Verhulst優(yōu)化模型在基礎(chǔ)沉降預(yù)測中的應(yīng)用

張闖，彭振斌

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083)

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Verhulst優(yōu)化模型在基礎(chǔ)沉降預(yù)測中的應(yīng)用

張闖，彭振斌

(中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410083)

由于傳統(tǒng)的灰色Verhulst模型在基礎(chǔ)的沉降預(yù)測中精度較低，提出優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型和背景值初值優(yōu)化的灰色Verhulst模型。優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型是采用離散化思維對原數(shù)據(jù)序列進行倒數(shù)變換創(chuàng)建，完成了從連續(xù)的形式向離散的形式變化，減少了傳統(tǒng)Verhulst模型建模過程中從微分方程到差分方程帶來的誤差。背景值初值優(yōu)化的灰色Verhulst模型是采用變換倒數(shù)和優(yōu)化的約束模型來求解背景值參數(shù)與初值參數(shù)而建立的。經(jīng)過工程實例中優(yōu)化模型與傳統(tǒng)的Verhulst模型的對比，由預(yù)測結(jié)果可以得出2種優(yōu)化模型具備更高的預(yù)測精度的結(jié)論，因此在沉降分析中可從這2種優(yōu)化的模型中選取合適的模型對類似工程沉降進行預(yù)測。

沉降預(yù)測；優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型；背景值初值優(yōu)化的灰色Verhulst模型；預(yù)測精度

建筑物基礎(chǔ)沉降的計算是巖土工程重要問題之一。由于土體、施工、荷載等計算參數(shù)有很大的不確定性，而現(xiàn)有理論的計算方法大都基于一維固結(jié)理論狀態(tài)，沉降計算值與實測值差距很大。地基固結(jié)十分緩慢，幾年到十幾年才能最終穩(wěn)定，沉降監(jiān)測既費時又費力，因此沉降準(zhǔn)確預(yù)測就顯得非常重要。一般利用施工期間的沉降觀測資料來推測建筑物使用過程中的沉降與時間的關(guān)系[1]，但理論還未成熟。隨著研究的深入，出現(xiàn)了很多預(yù)測沉降的方法，例如，雙曲線法、指數(shù)法、Asaoka法、遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法和灰色理論GM(1，1)和Verhulst法等[2-11]。土力學(xué)理論已證實，符合線性加載條件，建筑物基礎(chǔ)全過程沉降與時間關(guān)系具備飽和狀態(tài)呈“S”形曲線[12]，灰色Verhulst模型表現(xiàn)出的規(guī)律和沉降的時間關(guān)系曲線相同呈“S”形變化，所以工程中常用灰色Verhulst模型來預(yù)測沉降。然而灰色Verhulst模型預(yù)測精度相對較低，對此本文將2種優(yōu)化的灰色Verhulst模型引入沉降預(yù)測，分別是優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型和背景值初值優(yōu)化的灰色Verhulst模型。在創(chuàng)建離散灰色模型的過程中，預(yù)測、模擬、參數(shù)估計都利用的是離散方程，沒有離散模型與連續(xù)模型之間的近似代替，因而減少了誤差，使模型具備很高的精度[13]。當(dāng)前灰色Verhulst模型優(yōu)化的研究許多是從初值或者背景值，單獨利用遺傳算法、最小二乘法、線性規(guī)劃等方法對模型的優(yōu)化，而將兩者同時考慮對模型進行優(yōu)化鮮見文獻。本文采用變換倒數(shù)和最小偏差優(yōu)化模型求出背景值的參數(shù)和初值的參數(shù)，且通過實例證實了優(yōu)化模型能很好地提高預(yù)測精度。

1　優(yōu)化的模型

1.1灰色Verhulst模型

x(0)(k)+az(1)(k)=b(z(1)(k))2

(1)

根據(jù)式(1)利用最小二乘法，估計出參數(shù)a，b的值，得:

(2)

其中

定義2[11-12]：將下式

(3)

稱作灰色Verhulst模型白化方程。

(4)

Verhulst模型的已知數(shù)據(jù)序列應(yīng)是等時間段的，原始數(shù)據(jù)序列很多時候都是不等距的，因此能夠利用spline三次樣條插值[15-16]和Hermite插值[17]等方法對原始數(shù)據(jù)進行等距處理。

