安培環(huán)路定理的正確應(yīng)用*

張明鐸　莫潤(rùn)陽(yáng)　張引紅　沈壯志

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院　陜西 西安　710119)

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安培環(huán)路定理的正確應(yīng)用*

張明鐸莫潤(rùn)陽(yáng)張引紅沈壯志

(陜西師范大學(xué)物理學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院陜西 西安710119)

安培環(huán)路定理是描述穩(wěn)恒磁場(chǎng)性質(zhì)的重要定理之一，它所描述的磁場(chǎng)分布與電流的關(guān)系適用于所有穩(wěn)恒磁場(chǎng)．但是，只有對(duì)那些具有高度對(duì)稱性分布的電流和磁場(chǎng)，應(yīng)用安培環(huán)路定理分析磁場(chǎng)分布的數(shù)學(xué)過程才較為簡(jiǎn)便．

安培環(huán)路定理穩(wěn)恒磁場(chǎng)磁感強(qiáng)度

1　引言

安培環(huán)路定理是描述穩(wěn)恒磁場(chǎng)性質(zhì)的重要定理之一，它反映了磁場(chǎng)的渦旋性及磁場(chǎng)分布與電流的關(guān)系，表明磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)流不等于零．文獻(xiàn)[1, 2]通過例證指出，文獻(xiàn)[3～5]對(duì)安培環(huán)路定理的表述不準(zhǔn)確．這一說法值得商榷．

2　安培環(huán)路定理的表述

文獻(xiàn)[3～5]對(duì)安培環(huán)路定理的表述：在真空的穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度B沿任一閉合路徑的積分(即B的環(huán)流)的值等于μ0乘以該閉合回路所包圍的各電流的代數(shù)和，即

(1)

文獻(xiàn)[1, 2]認(rèn)為這一表述不準(zhǔn)確的例證如下：設(shè)有一有限長(zhǎng)直電流，以該電流為軸做一圓形回路，如圖1所示．按照上述定理閉合回路包圍電流為I，則據(jù)式(1)得

(2)

圖1　有限長(zhǎng)直電流磁場(chǎng)

這一結(jié)果顯然是不對(duì)的，因?yàn)樗从车膶?shí)際上是無限長(zhǎng)直電流周圍的磁場(chǎng)．

文獻(xiàn)[1, 2]據(jù)此認(rèn)為，安培環(huán)路定理應(yīng)表述為：在真空的磁場(chǎng)中，磁感強(qiáng)度B沿任一閉合路徑的積分(即B的環(huán)流)的值等于μ0乘以穿過以該閉合路徑為圍界的任意曲面所包圍的各恒定電流的代數(shù)和，即

(3)

仔細(xì)分析不難看出，對(duì)安培環(huán)路定理的這兩種描述其實(shí)是一樣的，不同之處是對(duì)于“回路所包圍的電流”的表述．文獻(xiàn)[3～5]的敘述是“該閉合回路所包圍的各電流的代數(shù)和”，文獻(xiàn)[1, 2]敘述為“穿過以該閉合路徑為圍界的任意曲面所包圍的各恒定電流的代數(shù)和”，其真實(shí)含義都是“穿過回路所包圍區(qū)域的電流的代數(shù)和”．再者文獻(xiàn)[1, 2]“以該閉合路徑為圍界的任意曲面所包圍的各恒定電流的代數(shù)和”的說法值得商榷．顧名思義，“任意曲面”既可能是閉合曲面，也可能是非閉合曲面．只有對(duì)閉合曲面才有所謂“包圍”的問題，而非閉合曲面則不然．

所以，本文認(rèn)為文獻(xiàn)[3～5]對(duì)安培環(huán)路定理的表述是不存在問題的，絕大多數(shù)大學(xué)物理教材正是這樣表述的，而文獻(xiàn)[1, 2]所述則遠(yuǎn)非準(zhǔn)確．

3　用安培環(huán)路定理求解磁場(chǎng)分布應(yīng)該注意的問題

根據(jù)安培環(huán)路定理，式(1)等號(hào)左邊的磁感強(qiáng)度B是由回路內(nèi)外所有電流(而非只是回路所包圍電流)共同確定的；等號(hào)右邊是B的環(huán)流，僅由回路所包圍電流確定，即穿過回路包圍區(qū)域的所有電流代數(shù)和的μ0倍．文獻(xiàn)[1, 2]所舉例證的不當(dāng)之處在于對(duì)安培環(huán)路定理的錯(cuò)誤理解和應(yīng)用．

首先，形成穩(wěn)恒電流的電路必然是閉合回路，所以獨(dú)立的一段穩(wěn)恒電流是不可能存在的．也就是說，圖1所示直線電流實(shí)際上是某個(gè)閉合回路中的穩(wěn)恒電流的一部分．

其次，圖1所示閉合路徑上任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度B實(shí)際上是由整個(gè)閉合電流共同產(chǎn)生的，而不是僅僅由圖中的那一段直線電流產(chǎn)生．

再次，由于圖中閉合路徑上各點(diǎn)的磁感強(qiáng)度B是由整個(gè)閉合電流共同產(chǎn)生的，其方向就不一定總是沿著路徑的切向，其大小也不一定處處相等．

