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    求解兩體問題數(shù)值方法的創(chuàng)新性研究

    2016-09-18 05:31:31郝海玲
    關(guān)鍵詞:質(zhì)點(diǎn)微商橢圓

    郝海玲

    (晉中職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)部,山西省 晉中市 030600)

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    求解兩體問題數(shù)值方法的創(chuàng)新性研究

    郝海玲

    (晉中職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,山西省晉中市030600)

    該文闡述了求解兩體問題的線性對(duì)稱多步數(shù)值方法——Obrechkoff法。N體問題是一個(gè)很難的問題,只有少數(shù)微分方程存在解析解,近似方法是解微分方程的主要手段,高精度的軌道問題需要長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)值積分。因此,選用線性對(duì)稱多步方法,在其主結(jié)構(gòu)上增加高階微商,不僅有理想的精度和較好的穩(wěn)定性,而且可以大大減少截?cái)嗾`差,尤其在很大程度上減小了誤差系數(shù)。研究表明,該方法求解兩體問題的數(shù)值解具有高精度、高效率及穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)。

    P穩(wěn)定;兩體問題;高階微商;截?cái)嗾`差

    N體問題是一個(gè)很難的問題,高精度的軌道問題需要長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)值積分。然而許多傳統(tǒng)的數(shù)值方法,如Runge-Kutta法、Adams法、Euler法和St?rmer-Cowell法等都不是很適用,因?yàn)檫@些方法都存在許多缺點(diǎn)。如它們的穩(wěn)定區(qū)域很小,長(zhǎng)時(shí)間的積分會(huì)使誤差不斷增加,精度也很難通過增加節(jié)點(diǎn)來(lái)提高。因此需要一種高精度、穩(wěn)定性好的方法來(lái)解兩體問題。三角擬合的對(duì)稱多步法已經(jīng)解決了很多問題[1-5],所以采用Obrechkoff[6]多步方法來(lái)研究?jī)审w問題。其利用高階微商來(lái)減少截?cái)嗾`差,很大程度上減小了誤差系數(shù)[7]。

    1 數(shù)值方法介紹

    Obrechkoff方法是利用增加高階微商來(lái)提高方法的精度。該方法在1942年被提出,但由于高階微商的使用計(jì)算非常復(fù)雜,并且當(dāng)時(shí)的計(jì)算機(jī)有所限制,所以沒有得到廣泛的應(yīng)用。近年來(lái)由于計(jì)算機(jī)的計(jì)算功能不斷提高,Obrechkoff方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用。如薛定鄂方程或Duffing方程。這兩種方法對(duì)線性多步方法增加高階微商,高階微商可以表示成一階微商和二階微商的線性組合。然而在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn),一階微商的公式的精度也影響著該數(shù)值方法的精度[8]。Obrechkoff方法的計(jì)算方程為:

    (x-ih))+…

    (1)

    為了保證方法的穩(wěn)定性,該方法的系數(shù)仍然通過三角擬合的方法。

    O(h15)

    (2)

    可以看出四步方法的誤差系數(shù)非常小,并且具有較高的精度。

    O(h17)

    (3)

    (4)

    通過比較截?cái)嗾`差的誤差系數(shù)和h的階數(shù),發(fā)現(xiàn)增加高階微商能夠明顯提高數(shù)值方法的精度,因此最后選擇用Obrechkoff數(shù)值方法來(lái)計(jì)算兩體問題。

    2 Obrechkoff方法解兩體問題

    本文用Obrechkoff方法求解著名的兩體問題[9]的數(shù)值解,為計(jì)算簡(jiǎn)便,其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于另一個(gè)質(zhì)點(diǎn),所以小質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量可以忽略不計(jì),大質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于1,引力常數(shù)為1,根據(jù)萬(wàn)有引力定律,小質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為:

    -f(x(t),y(t))x(t)

    (5)

    -f(x(t),y(t))y(t)

    (6)

    顯然式(5)、式(6)是非線性常微分方程。兩體問題的解析解為:

    (7)

    其中,u和t的關(guān)系滿足

    u-ecos(u)-t=0

    (8)

    式中,u表示做橢圓運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)的角度,t表示時(shí)間,e表示偏心率(0

    本文嘗試用Obrechkoff方法的各種不同形式對(duì)兩體問題進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,希望能夠提高數(shù)值解的精度,下面介紹多次計(jì)算,結(jié)果都比較理想。

    P穩(wěn)定四步方法的主要結(jié)構(gòu)如下:

    q0(h)=y(t+2h)+y(t-2h)+c0y(t)+

    c1(y(t+h)+y(t-h))+h2[c2(y″(t+2h)+

    y″(t-2h))+c3(y″(t+h)+y″(t-h))+

    c4y″(t)]+h4[c5(y(4)(t+h)+y(4)(t-h))+

    c6y(4)(t)]

    (10)

    圖1 ω=1,e=0.1,h=0.1,t=100 000

    本文還對(duì)四步高階微商方法加上最外點(diǎn),需要利用Newton線性化方法,雖然減少了誤差,提高了精度,但是計(jì)算工作量非常復(fù)雜,對(duì)現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)內(nèi)存來(lái)說(shuō)計(jì)算量過大,因此除了期待更加先進(jìn)的計(jì)算機(jī)問世之外,我們還需要尋找更簡(jiǎn)便且精度較高的數(shù)值方法。因此,本文還運(yùn)用了兩步四階微商對(duì)稱方法進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算,得到的結(jié)果是最理想的,如圖2所示。