1.2基于背景值優(yōu)化的灰色Verhulst模型

由式(2)可知，a和b的值由背景值z(1)(k)決定，灰色Verhulst模型的模擬和預(yù)測精度直接被z(1)(k)的構(gòu)造方式影響。要減少預(yù)測模型由背景值造成的誤差，就要先確定灰色Verhulst模型背景值產(chǎn)生誤差原因，然后對誤差產(chǎn)生的原因進行消除優(yōu)化。對式(3)，在區(qū)間[k-1，k]上求積分可得：

(5)

圖1　灰色Verhulst模型背景值的誤差來源Fig.1 Error sources of background value of grey Verhulst model

(6)

為基于背景值優(yōu)化的灰色Verhulst模型。

1)參數(shù)C，D，A的求解：

(7)

(8)

又由y(0)(k)=DeCk(1-eC)，根據(jù)式(8)可得：

(9)

再由y(0)(n)=y(1)(n)=A+DeCn，根據(jù)式(8)和式(9)分離變量可得：

A=y(0)(n)-DeCn=

(10)

(11)

同理可得：

(12)

3)參數(shù)a和b的求解

1.3初值優(yōu)化的灰色Verhulst模型

除背景值的構(gòu)造過程帶來的誤差會降低灰色Verhulst模型模擬和預(yù)測精度，選擇的初值條件也是一個重要的影響因素。因為傳統(tǒng)的灰色Verhulst模型都是建立在過點(1，x(1)(1))的擬合曲線基礎(chǔ)之上，但擬合的最優(yōu)曲線并不一定會通過歷史數(shù)據(jù)中的某一點。要得到擬合的最優(yōu)曲線，則要對模型進行初值的優(yōu)化來提高模型的建模精度，設(shè)：

(13)

(14)

(15)

1.4優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型

y(1)(k+1)=β0+β1k+β2y(1)(k)

(16)

稱作優(yōu)化的離散Verhulst模型。

優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型中的待估參數(shù)為β=(β0,β1,β2)T，采取最小二乘法對式(16)進行計算可得參數(shù)：

(17)

式中

(18)

(19)

1.5預(yù)測值的精度檢驗

1)相對誤差α：

(20)

2)后驗差比C：

C=S2/S1

(21)

式中：S1為原始數(shù)據(jù)的均方差；S2為殘差的均方差。

3)絕對關(guān)聯(lián)度ε：

εij=

(22)

(23)

4)小誤差概率P：

(24)

2　應(yīng)用實例

為了驗證本文優(yōu)化模型的有效性，根據(jù)文獻[11]和[19]的沉降觀測數(shù)據(jù)來建模，并用優(yōu)化模型和文獻中的模型的模擬值與預(yù)測值和其實測值進行對比，來說明優(yōu)化模型極大地提高了模擬精度和預(yù)測精度。

表1　模型精度等級

文獻[11]為高層建筑基礎(chǔ)沉降。用文獻[11]中前7個實測值進行預(yù)測建模求出優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型參數(shù)為β0=0.053 911,β1=

-0.001 062,β2=0.327 841，代入式(18)求出:

0.327 841k-0.001 580k)-1，k=1,2…6

(25)

分別將k=1,2…6代入式(25)求出擬合值，再將k=7,8,9代入式(25)求出預(yù)測值與文獻[11]中后3個實測值進行對比。求出的擬合值及預(yù)測值見表2。

e-0.946040(k-1)),k=2,3…7

(26)

分別將k=2,3…7代入式(26)求出擬合值，再將k=8，9，10代入式(26)求出預(yù)測值與文獻[11]中后3個實測值進行對比。求出的擬合值及預(yù)測值見表2。

文獻[19]為復(fù)合地基沉降。用文獻[19]中前8個實測值進行預(yù)測建模求出優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型參數(shù)為β0=0.0438 83,β1=

-0.001 428,β2=0.372 721，代入式(18)求出：

0.372 721k-0.002 278 k)-1，k=1,2…7

(27)

