基于梯度保真項的低劑量CT統(tǒng)計迭代重建算法

張　旭

(1.中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051；2.首都航天機械公司，北京 100076)

?

基于梯度保真項的低劑量CT統(tǒng)計迭代重建算法

張旭1，2

(1.中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，山西 太原 030051；2.首都航天機械公司，北京 100076)

針對低劑量計算機斷層掃描(Computed Tomography，CT)重建圖像時容易出現(xiàn)明顯條形偽影這一現(xiàn)象，提出一種基于梯度保真項的低劑量CT統(tǒng)計迭代重建算法。該算法克服了原始全變分(Total Variation，TV)模型在抑制條形偽影和噪聲的同時引入階梯效應(yīng)的缺點，首先把梯度保真約束項和能夠區(qū)分圖像平滑區(qū)和細節(jié)區(qū)的邊緣指示函數(shù)應(yīng)用到TV模型中得到基于梯度保真項的自適應(yīng)全變分模型，然后再把新模型與懲罰加權(quán)最小二乘(Penalized Weighted Least Square，PWLS)重建算法相結(jié)合，使用交替方向迭代法得到最終的圖像。采用Shepp-Logan模型來驗證算法的有效性，實驗結(jié)果表明，該算法不僅可以有效地去除條形偽影，還可以較好地保護圖像的邊緣和細節(jié)信息。

低劑量計算機斷層掃描；全變分；懲罰加權(quán)最小二乘；梯度保真項；邊緣指示函數(shù)

計算機斷層掃描(Computed Tomography，CT)技術(shù)在醫(yī)療和工業(yè)等領(lǐng)域有較好的發(fā)展，尤其是在臨床醫(yī)學(xué)診斷中有廣泛的應(yīng)用。高劑量的CT輻射會傷害人體健康，但在低劑量CT成像情況下，采用傳統(tǒng)的濾波反投影(Filtered Back Projection，F(xiàn)BP)解析重建算法，重建圖像中會出現(xiàn)明顯的條形偽影，不能得到較為滿意的圖像。因此，通常采用統(tǒng)計迭代重建算法來重建圖像，通過在迭代過程中加入先驗知識或約束條件作為正則項，可以進一步改善圖像質(zhì)量。

Zhang等提出一種基于自適應(yīng)非局部均值的低劑量CT統(tǒng)計迭代重建算法，該算法能夠抑制條形偽影。Xu等把基于字典學(xué)習(xí)的先驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用到CT圖像域重建算法中，能夠保留圖像更多的細節(jié)信息。Wang等使用懲罰加權(quán)最小二乘(Penalized Weighted Least Square，PWLS)算法進行統(tǒng)計迭代重建，獲得預(yù)期的圖像處理結(jié)果。Duan等提出一種基于全變分(Total Variation，TV)的CT重建算法，能夠得到令人滿意的降噪效果。Zhu等針對泊松噪聲提出一種改進的TV模型，與傳統(tǒng)的TV濾波方法相比有更好的降噪效果。在投影數(shù)據(jù)缺失的情況下，TV先驗?zāi)Ｐ屯鶓?yīng)用于統(tǒng)計迭代重建算法中，并且能夠取得十分理想的重建效果。TV模型能夠在降噪的同時保持圖像的邊緣信息，但在強噪聲的情況下，容易使圖像的平滑區(qū)域出現(xiàn)階梯效應(yīng)?；谔荻缺Ｕ骓椀膱D像去噪算法考慮了去噪前后圖像的相似性，這樣就能夠在保持圖像邊緣的同時得到分段光滑的效果，使視覺效果更加自然。

本文提出一種基于梯度保真項的低劑量CT統(tǒng)計迭代重建算法，首先把邊緣指示函數(shù)和梯度保真約束項相結(jié)合應(yīng)用到TV模型中，得到基于梯度保真項的自適應(yīng)TV模型(Gradient Fidelity Total Variation，GFTV)，然后新的TV模型與PWLS重建算法形成新的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，最后使用交替迭代重建方法分步求解目標(biāo)函數(shù)得到最終的圖像。為簡單起見，將本文提出算法簡記為PWLS-GFTV。

