滾輪與型筒外圓幾何誤差對離心鑄造型筒振動性能的影響

李柳湘,　李正美,　黃龍文,　安　琦

(華東理工大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院,上海 200237)

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滾輪與型筒外圓幾何誤差對離心鑄造型筒振動性能的影響

李柳湘,李正美,黃龍文,安琦

(華東理工大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院,上海 200237)

滾輪支承臥式爐管離心鑄造機(jī)型筒的振動對爐管最終質(zhì)量有較大影響,而滾輪與型筒外圓的幾何誤差是形成鑄造型筒振動的主要因素之一。本文通過對鑄造機(jī)型筒的力學(xué)分析,建立了描述滾輪與型筒幾何誤差的數(shù)學(xué)模型,給出了計算滾輪與型筒接觸點(diǎn)坐標(biāo)的計算方法,進(jìn)而得到型筒轉(zhuǎn)子受到支承滾輪的激勵力隨時間變化的計算模型,再應(yīng)用傳遞矩陣法,構(gòu)建了能夠在考慮支承滾輪與型筒外圓幾何誤差的情況下對型筒振動性能進(jìn)行計算的方法。通過一個具體的算例進(jìn)行了計算研究,結(jié)果表明滾輪與型筒表面幾何誤差對型筒轉(zhuǎn)子振動性能有顯著的影響。

滾輪支承; 離心鑄造機(jī); 表面幾何誤差; 型筒; 強(qiáng)迫振動

爐管是化工工業(yè)的關(guān)鍵零件之一,其制造方法主要依靠離心鑄造。離心鑄造是將熔融金屬液倒入高速旋轉(zhuǎn)的鑄型中,金屬液在離心力的作用下填充鑄型。離心鑄造機(jī)工作時型筒會發(fā)生振動,特別是爐管離心鑄造機(jī),型筒長度方向尺寸較大,振動對產(chǎn)品質(zhì)量的影響不可忽略。Chirita等[1-3]研究了振動對離心鑄造產(chǎn)品質(zhì)量的影響。在文獻(xiàn)[1]中,振動對鑄件的力學(xué)性能(斷裂強(qiáng)度)有負(fù)面的影響,文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[3]也對型筒振動進(jìn)行了研究,而得出的結(jié)論卻有所不同。從這些研究來看,離心鑄造機(jī)型筒振動的影響十分復(fù)雜,尚無定論,所以研究離心鑄造機(jī)型筒的振動性能有著重要的意義。引起離心鑄造機(jī)振動的原因有很多,包括支承滾輪和型筒的外圓幾何誤差、型筒轉(zhuǎn)子的不平衡以及型筒的彎曲變形等[4-6]。作者在之前的一篇論文[7]中已經(jīng)研究了型筒轉(zhuǎn)子的質(zhì)量偏心對離心鑄造機(jī)振動性能的影響,其他因素的作用并未考慮。

旋轉(zhuǎn)機(jī)械轉(zhuǎn)子受到的激勵可以分為兩種類型,一種是直接作用在轉(zhuǎn)子上的激勵力,另一種是基礎(chǔ)的運(yùn)動,前者最普遍的是不平衡離心力[8-10],另外,還有電機(jī)中轉(zhuǎn)子受到的電磁激勵[11-12]和透平機(jī)械中轉(zhuǎn)子受到的流體激勵[13]等。Avramov[14]用多尺度法研究了單盤轉(zhuǎn)子在非線性支承下由不平衡離心力引起的響應(yīng)。Rao等[15]在研究齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)響應(yīng)時也將不平衡離心力考慮了進(jìn)去。Meng等[16]用傳遞矩陣法研究了燃?xì)廨啓C(jī)的離心不平衡響應(yīng)。Werner[17]建立了彈性支承發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子在離心不平衡激勵、電磁激勵下的振動模型。Benra 等[18]建立了污水泵中流體激勵力的計算方法,并用有限元法研究了流體激勵下系統(tǒng)的振動。Ying等[19]研究了基礎(chǔ)激勵對渦輪增壓器轉(zhuǎn)子動力學(xué)性能的影響,結(jié)果表明,在基礎(chǔ)激勵的作用下,轉(zhuǎn)子表現(xiàn)出的動力學(xué)性能與無基礎(chǔ)激勵的情況差別很大。Suzuki[20]建立了基礎(chǔ)激勵下電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型,并提出了一種加速度前饋控制法來減小基礎(chǔ)激勵引起的振動。Choy等[21]在研究透平機(jī)械動力學(xué)特性的同時考慮了不平衡力、基礎(chǔ)激勵以及葉片損失的作用效果。

