非線性Dirichlet型三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

郭 海 杰

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京　210023)

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非線性Dirichlet型三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性

郭 海 杰

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京210023)

利用錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理,得到了非線性Dirichlet型三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解存在性的條件.

不動(dòng)點(diǎn)定理; 正解; 存在性; 二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題

非線性常微分方程邊值問(wèn)題正解的存在性問(wèn)題有著豐富的實(shí)際應(yīng)用背景,在整個(gè)常微分方程領(lǐng)域的研究也顯得十分重要.近幾十年,在泛函分析理論和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的推動(dòng)下,非線性常微分方程非局部問(wèn)題的研究得到迅速發(fā)展,并取得了重大的進(jìn)展與成果,而且隨著新問(wèn)題的產(chǎn)生,也形成了許多新的研究方向.

首先,研究領(lǐng)域由線性常微分方程推廣到非線性常微分方程.另外,常微分方程研究由整數(shù)階多點(diǎn)邊值問(wèn)題推廣到分?jǐn)?shù)階多點(diǎn)邊值問(wèn)題,例如一類時(shí)間分?jǐn)?shù)階延遲微分方程的數(shù)值解法[1],變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階對(duì)流擴(kuò)散方程的有限差分解法[2].還有,邊值條件也由齊次推廣到非齊次[3-4].

1999年,馬如云[5]率先研究三點(diǎn)邊值問(wèn)題

(1)

(2)

正解的存在性,提出了研究這類問(wèn)題的關(guān)鍵條件

并在非線性項(xiàng)滿足超線性或次線性條件的前提下,研究出了正解的存在性成果.此后,多位數(shù)學(xué)研究者將上述結(jié)果推廣和發(fā)展到更加廣泛的邊界條件和更加一般的線性微分算子的情形.

1　常用定義和定理

定義2[6]設(shè)E是實(shí)Banach空間,P是E中的非空凸閉集.如果P滿足

① x∈P,λ≥0?λx∈P;

② x∈P,-x∈P?x=θ.

則稱P是E中的一個(gè)錐.

滿足:

① ‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω1且‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω2(即范數(shù)錐拉伸)或

② ‖Au‖≥‖u‖,u∈K∩?Ω1且‖Au‖≤‖u‖,u∈K∩?Ω2(即范數(shù)錐壓縮),

2　預(yù)備知識(shí)

本文是在馬如云[5,8-9]的基礎(chǔ)上進(jìn)行了研究與創(chuàng)新.

本節(jié)假定:

(H1)f∈C([0,∞),[0,∞));

(H2)a∈C([0,1],[0,∞))且存在t0∈[ξ,1]使得a(t0)>0.

定義3[7]若u(·)∈C2[0,1]滿足方程(1)及邊界條件(2),并且對(duì)t∈(0,1),有u(t)>0,則稱u(t)是(1)、(2)的正解.

引理1[3]設(shè)αξ≠1,則對(duì)a∈C[0,1],問(wèn)題

(3)

(4)

有唯一解

引理3[7]設(shè)αξ>1.若a∈C[0,1]且a≥0,則問(wèn)題(3)、(4)沒(méi)有正解.

3　主要定理及證明

定理2設(shè)0<ξ<1,0<α<1/ξ,并且設(shè)(H1),(H2)成立.假設(shè)f滿足下列條件之一:

① ?H1>0,00,u≥H2,f(u)≥Mu;

② ?H3>0,00,u≥H4,f(u)≤εu.

其中ε>0,M>0,H2>2H1,H4>2H3,且滿足:

則問(wèn)題(1)、(2)至少有一個(gè)正解.

證明u=u(t)是(1)、(2)的解重要條件是u是算子方程

的解.

定義

且K是C[0,1]中的一個(gè)錐.AK?K且A:K→K是全連續(xù)算子.

先證第一種情形:

令

顯然θ∈Ω1.

則當(dāng)u∈K∩?Ω1時(shí),有

即可得到‖Au‖≤‖u‖.

令

則當(dāng)u∈K∩?Ω2時(shí),有

‖u‖,

即可得到‖Au‖≥‖u‖.

即問(wèn)題(3)、(4)至少有一個(gè)正解.

再證第二種情形:

令

顯然θ?Ω3.

則當(dāng)u∈K∩?Ω3時(shí),有

‖u‖,

即可得到‖Au‖≥‖u‖.

① f有界.即?N>0,使得對(duì)?u∈[0,+∞),都有f(u)≤N.這時(shí)取

即有‖Au‖≤‖u‖.

即有‖Au‖≤‖u‖.

由上可知,無(wú)論f屬于哪種情況,只要令

所以由范數(shù)形式的錐拉伸與錐壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理可知,問(wèn)題(1)～(2)至少有一個(gè)正解.

例

(5)

(6)

考察上述二階三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解的存在性.

綜上,由定理2可知問(wèn)題(5)～(6)至少有一個(gè)正解.

4　結(jié)　　語(yǔ)

對(duì)于非線性Dirichlet型三點(diǎn)邊值問(wèn)題正解存在性的研究表明,不管超線性或者次線性的極限存在與否,在更一般的不等式條件下二階多點(diǎn)邊值問(wèn)題仍然具有正解.

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【責(zé)任編輯: 肖景魁】

Existence of Positive Solutions for Nonlinear Dirichlet Type Three Point Boundary Value Problems

GuoHaijie

(School of Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing 210023, China)

By using the Krasnoselskii’s fixed point theorem of cone expansion-compression type, some existence results for positive solutions of a nonlinear Dirichlet three-point boundary value problem are obtained.

fixed point theorem; positive solution; existence; second-order three-point boundary value problem

2016-01-11

郭海杰(1991-),女,山東濟(jì)寧人,南京財(cái)經(jīng)大學(xué)碩士研究生.

2095-5456(2016)04-0340-05

O 175.14

A