1　算法原理

1.1全變分模型

在圖像降噪時，TV模型即為最小化如下的能量泛函：

(1)

1.2基于梯度保真項的自適應(yīng)全變分模型

TV模型在去除噪聲的同時會使圖像的平滑區(qū)域產(chǎn)生階梯效應(yīng)，破壞圖像的邊緣細節(jié)紋理信息結(jié)構(gòu)。梯度保真項可以在降噪保持圖像細節(jié)信息的同時使處理后圖像的梯度與原始圖像的梯度保持一致，因此可以抑制TV模型產(chǎn)生的階梯效應(yīng)。邊緣指示函數(shù)可以對圖像的不同區(qū)域進行不同強度的去噪，從而達到保護圖像邊緣細節(jié)的效果?；谔荻缺Ｕ骓椀淖赃m應(yīng)全變分模型表示為：

(2)

(3)

采用梯度下降流方法和歐拉-拉格朗日方程方法求得公式(2)的偏微分方程如下所示：

(4)

1.3基于梯度保真項的低劑量CT統(tǒng)計迭代重建算法

RGFTV表示基于梯度保真項的自適應(yīng)全變分模型，則基于梯度保真項的低劑量CT統(tǒng)計迭代重建算法的目標(biāo)函數(shù)為：

Φ(u)=(y-Gu)T∑-1(y-Gu)+βRGFTV(u) .

(5)

通過引入中間變量f，可以將(5)式轉(zhuǎn)化為如下的約束優(yōu)化問題：

(6)

利用Lagrange定理，將(6)式轉(zhuǎn)化為如下的無約束優(yōu)化問題[8]：

(7)

(8)

(9)

首先，利用可分離拋物面替代算法[9]求解問題1，可得：

(10)

其次，利用公式(4)來求解問題2。

2　實驗結(jié)果

采用Shepp-Logan模型進行仿真實驗來驗證基于梯度保真項的低劑量CT統(tǒng)計迭代重建算法的有效性，同時與FBP算法、PWLS、PWLS的中值先驗(PWLS-MP)以及PWLS的全變分(PWLS-TV)重建算法進行實驗結(jié)果的比較。圖1為Shepp-Logan模型，其大小為256 mm×256 mm。

圖1　Shepp-Logan模型

圖2　各重建算法對比圖像

由圖2可知，PWLS算法重建圖像的細節(jié)邊緣信息不清晰。PWLS-MP重建圖像的質(zhì)量有較明顯的改善，但邊緣區(qū)域仍有少量的條形偽影。PWLS-TV重建算法在降噪的同時引起階梯效應(yīng)。PWLS-GFTV重建算法不僅去除階梯偽影，還可以較好地保持圖像的紋理和邊緣信息。本文重建算法在降噪能力、偽影抑制以及分辨率保持等方面都明顯優(yōu)于其他四種重建算法。

為了更明晰地描述PWLS-GFTV重建算法與其他對比算法的各種質(zhì)量評價參數(shù)，本文采用歸一化均方距離和信噪比來進行定量地描述。它們定義分別如下所示：

1) 歸一化均方距離(Normalized Mean Square Distance，NMSD)

NMSD=

(11)

2)信噪比(Signal to Noise Ratio,SNR)

SNR=

(12)

表1為采用Shepp-Logan模型仿真實驗時本文算法與其他對比重建算法的NMSD、SNR和重建時間的質(zhì)量評價參數(shù)。由表1可知，本文重建算法的NMSD均比對比重建算法的值小，表明本文算法的重建圖像與原始圖像最為接近。本文算法的信噪比高于其他三種對比算法，信噪比越大表明重建圖像的質(zhì)量越好。因此無論在視覺效果方面還是在客觀質(zhì)量評價參數(shù)方面，均表明本文算法是切實可行有效的。

表1　各算法的客觀質(zhì)量評價參數(shù)

