隨機(jī)環(huán)境對n中取k系統(tǒng)壽命的影響

李　娉， 凌曉亮

(1.北京科技大學(xué) 東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100083；2. 河北科技大學(xué) 理學(xué)院，河北 石家莊 050018)

?

隨機(jī)環(huán)境對n中取k系統(tǒng)壽命的影響

李娉1， 凌曉亮2

(1.北京科技大學(xué) 東凌經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，北京100083；2. 河北科技大學(xué) 理學(xué)院，河北 石家莊 050018)

在多元比例優(yōu)勢混合模型框架下，研究隨機(jī)環(huán)境對n中取k系統(tǒng)壽命的影響，得到了n中取k系統(tǒng)壽命和環(huán)境變量之間的正似然比相依性質(zhì). 利用隨機(jī)序，研究環(huán)境變量對n中取k系統(tǒng)壽命的影響.

比例優(yōu)勢模型；相依性；隨機(jī)序；混合模型

在可靠性理論中，出于系統(tǒng)可靠性計(jì)算的易處理性考慮，大量文獻(xiàn)常常假定構(gòu)成系統(tǒng)的n個(gè)元件的隨機(jī)壽命是相互獨(dú)立的. 但在實(shí)際情形中，元件的隨機(jī)壽命之間常常存在某種形式的相依性. 文獻(xiàn)[1-2]指出共同的隨機(jī)環(huán)境是導(dǎo)致系統(tǒng)元件隨機(jī)壽命之間相依性存在的一個(gè)重要原因，其中隨機(jī)環(huán)境被定量地描述為一個(gè)隨機(jī)變量，于是系統(tǒng)中各個(gè)元件的聯(lián)合壽命分布便可用一個(gè)多元混合模型來描述. 構(gòu)成一個(gè)可靠性系統(tǒng)的n個(gè)元件的隨機(jī)壽命用T1,…，Tn表示，其工作的共同隨機(jī)環(huán)境用隨機(jī)變量V來表示. 在給定V=v，T1,…，Tn是條件獨(dú)立的，T1,…，Tn的聯(lián)合可靠度函數(shù)可表示為

(1)

其中：GV為V的分布函數(shù). 模型(1)被稱作多元混合模型，在可靠性、風(fēng)險(xiǎn)等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[3-6].一些文獻(xiàn)在特殊的多元混合模型框架下，研究了隨機(jī)環(huán)境對n中取k系統(tǒng)的隨機(jī)壽命的影響問題.如文獻(xiàn)[7]假設(shè)組成系統(tǒng)的各個(gè)元件的聯(lián)合壽命分布服從多元混合指數(shù)分布模型；文獻(xiàn)[8]假設(shè)組成系統(tǒng)的各個(gè)元件聯(lián)合壽命分布服從多元尺度變化混合模型，推廣了文獻(xiàn)[7]的研究結(jié)論；文獻(xiàn)[9]假設(shè)組成系統(tǒng)的n個(gè)元件聯(lián)合壽命分布分別服從多元比例失效率混合模型和多元比例反向失效率混合模型.

文獻(xiàn)[10]介紹了比例優(yōu)勢模型，在此模型下，給定V=v時(shí)，第i個(gè)元件的條件可靠度函數(shù)為

在多元比例優(yōu)勢混合模型框架下，論文考慮隨機(jī)環(huán)境優(yōu)劣對n中取k系統(tǒng)隨機(jī)壽命的影響問題. 第一部分介紹論文要用到的一些預(yù)備知識(shí). 第二部分建立了隨機(jī)環(huán)境變量和n中取k系統(tǒng)隨機(jī)壽命之間的相依關(guān)系.第三部分利用不同的隨機(jī)序，研究了隨機(jī)環(huán)境下n中取k系統(tǒng)隨機(jī)壽命的隨機(jī)比較問題.

論文中所涉及的隨機(jī)變量均為非負(fù)隨機(jī)變量，遞增和遞減分別表示非遞減和非遞增，所有的期望和積分均假定存在.

1　預(yù)備知識(shí)

(1) 若g(x)/f(x)關(guān)于x遞增，則稱X以似然比序小于Y(記為X≤lrY).

(3) 若G(x)/F(x)關(guān)于x遞增，則稱X以反向故障率序小于Y(記為X≤rhY).

上述隨機(jī)序具有以下關(guān)系

定義2[13]令 (X,Y) 是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為f(x,y).

(1) 若對所有的x，有P(X>x|Y>y)關(guān)于y是遞增函數(shù)，則稱X關(guān)于Y是右尾遞增的(righttailincreasing)，記為RTI(X|Y).

(2) 若對所有的x1≤x2和y1≤y2，有f(x1,y1)f(x2,y2)≥f(x1,y2)f(x2,y1) 成立， 則稱X和Y是正似然比相依(positivelylikelihoodratiodependent)，記為PLR(X,Y).

上述相依概念具有如下關(guān)系式

PLR(X,Y)?RTI(X|Y).

