經(jīng)歷動(dòng)態(tài)過程,還原思維歷程
---以一道幾何題的解答為例

湖北省秭歸縣歸州鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)　葉先玖

經(jīng)歷動(dòng)態(tài)過程,還原思維歷程
---以一道幾何題的解答為例

運(yùn)動(dòng)幾何問題以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換方式呈現(xiàn),代數(shù)、幾何核心知識(shí)聯(lián)袂,動(dòng)靜有序,充滿創(chuàng)意,凝聚著命題者的智慧與心血.受時(shí)間等因素的影響,批閱或評(píng)講時(shí),過于迷信答案,或受參考答案先入為主的制約,就會(huì)考慮不周而出錯(cuò),或不能揭示思考過程,或把靜態(tài)誤認(rèn)成動(dòng)態(tài)問題,從而錯(cuò)失提升學(xué)生解決問題能力的良機(jī).筆者就八年級(jí)上學(xué)期作業(yè)中的一道題的解答及改編為例,就如何引導(dǎo)學(xué)生揭示解答動(dòng)態(tài)幾何問題的思路歷程,拋磚引玉,與同仁交流.

一、原題呈現(xiàn)

原題:如圖1,已知AC=AE,∠BAD=∠EAC=∠EDC.

(1)若△ABC中,∠B<90°,D為BC上的一點(diǎn),點(diǎn)E在△ABC的外部,求證:AD=AB.

(2)若△ABC中,∠B>90°,D在CB的延長線上,點(diǎn)E在△ABC的下方,則(1)的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出圖形,并加以證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.

圖1

圖2

筆者百度了下,發(fā)現(xiàn)網(wǎng)上呈現(xiàn)的解答都和參考答案完全一致,現(xiàn)摘錄如下.

解:(1)因?yàn)椤螮AC+∠E+∠AFE=∠EDC+∠CFD+∠C,而∠EAC=∠EDC,∠AFE=∠CFD,所以∠C=∠E.

因?yàn)椤螧AD=∠EAC,所以∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC,從而∠BAC=∠DAE.

由∠C=∠E,AC=AE,∠BAC=∠DAE,得△BAC≌△DAE,所以AB=AD.

(2)如圖7,AE與DC交于F.

因?yàn)椤螮AC+∠C+∠AFC=∠EDF+∠EFD+∠E,而∠EAC=∠EDC,∠AFC=∠DFE,所以∠C=∠E.

因?yàn)椤螧AD=∠EAC,所以∠BAD-∠EAB=∠EAC-∠EAB,從而∠DAE=∠BAC.

由∠C=∠E,AC=AE,∠BAC=∠DAE,得△BAC≌△DAE,則AB=AD.

二、思考

經(jīng)過仔細(xì)解答,發(fā)現(xiàn)各類參考答案并沒有出錯(cuò).由于△ABC是固定的,根據(jù)題目條件能證得△BAC≌△DAE,得到AB=AD,所以根據(jù)條件只能畫出唯一的圖形,即圖7,從而得出唯一正確的答案,所以原題是一道靜態(tài)幾何題.

但實(shí)際解答中,對(duì)于第二問,部分學(xué)生把點(diǎn)E在△ABC的下方誤認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn),所以依照條件,不同學(xué)生在作業(yè)本上分別畫出了不同于上述答案的圖形,從而出錯(cuò).應(yīng)該說,這部分學(xué)生思路是值得肯定的.但由于審題不準(zhǔn),把靜態(tài)幾何題誤讀為動(dòng)態(tài)問題,出現(xiàn)了解答不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)腻e(cuò)誤.至此,難免產(chǎn)生了兩點(diǎn)疑問.一是同題同解圖卻不同,那些看似符合題意的圖形,是不是會(huì)有不同于參考答案提供的結(jié)論或推理過程呢?換句話說,參考答案或許掩蓋了解決這類問題的思維歷程.二是依照答案那樣解答和評(píng)講,能否詮釋命題者的意圖,學(xué)生是否就能獲得解決這類問題的方法和經(jīng)驗(yàn)?zāi)?也就是說,針對(duì)學(xué)生的解答錯(cuò)誤,可不可以改編,使得評(píng)析時(shí)更好地引導(dǎo)學(xué)生感受線段AE的運(yùn)動(dòng)過程呢?