到目前為止,離心鑄造機(jī)中由支承滾輪與型筒表面幾何誤差引起的對型筒的激勵力以及此激勵力對型筒轉(zhuǎn)子振動性能的影響鮮有人進(jìn)行研究,而這部分的因素對型筒振動性能的影響是十分重要的。為此,本文通過力學(xué)分析,建立了支承滾輪對型筒的激勵力的計算模型,再用傳遞矩陣法進(jìn)行強(qiáng)迫振動分析,構(gòu)建了能夠在考慮型筒表面幾何誤差下對型筒振動性能進(jìn)行計算的方法,最后通過一個具體的算例分析,深入討論了滾輪與型筒表面幾何誤差對型筒轉(zhuǎn)子振動性能的影響規(guī)律。

1　動力學(xué)模型的構(gòu)建

1.1離心鑄造機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖與坐標(biāo)系建立

如圖1 所示,滾輪支承臥式離心鑄造機(jī)的型筒由4 個滾輪支承,每個滾輪又由一對滾動軸承支承并固定在底板上,其中一個滾輪通過皮帶與電機(jī)主軸相連。離心鑄造機(jī)工作時,由滾輪與型筒之間的摩擦力驅(qū)動型筒高速旋轉(zhuǎn)。

圖1　滾輪支承臥式離心鑄造機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1　Structure diagram of a roller-supporting horizontal centrifugal casting machine

圖2　坐標(biāo)系的建立Fig.2　Reference frame

在圖2所示的坐標(biāo)系下,3個圓的表面輪廓方程分別為:

(1)

(2)

(3)

1.2滾輪與型筒幾何誤差的描述

實際上,受加工精度等因素的影響,滾輪與型筒的外輪廓會產(chǎn)生一定的幾何誤差(在公差范圍內(nèi)),這時滾輪與型筒的外表面將不是標(biāo)準(zhǔn)的圓(如圖 3所示)。圖3中的虛線表示理想情況下的表面輪廓(半徑為r的圓),實線表示滾輪或型筒的實際外輪廓。建立坐標(biāo)系x′O′y′,原點(diǎn)O′位于理想輪廓的中心,在方位角θ處,理想輪廓上的點(diǎn)坐標(biāo)為(x′, y′),實際輪廓的點(diǎn)坐標(biāo)記為(X, Y),那么(x′, y′)與(X, Y)之間存在如下關(guān)系:

(4)

式中,Δr(θ)為方位角θ處實際輪廓上的點(diǎn)與理想輪廓上的點(diǎn)之間的距離。由式(4)推導(dǎo)出圖 3所示坐標(biāo)系下考慮表面幾何誤差后滾輪與型筒的實際表面輪廓方程為

(5)

也就是說,只要知道用于表示表面幾何誤差的函數(shù)Δr(θ),就可以確定考慮了表面誤差后的輪廓方程。

圖3　表面幾何誤差Fig.3　Profile with geometric error

如圖 4所示,當(dāng)考慮兩個滾輪和型筒的外表面幾何誤差時,初始時刻支承滾輪和型筒的外圓輪廓可用如下方程描述:

(6)

(7)

(8)

式中,Δr1(θ1)、Δr2(θ2)和ΔR(θ3)分別為左滾輪、右滾輪和型筒實際輪廓上的點(diǎn)與理想輪廓上的點(diǎn)之間的距離。

左滾輪:f(xcosω1t-ysinω1t-a1,

xsinω1t+ycosω1t-b1,r0)=0

(9)

右滾輪:f(xcosω1t-ysinω1t-a2,

xsinω1t+ycosω1t-b2,r0)=0

(10)

型筒:f(xcosωt-ysinωt-a3,

xsinωt+ycosωt-b3,R0)=0

(11)

圖4　滾輪與型筒外輪廓幾何誤差Fig.4　Rollers and mould with geometric errors

1.3滾輪與型筒接觸點(diǎn)的計算

(12)

1.4型筒轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程

(13)

