例談“三角代換”法證明不等式

洪木山（福建省南安第一中學(xué)）

例談“三角代換”法證明不等式

洪木山
（福建省南安第一中學(xué)）

變量代換是解決數(shù)學(xué)問題的常用技巧，在高考試卷特別是數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn)頻繁。對于一些結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，變元較多而變化關(guān)系不太清楚的不等式，可以適當引進一些新變量替換（或者部分替換）原來的變量，從而簡化結(jié)構(gòu)，凸顯特征，是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的重要體現(xiàn)。三角代換是一種常用的代換方法，下面通過舉例子來說明用“三角代換”法證明不等式。

例1.設(shè)x1，x2，y1，y2∈R，證明

當x1，x2，y1，y2不全為零時，其中等號當且僅當cos（α-β）=±1時取得，

即當x1=λx2，y1=λy2時，等號成立。

于是y2≤n2-m，即故原不等式得證。

說明：兩道題的證明都采用了三角代換的技巧，事實上形如a2+b2≤r2的結(jié)構(gòu)均可以考慮作類似的三角代換。三角代換不止于此，還可以將代數(shù)等式或不等式與三角恒等式進行類比，從而得到所需要的形式新穎的不同代換。

·編輯王團蘭