試題立意解讀:本題選自湖北《長江全能學(xué)案同步練習(xí)冊(cè)》八年級(jí)上冊(cè)第28頁第9題,是在學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形四個(gè)判定方法后,選配的一道習(xí)題.題目意圖很明顯,以等腰三角形和"X"型基本圖形為背景,借助全等變換,全面提升學(xué)生的推理論證能力.對(duì)八年級(jí)學(xué)生來說,有一定的訓(xùn)練價(jià)值.但原題實(shí)質(zhì)上是一道靜態(tài)幾何題,基于追問學(xué)生解答出現(xiàn)的"錯(cuò)誤",突破識(shí)圖認(rèn)識(shí)局限性和封閉性[1],針對(duì)學(xué)生審題錯(cuò)誤,適時(shí)追問:固定A、C,讓B成為一動(dòng)點(diǎn)在射線CM上運(yùn)動(dòng),會(huì)有怎樣的圖形?也就是讓線段AB成為變化值,就是一道很好的動(dòng)態(tài)幾何題.進(jìn)行變式改編,引領(lǐng)學(xué)生與原題對(duì)比研討[2],對(duì)審題進(jìn)行有效糾錯(cuò),積累審題經(jīng)驗(yàn),同時(shí)為學(xué)生掌握動(dòng)態(tài)幾何問題的解題策略早布局,有效訓(xùn)練學(xué)生的思維能力,讓他們掌握解決動(dòng)態(tài)幾何問題的策略.

針對(duì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)出現(xiàn)的問題,為了更好地體現(xiàn)本題的命題意圖,筆者對(duì)原題進(jìn)行了整合.

改編題:如圖1,已知AC=AE,∠BAD=∠EAC=∠EDC.

(1)若△ABC中,∠B<90°,D為BC上的一點(diǎn),點(diǎn)E在△ABC的外部,求證:AD=AB.

(2)若∠C是一固定的銳角,B在射線CM上運(yùn)動(dòng),連接AB,且∠B>90°,D在CB的延長線上,點(diǎn)E在△ABC的下方,則(1)的結(jié)論是否仍然成立?若成立,請(qǐng)?jiān)趫D3中畫出圖形,并加以證明;若不成立,請(qǐng)說明理由.

圖3

改編后,在尊重原題立意的基礎(chǔ)上,對(duì)于絕大部分學(xué)生來說,能很好解決學(xué)生審題帶來的解答錯(cuò)誤,使得題目更有區(qū)分度,從而更好地訓(xùn)練學(xué)生的思維.在圖1的基礎(chǔ)上,把AE繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),由于AC=AE,發(fā)現(xiàn)此時(shí)E與C正好重合,如圖4,但此時(shí),顯然與點(diǎn)E在△ABC的下方這個(gè)條件不符,應(yīng)該舍去.再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)便得到圖5;繼續(xù)旋轉(zhuǎn),得到E正好落在AB的延長線上,得到圖6;繼續(xù)旋轉(zhuǎn),便得到圖7,得到和參考答案一樣的解答圖.

圖4

圖5

圖6

圖7

解決一個(gè)問題,常會(huì)從特殊到一般,找到解決問題的辦法后,對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行系統(tǒng)研究.例如改編題,針對(duì)學(xué)生畫出的錯(cuò)圖,是不是可以將錯(cuò)就錯(cuò),開發(fā)錯(cuò)誤資源,把靜態(tài)問題改編成動(dòng)態(tài)問題,使之更有利于教學(xué)?一方面更好地關(guān)注學(xué)生審題;另一方面也能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)動(dòng)過程,借助定位分析,從而揭示問題的本質(zhì),突破動(dòng)點(diǎn)分類難點(diǎn)[3],獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn),得到正確答案.對(duì)改編題,在排除圖4這種情況后,對(duì)第二問可對(duì)AE的位置分成三種情形:一是AE落在∠BAC內(nèi)部;二是AE落在∠BAC的邊AB的延長線上;三是AE落在∠BAC外部.可進(jìn)行以下全面的解答.

如圖5,AE與DC交于F.因?yàn)椤螮AC+∠C+∠AFC=∠EDF+∠EFD+∠E,而∠EAC=∠EDC,∠AFC=∠DFE,所以∠C=∠E.