式中:m為型筒轉(zhuǎn)子的質(zhì)量;字母上方“¨”表示二階導(dǎo)。

離心鑄造機(jī)型筒是一個連續(xù)質(zhì)量轉(zhuǎn)子,本文選用傳遞矩陣法對其進(jìn)行動力學(xué)性能計算。首先用集總參數(shù)法將轉(zhuǎn)子離散成n個只計質(zhì)量不計厚度的圓盤和彈性無質(zhì)量軸段的組合,如圖 5所示,對第n個軸段,其長度ln=0。

圖5　轉(zhuǎn)子離散化Fig.5　Discrete model of the mould rotor

對第i個圓盤進(jìn)行受力分析,如圖 6所示。根據(jù)受力分析可寫出圓盤運(yùn)動微分方程為

(14)

(15)

式(15)可以簡記為

(16)

第i個軸段兩端的傳遞關(guān)系為[22]

(17)

記為

(18)

其中:l表示軸段長度;EI表示軸段的抗彎剛度。

圖6　圓盤受力分析Fig.6　Force balance of the disk

(19)

上述計算方法針對的是外激勵為簡諧激勵的情況,但是一般情況下,支承滾輪與型筒表面幾何誤差引起對型筒的激勵Pex(t)和Pey(t)是周期非簡諧激勵,這種情況下,需要用Fourier展開后得到簡諧激勵的疊加,用上述方法分別計算每一項引起的響應(yīng),再根據(jù)疊加原理將每一項引起的響應(yīng)疊加便可得到總的響應(yīng)。

2　算例分析

2.1離心鑄造機(jī)尺寸

本文以卓然(靖江)設(shè)備制造有限公司的J523型臥式滾輪離心鑄造機(jī)為例來研究支承滾輪與型筒外圓幾何誤差對離心鑄造機(jī)振動性能的影響。表1所示為該型號離心鑄造機(jī)各零部件尺寸以及裝配尺寸。由參考文獻(xiàn)[7]可知每個支承處的剛度和阻尼分別為:kx=7.42×108N/m,ky=5.23×108N/m,cx=6.38×103Ns/m,cy=4.50×103Ns/m。計算時,將離心鑄造機(jī)型筒劃分為101個單元,即節(jié)點(diǎn)數(shù)n=101,其中滾輪支承位于21號節(jié)點(diǎn)和81號節(jié)點(diǎn)。

2.2不考慮型筒和滾輪表面幾何誤差時的計算結(jié)果

在不考慮表面幾何誤差的前提下,通過編程計算得到x方向前4階臨界轉(zhuǎn)速依次為4 002.52、5 229.5、5 511.02、12 372.86 r/min,對應(yīng)的滾輪轉(zhuǎn)速為3 041.9、3 974.42、4 188.38、9 403.37 r/min,前4階振型如圖 7所示。

表1　離心鑄造機(jī)尺寸

圖7　前4階固有振型Fig.7　First 4 order modes

若在滾輪支承處型筒存在偏心質(zhì)量,偏心距e=0.03 mm,相位角為0,這種情況下得到的型筒轉(zhuǎn)子幅頻響應(yīng)如圖 8所示。從圖中可以看到,當(dāng)兩端支承處均加上不平衡力時,在滾輪轉(zhuǎn)速為3 040 r/min和4 190 r/min附近,型筒轉(zhuǎn)子的振幅急劇增加,在滾輪轉(zhuǎn)速為3 040 r/min時,最大振幅約為0.3 mm; 當(dāng)僅在一端支承處加不平衡力時,轉(zhuǎn)子振幅在滾輪轉(zhuǎn)速約為3 040、3 975、4 190 r/min附近急劇增加,在滾輪轉(zhuǎn)速約為3 040 r/min時振幅最大,為0.15 mm。

當(dāng)ω1=2 000 r/min時,由不平衡離心力引起的型筒轉(zhuǎn)子的形態(tài)如圖 9所示。在兩端支承處加不平衡力時,振幅最大的點(diǎn)在型筒中心位置,最大振幅為0.019 8 μm,僅在一端支承處加不平衡力時,振幅最大的點(diǎn)在型筒的端部,最大振幅為0.025 9 μm。

2.3考慮型筒和滾輪誤差時的計算結(jié)果

圖8　不平衡力作用下型筒轉(zhuǎn)子幅頻響應(yīng)Fig.8　Amplitude-frequency responses caused by unbalanced forces