(2)

若對所有的θ1≤θ2和x1≤x2，有ψ(θ1,x1)ψ(θ2,x2)≥ψ(θ1,x2)ψ(θ2,x1)成立，則稱函數(shù)ψ(θ,x)在θ∈和x∈上是TP2.

引理 1[14]令ψ(θ,x)在θ∈和x∈上是TP2，且hi(θ)在i∈{1,2}和θ∈上是TP2(totalpositivityofordertwo)，其中hi(θ)關(guān)于θ是一概率密度函數(shù)，i=1,2. 則φi(x)=∫ψ(θ,x)hi(θ)dθ在i∈{1,2}和x∈上是TP2.

引理2[12](1)X≤hrY充要條件是E[α(X)]E[β(Y)]≤E[α(Y)]E[β(X)]成立，其中β≥0，α/β和β均為遞增函數(shù).

(2)X≤rhY充要條件是E[α(X)]E[β(Y)]≥E[α(Y)]E[β(X)]成立，其中β≥0，α/β和β均為遞減函數(shù).

2　相依性質(zhì)

n中取k系統(tǒng)是可靠性工程或理論中較為常見的一種系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，此系統(tǒng)由n個(gè)元件構(gòu)成，系統(tǒng)工作當(dāng)且僅當(dāng)至少有k個(gè)元件工作. 在多元比例優(yōu)勢混合模型框架下，構(gòu)成系統(tǒng)的n個(gè)元件的隨機(jī)壽命(T1,…,Tn)的聯(lián)合可靠度函數(shù)表示為

因此，由此n個(gè)元件構(gòu)成的n中取k系統(tǒng)的隨機(jī)壽命便對應(yīng)元件隨機(jī)壽命T1,…,Tn的第n-k+1個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量. 用Tn-k+1:n(V)表示在隨機(jī)環(huán)境V下n中取k系統(tǒng)的隨機(jī)壽命，Tn-k+1:n(v)表示在隨機(jī)環(huán)境V=v下n中取k系統(tǒng)的隨機(jī)壽命，于是Tn-k+1:n(V)的可靠度函數(shù)為

(3)

研究兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系， 在可靠性、生存分析以及風(fēng)險(xiǎn)理論中有著重要的意義. 下面定理揭示了n中取k系統(tǒng)的隨機(jī)壽命和隨機(jī)環(huán)境之間是正似然比相依的.

定理1n中取k系統(tǒng)隨機(jī)壽命Tn-k+1:n(V)和隨機(jī)環(huán)境變量V是正似然比相依的.

證明注意到Tn-k+1:n(V)和V的聯(lián)合密度函數(shù)為f(t,v)=fTn-k+1:n(v)(t)h(v). 要證明對所有的t1≤t2，v1≤v2，有fTn-k+1:n(v1)(t1)fTn-k+1:n(v2)(t2)≥fTn-k+1:n(v1)(t2)fTn-k+1:n(v2)(t1)成立. 等價(jià)地，只需證明對任意v1≤v2，有fTn-k+1:n(v2)(t)/fTn-k+1:n(v1)(t)關(guān)于t單調(diào)遞增即可.

為此，令Ti(v)表示給定V=v條件下，第i個(gè)元件的隨機(jī)壽命，i=1,…,n，當(dāng)v1≤v2時(shí)，易得

易證

關(guān)于t單調(diào)遞增，于是Ti(v1)≤lrTi(v2). 利用文獻(xiàn)[12]中的定理1可得Tn-k+1:n(v1)≤lrTn-k+1:n(v2)，即fTn-k+1:n(v2)(t)/fTn-k+1:n(v1)(t) 關(guān)于t單調(diào)遞增.

由式(2)，既然正似然比相依性質(zhì)蘊(yùn)含著右尾遞增性質(zhì)，下列結(jié)論由定理1得到.

結(jié)論1(1)Tn-k+1:n(V)關(guān)于V是右尾遞增的. 即對所有的t和v1≤v2， 有

(2)V關(guān)于Tn-k+1:n(V)是右尾遞增的. 即對所有的v和t1≤t2， 有

上述結(jié)論指出n中取k系統(tǒng)的運(yùn)行環(huán)境越溫和，則在隨機(jī)序意義下系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間越長.

3　隨機(jī)比較

隨機(jī)環(huán)境V分布函數(shù)的選擇取決于系統(tǒng)運(yùn)行的實(shí)際條件，若環(huán)境具有變量V1的分布，而采取的是V2的分布，研究V1和V2的分布的變化對Tn-k+1:n(V1)和Tn-k+1:n(V2)分布的影響就比較重要了.下述定理給出了兩個(gè)隨機(jī)環(huán)境變量V1和V2之間的隨機(jī)序關(guān)系是如何轉(zhuǎn)化為Tn-k+1:n(V1)和Tn-k+1:n(V2)之間的隨機(jī)序關(guān)系的.

定理2若V1≤hrV2，則Tn-k+1:n(V1)≤hrTn-k+1:n(V2).

