Navier-Stokes-Poisson方程的兩個注記

周海軍，高真圣

(華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州　362021)

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Navier-Stokes-Poisson方程的兩個注記

周海軍，高真圣*

(華僑大學 數(shù)學科學學院，福建 泉州362021)

研究空間維數(shù)為2或3情形下Navier-Stokes-Poisson方程組中的“Poisson”項。一方面得到了該項在旋轉變化下的形式不變性以及在Riesz算子作用下的有界性；另一方面利用Helmholtz分解等方法，給出未知向量函數(shù)的計算公式。

Navier-Stokes-Poisson方程； Riesz算子；傅里葉變換； Helmholtz分解

0　引言

Navier-Stokes-Poisson方程具有很強的物理背景，主要可以描述天體星云在有粘性和有重力時的運動狀態(tài)，它的一般形式為：

(1)

Navier-Stokes-Poisson方程是目前流體研究的熱門之一，許多優(yōu)秀的數(shù)學家都致力于這方面的研究，并且取得了許多結果，例如文[1]證明了二維可壓該方程解的存在性問題，文[2]研究了高維全空間中可壓情形下的適定性問題，文[3] 研究了球對稱系統(tǒng)的穩(wěn)定性，文[4]研究了三維以及更高維可壓方程組解的全局存在性，文[5]研究了三維空間中系統(tǒng)的最優(yōu)衰減率；文[6]研究了非等熵可壓系統(tǒng)的最優(yōu)衰減率等。若不考慮“Poisson項”，文[7]、[8]研究了帶有外力項的可壓縮的Navier-Stokes方程。

本文主要研究該方程組中的“Poisson項”在旋轉變化下范數(shù)的有界性以及與“Poisson項”有關的向量函數(shù)的表達式的推導，得到了兩個主要定理。

1　預備知識

1.1符號說明

記x=(xi)1×n、y=(yi)1×n(n=2或3)等表示空間變量且為行向量，f=f(x,t)、φ=φ(x,t)等為數(shù)量函數(shù)，u=u(x,t)=(ui(x,t))1×n、v=v(x,t)=(vi(x,t))1×n為向量函數(shù)；A=A(x,t)=(aij(x,t))n×n、B=B(x,t)=(bij(x,t))n×n等表示矩陣函數(shù)。拉普拉斯算子作用在向量函數(shù)u上有Δu=(Δui)1×n。當同一表達式中指標重復出現(xiàn)時，采用愛因斯坦求和約定。接下來給出一些矩陣運算及若干算子的定義。

定義1向量間的張量積為u?v=uTv，矩陣的數(shù)量積為A∶B=aijbij,向量和矩陣的點積為u·A=uAT。

注釋1這里uTv=uivi、uA=(ukaki)1×n以及AB=(aikbkj)n×n等為矩陣間的普通乘積。矩陣間的數(shù)量積具有A∶B=B∶A，A∶B=AT∶BT及A∶(AB)=(ATA)∶B等性質。

在前面兩個定義的基礎上，可得到如下命題

命題1已知函數(shù)f∈C1(Rn×R+)、u∈[C1(Rn×R+)]n，若ft=-div(fu)，則有

(fu)t+div(fu?u)=fut+fu·▽u。

證明由命題的已知條件得 (fu)t=-div(fu)u+fut=-f(divu)u-(▽f·u)u+fut,

另一方面，結合注釋2有

div(fu?u)=(divu)fu+u·▽(fu)

=f(divu)u+u·(f▽u+uT▽f)

=f(divu)u+fu·▽u+u·(uT▽f)