圖9　ω1=2 000 r/min時不平衡力作用下轉(zhuǎn)子形態(tài)Fig.9　Modes of rotor excited by unbalanced forces when ω1=2 000 r/min

圖10　滾輪與型筒表面幾何誤差(函數(shù)形式)Fig.10　Geometric errors of rollers and mould in the form of specific functions

圖11　考慮表面幾何誤差時幅頻響應(yīng)(函數(shù)形式)Fig.11　Amplitude-frequency response curves with the geometric errors involved in the from of specific functions

從圖 11可以看出,當(dāng)左、右滾輪和型筒外圓形狀幾何誤差的變化按照假設(shè)的函數(shù)進(jìn)行規(guī)律性變化時,驅(qū)動滾輪轉(zhuǎn)速在0～2 000 r/min范圍內(nèi),轉(zhuǎn)子的最大振幅出現(xiàn)好幾處峰值。當(dāng)同時考慮兩端支承位置的滾輪與型筒表面幾何誤差時,有6個峰值,其對應(yīng)的滾輪轉(zhuǎn)速分別約為250、350、600、1 020、1 150、1 450 r/min 。若只考慮一端支承位置的滾輪與型筒表面幾何誤差,有7個峰值,其中6個對應(yīng)的滾輪轉(zhuǎn)速與考慮兩端誤差時的相同,另外1個峰值對應(yīng)的滾輪轉(zhuǎn)速約為1 375 r/min。當(dāng)考慮兩端支承處幾何誤差時,最大振幅發(fā)生在滾輪轉(zhuǎn)速為1 450 r/min時,達(dá)到0.21 mm,與圖 8中不平衡力引起的最大振幅達(dá)到同一數(shù)量級,這說明滾輪與型筒表面幾何誤差對型筒轉(zhuǎn)子的振動有不可忽略的影響。

圖 12示出了ω1=2 000 r/min時由滾輪與型筒外圓幾何誤差引起的型筒轉(zhuǎn)子形態(tài)。從圖中可以看到,當(dāng)同時考慮兩處支承位置的滾輪與型筒表面幾何誤差時,由于兩端支承處的幾何誤差相等,由此引起的激勵力也相等,故型筒轉(zhuǎn)子的形狀關(guān)于型筒中心對稱,振幅最大的點(diǎn)在型筒端部,最大振幅為4.96 μm。只考慮一處支承位置的滾輪與型筒表面幾何誤差時,型筒轉(zhuǎn)子的形狀是不對稱的,最大振幅也在型筒端部,為4.78 μm,遠(yuǎn)大于圖 9中由不平衡離心力引起的振動。

圖12　ω1=2 000 r/min時型筒轉(zhuǎn)子振型Fig.12　Modes of mould rotor when ω1=2 000 r/min in the form of specific functions

在實際中,支承滾輪與型筒的外圓幾何誤差往往難以通過一個確定的函數(shù)進(jìn)行表達(dá),對于這種情形,本文的計算方法同樣可以對其進(jìn)行計算。圖 13給出了左、右滾輪和型筒外圓初始時刻的一組幾何誤差的離散曲線。通過編程計算,可得到滾輪轉(zhuǎn)速在0～2 000 r/min范圍內(nèi)型筒轉(zhuǎn)子在x方向的幅頻響應(yīng)如圖 14所示。

從圖14可以看出,驅(qū)動滾輪轉(zhuǎn)速在0～2 000 r/min范圍內(nèi)與圖 11類似,轉(zhuǎn)子的最大振幅也出現(xiàn)好幾處峰值。當(dāng)同時考慮兩端支承位置的滾輪與型筒表面幾何誤差時,比較明顯的峰值有3個,其對應(yīng)的滾輪轉(zhuǎn)速分別約為320、925、1 775 r/min。若只考慮一端支承位置的滾輪與型筒表面幾何誤差,比較明顯的峰值有6個,對應(yīng)的滾輪轉(zhuǎn)速分別為320、925、1 200、1 250、1 450、1 725 r/min。當(dāng)考慮兩端支承誤差時,最大振幅發(fā)生在滾輪轉(zhuǎn)速925 r/min,達(dá)到0.011 mm;僅考慮一端支承誤差,最大振幅發(fā)生在滾輪轉(zhuǎn)速為1 725 r/min時,達(dá)到0.041 mm。

圖13　滾輪與型筒表面幾何誤差(離散點(diǎn)形式)Fig.13　Geometric errors of rollers and mould in the form of discrete points