3　結(jié)論

本文提出一種基于梯度保真項的低劑量CT統(tǒng)計迭代重建算法，該算法首先利用FBP解析重建算法獲得低劑量CT圖像，然后利用該圖像作為初始化圖像進行PWLS迭代重建，接著采用基于梯度保真項的自適應(yīng)全變分模型對獲取的圖像進行濾波降噪，最后使用交替方向法得到所需要的重建結(jié)果圖。在主觀視覺效果和客觀質(zhì)量評價方面，本文算法不僅可以有效地去除條形偽影等噪聲，而且保留了圖像更多的細節(jié)信息，使得重建圖像更加接近原始圖像。

[1]ZHANG H,MA J H,WANG J,et al.Statistical Image Reconstruction for Low-dose CT Using Nonlocal Means-based Regularization.Part II:An Adaptive Approach[J].Computerized Medical Imaging and Graphics,2015,43:26-35.

[2]U Q,YU H Y,MOU X Q,et al.Low-dose X-ray CT Reconstruction Via Dictionary Learning[J].Medical Imaging,IEEE Transactions on,2012,31(9):1682-1697.

[3]WANG J,LI T F,LU H B,et al.Penalized Weighted Least-squares Approach to Sinogram Noise Reduction and Image Reconstruction for Low-dose X-ray Computed Tomography[J].Medical Imaging,IEEE Transactions on,2006,25(10):1272-1283.

[4]DUAN X H,ZHANG L,XING Y X,et al.Few-view Projection Reconstruction with an Iterative Reconstruction Reprojection Algorithm and TV Constraint[J].Nuclear Science,IEEE Transactions on Medical Imaging,2009,56(3):1377-1382.

[5]ZHU Y,ZHAO M,et al.Noise Reduction with low Dose CT Data Based on a Modified ROF Model[J].Optics Express,2012,20(16):17987-18004.

[6]Tang J,Nett B E,Chen G H.Performance Comparison Between Total Variation-based Compressed Sensing and Statistical Iterative Reconstruction Algorithms[J].Phys Med Biol,2009,54:5781-5804.

[7]ZHANG J,YANG W G.Image Denoising Based on Gradient Fidelity Term[J].Computer Applications and Software,2009,26(11):243-245.

[8]LU X Q,SUN Y,YUAN Y,et al.Image Reconstruction by an Alternating Minimization[J].Neuro Computing,2011,74(5):661-670.

[9]ELBAKRI I,FESSLER J.Statistical Image Reconstruction for Polyenergetic X-ray Computed Tomography[J].IEEE Trans Med Imag,2002,21:89-99.

Statistical Iterative Reconstruction Algorithm Based on Gradient Fidelity for Low-dose CT

Zhang Xu1,2

(1.InformationandCommunicationEngineeringInstitute,NorthUniversityofChina,TaiyuanShanxi030051,China；2.TheCapitalAerospaceMachineryCompany,Beijing100076,China)

For the phenomenon of obvious streak artifacts when the low-dose computed tomography (CT) reconstructs images, a low-dose CT statistical iterative reconstruction method based on gradient fidelity term is presented. This method overcomes the shortage that as the traditional total variation (TV) suppress streak artifacts and noises; it has to bring staircase effect at the same time. Firstly, the paper applies the gradient fidelity constraint entry and the edge indicator function which can distinguish image smoothing area and detail area to the TV model, and then it gets adaptive total variation model based on gradient fidelity term. After that, it combines the new model with the penalized weighted least square (PWLS) and gets the final image by using alternating direction iteration method. The Shepp-Logan model is used to verify the effectiveness of this algorithm. The experimental results show that the proposed algorithm can not only reduce the streak artifacts effectively, but also preserve the image edges and details information very well.

low-dose computed tomography; total variation; penalized weighted least square; gradient fidelity term; edge indicator function

2016-05-11

張旭(1987- )，男，四川通江縣人，碩士，研究方向：信號獲取與處理技術(shù)。

1674- 4578(2016)04- 0045- 03

TP 391.41

A