所以

(fu)t+div(fu?u)=-(▽f·u)u+fut+fu·▽u+u(▽f)Tu

=fut+fu·▽u+(-▽f·u+u·▽f)u

=fut+fu·▽u。證畢。

注釋3若定義u·▽=ui?xi，則有u·▽u=(u·▽)u。

若不考慮變量t時，可記f(x,t)=ft(x)。當1≤p<∞，定義勒貝格空間[9]如下：

其元素的范數(shù)為

定義3Riesz算子[8]Rj：Lp(Rn)→Lp(Rn)、ft(x)|→Rjft(x),且滿足

1.2輔助引理

本文主要定理的證明還需要如下幾個引理

用u∈[Ck(Rn×R+)]n表示ui∈Ck(Rn×R+)(i=1,2,…,n;k∈N)。若向量x,y滿足線性變換x=yM,其中M為常數(shù)矩陣，則有

引理1若函數(shù)u∈[C1(Rn×R+)]n，則

divyu(yM,t)=▽xu(x,t)∶M,▽yu(yM,t)=▽xu(x,t)·M。

從而有

又因為

▽yui(yM,t)=(▽xui·αk)1×n=▽xui·M

所以▽yu(yM,t)=▽xu·M。證畢。

在引理1中，若線性變換為旋轉變換，則有

證明任取i∈{1,2,…,n}，由引理1、定義1以及注釋1得到

divy(▽yui(yM,t))=divy(▽xuiMT)=▽x(▽xuiMT):M=(M▽x(▽xui)):M

因為M為旋轉矩陣，從而MTM=I，這里I為單位矩陣。

從而有Δyui(yM,t)=Δxui(x,t)，

又由于i的任意性以及Δyu(yM,t)=(Δyui(yM,t))1×n可知結論成立。證畢。

結合文[11]中的Hormander-Mikhlin定理可得到如下的Riesz算子的連續(xù)性結論

引理3Riesz算子Rj：Lp(Rn)→Lp(Rn)為連續(xù)線性算子，特別的有

‖Rjf‖Lp(Rn)≤c(n,p)‖f‖Lp(Rn), ?f∈Lp(Rn)，

這里c(n,p)為與n,p有關的常數(shù)。

引理4設函數(shù)g(t)∈C1(R)、u(y,t)∈[C0(Rn×R+)]3，則有

以及

這里▽×u為向量u的旋度，u×x為向量間的向量積。

2　主要結果及其證明

(2)

(3)

由引理3得

(4)

聯(lián)立式(3)、(4)得

則有(2)式成立。從而完成定理1的證明。

接下來，介紹另一個主要結論

定理2設一外力F∈[C2(Ω)]3與方程組(1)中的Φ滿足

divF=-ΔΦ，

若▽×F=x,則F可表示成

(5)

證明由于F∈[C2(Ω)]3，Ω為有界區(qū)域，考慮到div(▽f)=Δf,div(▽×u)≡0,根據(jù)Helmholtz分解定理[12]，得知存在函數(shù)w∈[C2(Ω)]3,使得

F=-▽Φ+▽×w

(6)

進一步地，若divF=ψ，▽×F=H,則

(7)

又由于ψ(y)=-ΔΦ(y)=4πGρ(y),H(y)=y

(8)

將 (8) 式代入(6)式，便得到等式(5)成立。從而定理2的證明。

[1]ZHANGYH,TANZ.OntheexistenceofsolutionstotheNavier-Stokes-Poissonequationsofatwo-dimensionalcompressibleflow[J].MathMethApplSci,2007，30：305-329.

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Two Remarks on the Navier-Stokes-Poisson Equations

ZHOU Haijun，GAO Zhengsheng*

(School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou，F(xiàn)ujian 362021， China)

Study discussed the “Poisson” term of the Navier-Stokes-Poisson equations in 2 or 3 space dimensions. On the one hand, we obtained one form-invariance of this term under rotation transformation and the boundedness of this term under the of Riesz operator.Besides,we provided the calculation formulas of unknown vectorial function by using the methods such as Helmholtz decomposition and so on.

Navier-Stokes-Poisson equations; Riesz operator; Fourier transformation; Helmholtz decomposition

1004—5570(2016)04-0054-04

2016-05-18

福建省自然科學基金資助項目(2015J01582)

高真圣(1976-)，男，博士，副教授，研究方向：偏微分方程，E-mail：gaozhensheng@hqu.edu.cn.

O175.29

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