圖14　考慮表面幾何誤差時幅頻響應(yīng)(離散點(diǎn)形式)Fig.14　Amplitude-frequency response curves with geometric errors involved in the form of discrete points

圖15示出了ω1=2 000 r/min時由滾輪與型筒外圓誤差引起的型筒轉(zhuǎn)子的形態(tài)。從圖中可以看到,與圖 12類似,當(dāng)同時考慮兩處支承位置的滾輪與型筒表面幾何誤差時,型筒轉(zhuǎn)子的形狀關(guān)于型筒中心對稱,振幅最大的點(diǎn)在型筒端部,最大振幅為0.125 μm。只考慮一處支承位置的滾輪與型筒表面幾何誤差時,型筒轉(zhuǎn)子的形狀是不對稱的,最大振幅也在型筒端部,為0.272 μm。

圖15　ω1=2 000 r/min時型筒轉(zhuǎn)子振型(離散點(diǎn)形式)Fig.15　Modes of mould rotor when ω1=2 000 r/min in the form of discrete points

將考慮與不考慮幾何誤差的計算結(jié)果匯總,見表2?？紤]了滾輪和型筒的表面幾何誤差后,型筒轉(zhuǎn)子的振動性能發(fā)生了很大的改變,因此從減小振動量的角度考慮,在對滾輪和型筒這兩個零件進(jìn)行加工時,需要盡可能保證加工精度。

表2　不同情況下計算結(jié)果的比較

3　結(jié)　論

(1) 離心鑄造機(jī)的支承滾輪和型筒在加工過程中會產(chǎn)生表面幾何誤差,而幾何誤差會對型筒轉(zhuǎn)子形成激勵,進(jìn)而對其振動性能產(chǎn)生影響。本文建立了描述滾輪與型筒幾何誤差的數(shù)學(xué)模型,給出了計算滾輪與型筒接觸點(diǎn)坐標(biāo)的計算方法,求得型筒轉(zhuǎn)子受到支承滾輪的激勵力,再結(jié)合傳遞矩陣法,構(gòu)建了能夠在考慮支承滾輪與型筒外圓幾何誤差的情況下對型筒振動性能進(jìn)行計算的方法。

(2) 通過算例,分別計算了不考慮滾輪與型筒表面幾何誤差和考慮滾輪與型筒表面幾何誤差時轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng),得到了各種情況下的幅頻響應(yīng)曲線和振型曲線。計算結(jié)果表明滾輪和型筒的表面幾何誤差對型筒轉(zhuǎn)子振動性能有較大影響:考慮了滾輪與型筒的外圓形狀誤差后,幅頻響應(yīng)曲線中發(fā)生共振的轉(zhuǎn)速數(shù)量增加; 在相同轉(zhuǎn)速下,滾輪與型筒的外圓形狀誤差比不平衡離心力引起轉(zhuǎn)子更大的振動。

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Influence of Geometric Errors of Rollers and Mould on Vibration Characteristics of a Roller-Supporting Horizontal Centrifugal Casting Machine

LI Liu-xiang,LI Zheng-mei,HUANG Long-wen,AN Qi

(School of Mechanical and Power Engineering,East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China)

Vibration of the mould of a roller-supporting horizontal centrifugal casting machine for furnace tubes strongly influences the final quality of the products,and the geometric errors of rollers and mould are the important source for mould rotor vibration.The primary goal of this research is to investigate the influence of geometric errors of rollers and mould on the vibration characteristics of a horizontal centrifugal casting machine.A model describing the geometric errors of rollers and mould is established by mechanics analysis.The approach to calculate the coordinates of contact points is introduced to determine the excited forces caused by the geometric errors.Using the transfer matrix method,vibration characteristics are calculated and analysed with the geometric errors of rollers and mould involved.The results reveal that the mould vibration characteristics are significantly influenced by the geometric errors of rollers and mould.

roller supporting; horizontal centrifugal casting machine; geometric error; mould; forced vibration

1006-3080(2016)04-0572-08

10.14135/j.cnki.1006-3080.2016.04.020

2015-12-28

李柳湘(1990-),女,廣西柳州人,博士生,研究方向為轉(zhuǎn)子動力學(xué)。

通信聯(lián)系人：安琦,E-mail:anqi@ecust.edu.cn

TH113.1

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