因?yàn)椤螧AD=∠EAC,所以∠BAD+∠EAB=∠EAC+∠EAB,從而∠DAE=∠BAC.

由∠C=∠E,AC=AE,∠BAC=∠DAE,得△BAC≌△DAE,則AB=AD.

如圖6,繼續(xù)旋轉(zhuǎn),得到E正好落在AB的延長線上.因?yàn)椤螮AC+∠C+∠ABC=∠EDC+∠EBD+∠E,而∠EAC=∠EDC,∠ABC=∠DBE,所以∠C=∠E.

由∠BAC=∠DAE,AC=AE,∠C=∠E,得△BAC≌△DAE,則AB=AD.

如圖7,AE與DC交于F.因?yàn)椤螮AC+∠C+∠AFC=∠DFE+∠EDC+∠E,而∠EAC=∠EDC,∠AFC=∠DFE,則∠C=∠E.

因?yàn)椤螧AD=∠EAC,所以∠BAD-∠EAB=∠EAC-∠EAB,從而∠DAE=∠BAC.

由∠BAC=∠DAE,AC=AE,∠C=∠E,得△BAC≌△DAE,則AB=AD.

三、解后反思

解決運(yùn)動(dòng)幾何問題的關(guān)鍵是抓住運(yùn)動(dòng)與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系.如何找出這些關(guān)系呢?必要的一步就是引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析運(yùn)動(dòng)過程,畫出各種情形下的靜態(tài)圖形,通過畫圖讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程,發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化,并合情推理,掌握數(shù)學(xué)建模方法,提升學(xué)生獲取信息和處理信息的能力.

1.優(yōu)先觀察,特殊探路

動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn):問題背景是特殊圖形,考查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系.利用幾何直觀,找到臨界點(diǎn),以特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置為切入點(diǎn),為解決問題探究基本思路.對(duì)于改編題,解題過程中需要用運(yùn)動(dòng)和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運(yùn)動(dòng)變化的全過程,關(guān)注AE與∠BAC的位置關(guān)系,找出AE與AB及AC所在直線重合這兩個(gè)臨界點(diǎn),關(guān)注當(dāng)AE在∠BAC內(nèi)部與外部之間運(yùn)動(dòng)時(shí),AE可能與AB、AC重合這兩種位置關(guān)系,從而引導(dǎo)學(xué)生從這兩種特殊圖形入手,分別畫出上述四種符合條件的圖形,化靜為動(dòng),在每種運(yùn)動(dòng)情況下對(duì)應(yīng)的圖形中去探求運(yùn)動(dòng)中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,從而獲得動(dòng)中取靜、靜中建模的解題經(jīng)驗(yàn)[4].

2.直觀猜想,慎用畫板

運(yùn)動(dòng)問題以幾何圖形為載體,運(yùn)動(dòng)變化為主線,集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體,集多種解題思想于一題.能全面考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力、空間想象能力及分析問題和解決問題的能力.往往由各種不同的、簡單的、最基本的圖形組合而成,把要解決的問題作為化歸對(duì)象,把基本的圖形作為化歸目標(biāo),將復(fù)雜的圖形化歸為基本圖形,再用圖形的性質(zhì)就可以求解[5].確定好分類標(biāo)準(zhǔn),畫出各種圖形是解題必要的一步.問題是:在不使用幾何畫板演示的情況下,如何畫出各種運(yùn)動(dòng)情形對(duì)應(yīng)的圖形?

其實(shí),學(xué)生是有辦法的,有的學(xué)生能很好地運(yùn)用作圖工具,這當(dāng)然很好.萬一學(xué)生不通過思考,只畫出其中一種運(yùn)動(dòng)的對(duì)應(yīng)圖形,這時(shí)怎么辦?分析條件,特別是一些特殊條件,猜想結(jié)論,思維過程中會(huì)有意外的收獲.注意題中AE=AC,作圖習(xí)慣好的學(xué)生可能會(huì)利用手中的圓規(guī),以A為圓心,AC為半徑畫弧,從而找出符合條件的E點(diǎn)的軌跡,畫出正確的圖形;也有的學(xué)生興許在△ABC的下方胡亂點(diǎn)出E點(diǎn),從而畫出符合條件的情形,進(jìn)行了不全面的解答.