    圖2 ω=1,e=0.1,h=0.1,t=150 000

    而用八步線性對(duì)稱方法得到了兩體問題的數(shù)值解[3],如圖3所示。

    圖3 ω=1,e=0.1,h=0.1,t=100 000

    通過對(duì)圖1~圖3進(jìn)行比較,可以看出新的方法不僅精度更高且穩(wěn)定性較好。在計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn),對(duì)于兩體問題,當(dāng)e<0.5時(shí),該方法比較理想。當(dāng)1>e>0.5時(shí),該方法的誤差就會(huì)隨著時(shí)間的增加而增大。但是這種現(xiàn)象不是數(shù)值方法引起的,可以由它的物理意義,即開普勒第二定律來(lái)解釋:行星和太陽(yáng)之間的連線在相等的時(shí)間內(nèi)所掃過的面積相等。質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程表明坐標(biāo)中心取在橢圓焦點(diǎn)上,如圖4所示。

    圖4 不同偏心率的橢圓

    當(dāng)經(jīng)過相等的時(shí)間,e值大的橢圓較扁,并且右焦點(diǎn)離質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌道很近,而e值小的橢圓,質(zhì)點(diǎn)的軌道離焦點(diǎn)較遠(yuǎn)。因此,在相等的時(shí)間內(nèi),各個(gè)橢圓右焦點(diǎn)附近的質(zhì)點(diǎn)的速度有很大的不同,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在e值大的橢圓上速度較快,在e值小的橢圓上速度較慢,這樣就表現(xiàn)為在e值大的軌道上運(yùn)動(dòng)的誤差隨時(shí)間的加長(zhǎng)而有可能增加得更快。

    3 結(jié)束語(yǔ)

    這種新的P穩(wěn)定Obrechkoff結(jié)構(gòu)求解兩體問題,目前達(dá)到了理想的精度和較好的穩(wěn)定性,但還需進(jìn)一步研究。若在穩(wěn)定性良好且縮小步長(zhǎng)的情況下能提高精度,那么該方法將可以運(yùn)用到三體問題,從而為研究N體問題提供精度較高的數(shù)值方法,能夠比較精確地了解天體中的某個(gè)星球經(jīng)過長(zhǎng)時(shí)間的運(yùn)動(dòng)后的運(yùn)動(dòng)情況,預(yù)知該星球是否會(huì)影響人們賴以生存的地球。

    [1]WANGZhongcheng.Anewtrigonometrically-fittingtechniquetoconstructasymmetriclinearmulti-stepmethodforthenumericalsolutionofanorbitalproblem[J].NewAstronomy,2005, 11(2):90-102.

    [2]SIMOSTE.Exponentially-fittedandtrigonometrically-fittedmethodsforlong-termintegrationoforbitalproblems[J].NewAstronomy,2003, 8(5):391-400.

    [3]SIMOSTE.Exponentially-fittedandtrigonometrically-fittedmethodsforthenumericalsolutionoforbitalproblems[J].NewAstronomy,2003(8);391-400.

    [4]SIMOSTE.Trigonometrically-fittedpartitionedmultistepmethodsfortheintegrationoforbitalproblems[J].NewAstronomy,2004, 9(6):409-415.

    [5]SIMOSTE.Dissipativetrigonometricallyfittedmethodsforthenumericalsolutionoforbitalproblems[J].NewAstronomy,2004, 9(1):59-68.

    [6]NAUKA.Obrechkoffn,onmechanicalquadrature(bulgarianfrenchsummary)[J].SpisanieBulgar,1942(65):191-289.

    [7]ZHAODeyin,WANGZhongcheng,DAIYongming.Importanceofthefirst-orderderivativeformulaintheObrechkoffmethod[J].ComputerPhysicsCommunications,2005, 167(2):65-75.

    [8]SIMOSTE.Ap-stablecompleteinphaseObrechkofftrigonometricfittedmethodforperiodicinitial-valueproblem[J].ProceedingsoftheRoyalSocietyA,1993, 441(1912):283-289.

    [9]PSIHOYIOSG,SIMOSTE.Trigonometrically-fittedsymmetricmultistepmethodsfortheapproximatesolutionoforbitalproblems[J] .NewAstronomy,1939, 14(2):175-184.

    [10]WANGZhongcheng.Trigonometrically-fittedmethodwithfourierfrequencyspectrumforundampedduffingequation[J].ComputerPhysicsCommunications,2006,175(4):241-249.

    Innovative Research of Obrechkoff Method for the Numerical Solution of Orbital Problems

    HAO Hailing

    (DepartmentofFoundation,JinzhongVocationalTechnicalCollege,Jinzhong030600,China)

    WefocusonthenewkindofP-stableObrechkoffmethodforthenumericalsolutionoforbitalproblems.However,onlyafewofthesedifferentialequationscanbesolvedexactly.Approximatemethodsarethemainmeansforsolving,analyzingandunderstandingphysicsproblems.ThroughimprovingtheWang’smethod,wedevelopanewkindofP-stablefour-stepObrechkoffmethodbyaddingthehigher-orderderivatives.Thisproposedmethodisveryeffectivebuthasveryhighlocaltruncationerror.ThenumericalexperimentsforthenumericalsolutionoforbitalproblemshastheadvantageovertheWang’smethodinaccuracyandefficiency.

    P-stable;orbitalproblem;higher-orderderivatives;localtruncationerror

    2014-10-11;修改日期: 2016-06-22

    郝海玲(1979-),女,碩士,講師,主要從事物理問題的數(shù)值解法方面的研究。

    O411

    Adoi:10.3969/j.issn.1672-4550.2016.04.014

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