分別將k=1,2…7代入式(27)求出擬合值，再將k=8,9代入式(27)求出預(yù)測值與文獻[19]中后2個實測值進行對比，求出的擬合值及預(yù)測值見表3。

e-0.784361(k-1)),k=2,3…8

(28)

分別將k=2,3…8代入式(28)求出擬合值，再將k=9,10代入式(28)求出預(yù)測值與文獻[19]中后2個實測值進行對比，求出的擬合值及預(yù)測值見表3。

表2不同模型的預(yù)測分析結(jié)果

Table 2 Prediction and analysis results of different models

由表2～3數(shù)據(jù)可以看出，優(yōu)化的模型擬合值與實測值很相近，表2中優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型平均相對誤差只有0.642 6，僅是傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的1/5，背景值初值優(yōu)化的灰色Verhulst模型平均相對于誤差只有0.704 0，僅是傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的1/4，表3中優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型平均相對誤差只有0.562 5，僅是傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的1/4，背景值初值優(yōu)化的灰色Verhulst模型平均相對誤差為1.187 9，是傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的1/2，都顯示了優(yōu)化的模型擬合精度較高。表2～3中優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型和背景值初值優(yōu)化的灰色Verhulst模型的后驗差比值均比傳統(tǒng)Verhulst模型的后驗差比值小，說明優(yōu)化模型有很好的有效性。由表1得到優(yōu)化模型的精度等級為一級。從表2～3中還可得出，優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型比背景值初值優(yōu)化的灰色Verhulst模型的平均相對誤差小，因此優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型擬合精度較高。從上面的分析得出，優(yōu)化模型比傳統(tǒng)模型具備更高的可靠性和預(yù)測精度以及較好的模擬預(yù)測效果。

表3不同模型的預(yù)測分析結(jié)果

Table 3 Prediction and analysis results of different models

3　結(jié)論

1)優(yōu)化的灰色離散Verhulst模型是由變換倒數(shù)生成的序列建立的，把適用范圍擴展到近似“S”型數(shù)據(jù)序列，而且能很好地減少由微分方程到差分方程建模過程中所帶來的誤差。

2)采用倒數(shù)變換和優(yōu)化模型求出的參數(shù)建立了背景值初值優(yōu)化的Verhulst模型，可以減小了由背景值和初值產(chǎn)生的誤差。

3)優(yōu)化灰色離散Verhulst模型和背景值初值優(yōu)化灰色Verhulst模型與傳統(tǒng)灰色Verhulst模型的平均相對誤差、絕對關(guān)聯(lián)度、后驗差比值、小誤差概率等進行比較，由比較結(jié)果可知優(yōu)化模型具備較好的有效性、實用性和可靠性。

4)擬合結(jié)果表明優(yōu)化模型具有預(yù)測精度高、預(yù)測誤差波動小等顯著特點，且擬合值與觀測值非常接近，所以優(yōu)化模型具備更好的適用性而且在工程應(yīng)用中能發(fā)揮更大的價值。

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Application of the optimized Verhulst model to prediction of foundation settlement

ZHANG Chuang,PENG Zhenbing

(School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083， China)

Due to the low accuracy of the traditional grey Verhulst model in the foundation settlement prediction,the paper puts forward the optimized discrete grey Verhulst model and the grey Verhulst model of background value and initial optimization. Using discretization thought for reference, a grey discrete Verhulst model was constructed by reciprocal generation of the original data sequence. The grey discrete Verhulst model realizes changes from continuous form to discrete form, and eliminates jumping errors from the differential equation to the difference equation.The grey Verhulst model of background value and initial optimization were established by using the reciprocal transformation and the optimization model without constraint to acquire the parameters of the background value and initial value. The predicted results show that compared with the traditional Verhulst model by engineering examples, the proposed models possess much higher prediction precision. So the suitable model can be selected from the two optimization models to predict the settlement of similar projects.

settlement prediction; the optimized discrete grey Verhulst model; the grey Verhulst model of background value and initial optimization;prediction precision

2015-11-02

彭振斌(1952-)，男，湖南長沙人，教授，從事灌漿堵漏以及基礎(chǔ)沉降預(yù)測等方面的工作；E-mail：zbp9040@.sina.com

TU433

A

1672-7029(2016)08-1535-08