學(xué)家為何還能對他們的理論充滿信心？

17世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家笛卡兒把真實(shí)的幾何空間轉(zhuǎn)換成抽象的代數(shù)方程。例如，你可以用一個方程描述一個長度不變的線段圍繞自己的一端在二維空間里旋轉(zhuǎn)形成的圖形。這個方程實(shí)際上描述了線段旋轉(zhuǎn)時x坐標(biāo)和y坐標(biāo)滿足的關(guān)系，這就是一個圓的代數(shù)表達(dá)。

這種想法非常了不起，從此以后，數(shù)學(xué)家只要通過引入更多的坐標(biāo)，就能夠隨心所欲地增加維度。比如，通過引入新的坐標(biāo)軸z就可以像剛才描述二維空間中的圓形一樣來描述三維空間中的球體。

1854年，數(shù)學(xué)家黎曼將立體幾何（三維）推廣到了任意維數(shù)，寫出了四維、五維和六維空間中的“超球體”的方程。普林斯頓高級研究學(xué)院的弦論學(xué)家威頓說：“（這種高維方程）結(jié)果處理起來不算困難?！?/p>

從數(shù)學(xué)上看的確如此，但我們總不免好奇，那些高維數(shù)的物體實(shí)際上看起來是什么樣的。紐約大學(xué)物理學(xué)家賈·德瓦利認(rèn)為，這實(shí)際上無關(guān)緊要，只要你腦子里能夠想象出一些管用的圖像就行了。他說：“方程的本質(zhì)通過圖像和動畫可以非常容易地記在腦子里?！睂λ?，牛頓引力定律的圖像是一個有質(zhì)量的物體產(chǎn)生的引力場的力線沿所有方向延伸到無限遠(yuǎn)處。不管你想象的空間有多少維，這幅圖像同樣有效。他認(rèn)為，這種物理圖像雖然與實(shí)際的額外維空間無關(guān)，但是它讓我們可以很容易地把定律推廣到高維空間。