證明以下公式成立

(4)

當(dāng)t1≤t2時(shí)，容易驗(yàn)證

利用式(4)可得

即Tn-k+1:n(V1)≤hrTn-k+1:n(V2).

定理3若V1≤rhV2，則Tn-k+1:n(V1)≤rhTn-k+1:n(V2).

證明由定理2證明可知

并且

(5)

成立. 當(dāng)t1≤t2時(shí)，可得

利用式(5)可得

故

定理4(1) 若V1≤lrV2，則Tn-k+1:n(V1)≤lrTn-k+1:n(V2);

(2) 若V1≤stV2，則Tn-k+1:n(V1)≤stTn-k+1:n(V2) .

證明(1) 由定理1的證明得Tn-k+1:n(v1)≤lrTn-k+1:n(v2)，即fTn-k+1:n(v)(t)關(guān)于(t,v)是TP2的. 注意到gi(v)關(guān)于(i,v)是TP2的，且Tn-k+1:n(V)的概率密度函數(shù)

關(guān)于(i,t)是TP2的，即

成立，即

[1]SHAKEDM.Aconceptofpositivedependenceforexchangeablerandomvariables[J].TheAnnalsofStatistics, 1977, 5(3): 505-515.

[2]LINDLEYDV,SINGPURWALLAND.Multivariatedistributionsforthelifelengthsofcomponentsofasystemsharingacommonenvironment[J].JournalofAppliedProbability, 1986, 23(2): 418-431.

[3]KHALEDIBE,KOCHARSC.Dependencepropertiesofmultivariatemixturedistributionsandtheirapplications[J].AnnalsoftheInstituteofStatisticalMathematics, 2001, 53(3): 620-630.

[4]BELZUNCEF,MERCADERJA,RUIZJM,etal.Stochasticcomparisonsofmultivariatemixturemodels[J].JournalofMultivariateAnalysis, 2009, 100(8): 1657-1669.

[5]DENUITM,FROSTIGE.Comparisonofdependenceinfactormodelswithapplicationtocreditriskportfolios[J].ProbabilityintheEngineeringandInformationalSciences, 2008, 22(1): 151-160.

[6]FROSTIGGE,DENUITTM.Dependenceinfailuretimesduetoenvironmentalfactors[J].StatisticsandProbabilityLetters, 2009, 79(4): 487-495.

[7]LEFVREC,MALICEMP.Onasystemofcomponentswithjointlifetimesdistributedasamixtureofindependentexponentiallaws[J].JournalofAppliedProbability, 1989, 26(1): 202-208.

[8]MACS.Uniformstochasticorderingonasystemofcomponentswithdependentlifetimesinducedbyacommonenvironment[J].Sankhyā:TheIndianJournalofStatistics,SeriesA, 1999, 61(2): 218-228.

[9]LINGXL,ZHAOP,LIXH.Onasystemofnonhomogeneouscomponentssharingacommonfrailty[J].JournalofStatisticalPlanningandInference, 2012, 142(6): 1330-1338.

[10]BENNETTS.Analysisofsurvivaldatabytheproportionaloddsmodel[J].StatisticsinMedicine, 1983, 2(2): 273-277.

[11]LINGXL,LIP.Stochasticcomparisonsforthenumberofworkingcomponentsofasysteminrandomenvironment[J].Metrika, 2013, 76(8): 1017-1030.

[12]SHAKEDM,SHANTHIKUMARJG.Stochasticorders[M].NewYork:Springer-Verlag, 2007.

[13]NELSENRB.Anintroductiontocopulas[M].NewYork:Springer-Verlag, 1999.

[14]KARLINS.Totalpositivity[M].Stanford:StanfordUniversityPress, 1968.

(責(zé)任編輯朱夜明)

Impactofrandomenvironmentonthelifetimeofkout ofnsystem

LIPing1,LINGXiaoliang2

(1.DonlinksSchoolofEconomicsandManagement,UniversityofScienceandTechnologyBeijing,Beijing100083,China;2.CollegeofSciences,HebeiUniversityofScienceandTechnology,Shijiazhuang050018,China)

Undertheframeworkofmultivariateproportionaloddmixturemodel,thispaperinvestigatedtheimpactofrandomenvironmentonthelifetimeofkoutofnsystem.Thepositivelikelihoodratiodependencebetweenthelifetimeofkoutofnsystemandtheenvironmentalvariablewasobtained.Usingdifferentstochasticorders,theimpactofenvironmentalvariableonthelifetimeofkoutofnsystemwasstudied.

proportionaloddmodel;dependence;stochasticorder;mixturemodel

10.3969/j.issn.1000-2162.2016.02.004

2015-01-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11426084,11501162);河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(A2014208133)

李娉(1981-)，女，河北石家莊人，北京科技大學(xué)博士研究生; 凌曉亮(1982-)，男，河北邯鄲人，河北科技大學(xué)副教授，博士.

O212.2

A

1000-2162(2016)02-0021-05