誠然,課堂中,幾何畫板在解決運(yùn)動(dòng)型幾何問題時(shí)有著很大的優(yōu)越性,是師生們常用的武器.但很多時(shí)候,由于幾何畫板課件演示時(shí)機(jī)不當(dāng),導(dǎo)致形象直觀代替了邏輯推理,學(xué)生根本沒有形成解決這類問題較為系統(tǒng)的方法,甚至于當(dāng)沒有幾何畫板支撐時(shí),學(xué)生針對(duì)原題畫出了符合條件的錯(cuò)誤圖如圖4、5、6(正好符合改編題),進(jìn)行解答時(shí),將錯(cuò)就錯(cuò),再現(xiàn)思維歷程,引導(dǎo)學(xué)生糾錯(cuò),是不是更能很好地培養(yǎng)學(xué)生的思維?甚至當(dāng)少數(shù)學(xué)生不小心恰好把E點(diǎn)畫在BC和AC的延長線組成的區(qū)域,從而錯(cuò)誤地作不出同時(shí)符合條件∠BAD=∠EAC=∠EDC的圖形,造成解答困難,針對(duì)這種情形,解決辦法是有的,但不宜全班評(píng)講:此時(shí)設(shè)AE交BC的延長線于N,連接CE,由∠ABC>90°,得∠ACB<90°,∠ACN>90°,而∠ACE=∠ACN+∠NCE,從而∠ACE>90°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠AEC<90°,則AC

3.建立模型,計(jì)算說明

近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊圖形的性質(zhì),以探究特殊角或其三角函數(shù)、線段長或面積的最值為主.解決時(shí),引導(dǎo)學(xué)生通過分析,經(jīng)歷圖形動(dòng)態(tài)過程,從特殊出發(fā),考慮極端,合理分類,重現(xiàn)各種運(yùn)動(dòng)情況下對(duì)應(yīng)的靜態(tài)圖形;再用模型思想化歸為熟悉的幾何模型或代數(shù)模型,從多變的圖形中呈現(xiàn)不變的關(guān)系,充分發(fā)揮幾何直觀的重要作用,用動(dòng)態(tài)眼光去分析[6],找準(zhǔn)動(dòng)態(tài)圖形的臨界點(diǎn),從特殊出發(fā),最后通過規(guī)范求解完成整個(gè)題目的推理、計(jì)算.通過解法多樣性的探討,學(xué)生經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、計(jì)算、推理、驗(yàn)證等活動(dòng)過程,充分理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想和方法,積累最優(yōu)解法的經(jīng)驗(yàn),用規(guī)范書寫表達(dá)還原解答的思維歷程.

很多靜態(tài)幾何題,如果進(jìn)行合理改編,就能成為很好的動(dòng)態(tài)幾何題,一動(dòng)一靜,對(duì)比訓(xùn)練,在提升學(xué)生解決問題能力的同時(shí),也能很好地培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神,更好地提升他們的思維品質(zhì).動(dòng)態(tài)幾何問題練習(xí),有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合解題的能力,深化數(shù)學(xué)知識(shí)理解,豐富學(xué)生的解題營養(yǎng),提升思維品質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生從題設(shè)到結(jié)論,從內(nèi)容到圖形,從直觀到隱蔽,捕捉題干中的重要結(jié)點(diǎn),辨識(shí)圖形中的分界點(diǎn),發(fā)現(xiàn)合理的解題要點(diǎn),架設(shè)由題設(shè)條件通往終極目標(biāo)的橋梁,從而迅速把握解題策略.

1.劉東升.追問"爭議錯(cuò)題",思辨"認(rèn)識(shí)封閉"---從一道圖像信息題的"爭議"說起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下), 2015(7).

2.李海燕.專題突破再反思,變式改編為研討---以2015年江蘇鎮(zhèn)江第28題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2015(9).

3.鄧達(dá),余獻(xiàn)虎.巧用動(dòng)態(tài)定位分析,突破動(dòng)點(diǎn)分類難題[J].中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2015(7-8).

4.譚俊.化動(dòng)為靜妙解動(dòng)態(tài)類問題[J].數(shù)學(xué)課程實(shí)踐與探索,2011(1).

5.奚喜兵.謀定而后動(dòng):幾何動(dòng)點(diǎn)問題的解決策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2015(5).

6.張韋強(qiáng),探究"一對(duì)一"圖形的多變性與不變性[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中),2013(10).