那么如何利用安培環(huán)路定理來確定穩(wěn)恒電流所激發(fā)的磁場(chǎng)呢？原則上說，該定理所描述的磁場(chǎng)分布與電流的關(guān)系適用于所有穩(wěn)恒磁場(chǎng)．但是，并非任意電流都可以用該定理簡(jiǎn)便地求解其磁場(chǎng)分布，有些情況下甚至無法獲得解析解．實(shí)際上，只有很少一部分穩(wěn)恒電流的磁場(chǎng)能夠用安培環(huán)路定理進(jìn)行簡(jiǎn)便分析．

圖2　無限長(zhǎng)軸對(duì)稱電流磁場(chǎng)

如圖2所示無限長(zhǎng)軸對(duì)稱電流，這一模型可看作電流經(jīng)由無限遠(yuǎn)處某點(diǎn)形成閉合．在垂直于對(duì)稱軸的平面內(nèi)做一圓形回路，圓心位于軸上，根據(jù)式(1)所述定理可得

(4)

只要求出相應(yīng)回路所包圍的電流∑Ii，即可確定距離軸線不同距離r處的磁感強(qiáng)度B的大小．

又如圖3所示無限大均勻載流平面，假設(shè)在垂直于電流方向的單位寬度上電流強(qiáng)度為j．在與載流平面垂直的平面內(nèi)做一矩形回路abcd，且ab，cd兩條邊與載流平面等距，根據(jù)式(1)所述定理可得

(5)

圖3　有限長(zhǎng)直電流磁場(chǎng)

對(duì)其他一些載流體，如密繞長(zhǎng)直螺線管、密螺繞環(huán)等，也可采用類似的方法應(yīng)用安培環(huán)路定理分析其磁場(chǎng)分布，這里不再贅述．

綜上所述，只有對(duì)那些具有高度對(duì)稱性分布(而非文獻(xiàn)[1, 2]所說的某種對(duì)稱性)的電流和磁場(chǎng)，應(yīng)用安培環(huán)路定理分析磁場(chǎng)分布的數(shù)學(xué)過程才較為簡(jiǎn)便．結(jié)合對(duì)圖2和圖3的分析可知，應(yīng)用安培環(huán)路定理求解穩(wěn)恒電流所激發(fā)的磁場(chǎng)時(shí)，應(yīng)該注意的主要問題有以下幾點(diǎn)：

(1)分析電流和磁場(chǎng)的對(duì)稱性．

(2)根據(jù)電流和磁場(chǎng)的對(duì)稱性，選擇適當(dāng)形狀的環(huán)路，求出∮LB·dl．這里所謂“適當(dāng)形狀的環(huán)路”的要求是

1)場(chǎng)點(diǎn)在環(huán)路上．

2)環(huán)路繞行方向要么垂直于B，要么與B平行．在與B垂直的路段B·dl=0；在與B平行的路段，還要求B的大小為常數(shù)，因而在相應(yīng)路段有

這樣即可簡(jiǎn)化積分運(yùn)算，使數(shù)學(xué)處理過程簡(jiǎn)便．

4　結(jié)論

安培環(huán)路定理描述的磁場(chǎng)分布與電流的關(guān)系適用于所有穩(wěn)恒磁場(chǎng)，只有準(zhǔn)確理解其物理內(nèi)涵，才能正確應(yīng)用該定理簡(jiǎn)便地求解電流激發(fā)的磁場(chǎng)分布．這里的關(guān)鍵是分析電流和磁場(chǎng)的對(duì)稱性，然后，根據(jù)電流和磁場(chǎng)的對(duì)稱性，選擇適當(dāng)形狀的環(huán)路求解磁感強(qiáng)度B的分布．

1張慧琨，張俊玲．安培環(huán)路定理的表述及其證明方法．山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，21(1)：69～71

2徐恩生，孫麗媛．穩(wěn)恒磁場(chǎng)安培環(huán)路定理的論述與推導(dǎo)．沈陽(yáng)航空工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，22(4)：83～84

3張三慧．大學(xué)物理學(xué)·電磁學(xué)(第二版)．北京：清華大學(xué)出版社，1999.212～219

4王少杰，顧牧．新編基礎(chǔ)物理學(xué)(下冊(cè))．北京：科學(xué)出版社，2011.71～77

5馬文蔚．物理學(xué)．北京：高等教育出版社，2006.254～259

The Correct Application of Ampere Circuital Theorem

Zhang MingduoMo RunyangZhang YinhongShen Zhuangzhi

(College of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,Xi’an,Shanxi710119)

Ampere circuital theorem is one of the important theorem describing the steady magnetic field. The relationship between the distribution of magnetic field and current it described are applicable to all the steady magnetic field. But, only for those with a highly symmetrical distribution of current and magnetic field, it was simple that the process of mathematics to analyze the magnetic field distribution by use of Ampere circuital theorem.

ampere circuital theorem;steady magnetic field;magnetic induction intensity

張明鐸(1963-)，男，副研究員，主要從事聲學(xué)與物理學(xué)領(lǐng)域的教學(xué)和科研工作.

2016-05-05)

*陜西師范大學(xué)2016年度校級(jí)綜合教學(xué)改革研究項(xiàng)目，編號(hào)：16JG23