電磁軸承單自由度簡諧振動的自適應主動控制

徐　駿, 蔣科堅, 王　駿

(浙江理工大學信息學院， 杭州 310018)

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電磁軸承單自由度簡諧振動的自適應主動控制

徐駿, 蔣科堅, 王駿

(浙江理工大學信息學院， 杭州 310018)

為了防止電磁軸承轉(zhuǎn)子的不平衡振動影響轉(zhuǎn)子穩(wěn)定的運行，需采取振動控制以減弱不平衡振動。轉(zhuǎn)子不平衡振動可以分解為兩個正交方向上的單自由度簡諧振動，在兩個正交方向上同時執(zhí)行基于LMS算法的自適應振動控制，可實現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向二維的不平衡振動主動抑制。最后，在單自由度懸浮實驗臺上進行了振動抑制實驗。實驗表明所述方法振動抑制是有效的，并且能夠在控制收斂范圍內(nèi)，對振動幅值和相位的變化實現(xiàn)自適應跟蹤。同時，分析了步長因子、噪音、振動初相位等因素對其振動抑制性能的影響。

電磁軸承； 振動抑制； LMS算法； 自適應控制

0　引　言

轉(zhuǎn)子的不平衡振動是一種同轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速頻率相同的單頻率振動，是所有旋轉(zhuǎn)機構(gòu)最普遍的干擾激振源。尤其在轉(zhuǎn)子高速轉(zhuǎn)動情況下，由于這種振動力與轉(zhuǎn)速的平方成正比，不平衡振動是影響轉(zhuǎn)子高速穩(wěn)定性的主要因素。作為目前唯一在工業(yè)中得到實際應用的轉(zhuǎn)子振動主動控制元件——電磁軸承(也稱為主動電磁軸承，active magnetic bearing)，不但可以控制電磁力把轉(zhuǎn)子懸浮在期望位置，達到于傳統(tǒng)機械軸承的轉(zhuǎn)子支承效果，同時具有無接觸、無摩擦、無發(fā)熱、無需潤滑等特點，在滿足轉(zhuǎn)子高速旋轉(zhuǎn)要求的同時，還可以通過控制策略和參數(shù)的調(diào)節(jié)對轉(zhuǎn)子施加可控電磁力，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子振動在線的、實時的、主動的抑制。

電磁軸承能通過控制，強迫轉(zhuǎn)子按其幾何軸旋轉(zhuǎn)，達到振動抑制，提高旋轉(zhuǎn)精度的目的，稱之為不平衡補償控制(unbalance compensation)。目前研究已經(jīng)提出了多種采用電磁軸承進行轉(zhuǎn)子不平衡補償?shù)姆椒āchuhmann等[1]提出采用Kalman濾波器和最優(yōu)狀態(tài)反饋的方法控制不平衡力和減小轉(zhuǎn)子振動。Huang等[2]基于Takagi-Sugeno模糊模型，實驗研究了圓錐形電磁軸承的不平衡振動控制。Matras等[3]針對轉(zhuǎn)子不平衡和由于葉片斷裂引起的發(fā)動機轉(zhuǎn)子大不平衡，這些振動往往頻率已知，但幅值相位時變，提出自適應振動抑制方法。Arias等[4]為雙盤柔性轉(zhuǎn)子建立了有限元模型，每個單元視為歐拉梁結(jié)構(gòu)，進行不平衡振動的計算和控制。Tamisier等[5]描述了采用電磁軸承的磨床電主軸的機械構(gòu)造和控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，介紹了基于不平衡力激振識別的不平衡振動控制原理，但沒有給出詳細的算法。房建成等[6]建立了包含多振動源的轉(zhuǎn)子動力學建模，并提出了剛性轉(zhuǎn)子主動振動控制的要求。喬曉利等[7]提出了一種基于最小方差快捷分塊的自適應濾波器振動控制方法，并設計了電磁軸承柔性轉(zhuǎn)子多頻率成分的主動振動控制。莫逆等[8]通過有限元法對轉(zhuǎn)子進行建模，分析了再外力干擾下電磁軸承振動傳遞特性。高輝[9]提出了一種變步長的LMS自適應濾波器，用時變的補償信號來消除反饋，完成了系統(tǒng)振動控制。Jiang等[10]分析了轉(zhuǎn)子按幾何軸旋轉(zhuǎn)和按慣性軸旋轉(zhuǎn)兩種不平衡控制方法的實質(zhì)區(qū)別和聯(lián)系，并提出一種通過控制器接入點切換，方便實現(xiàn)轉(zhuǎn)子按幾何軸旋轉(zhuǎn)和按慣性軸旋轉(zhuǎn)兩種不平衡控制方法。彭曉軍[11]研究了自動平衡控制中通用陷波濾波器傳遞函數(shù)的參數(shù)與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系，以此提出了新的陷波濾波器設計方法。孫巖樺等[12]提出了一種分散自適應控制算法，并驗證了算法對系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化，給出了最優(yōu)解的算法。

本文通過建模分析，把轉(zhuǎn)子的徑向不平衡振動分解為兩個互相正交方向的獨立振動，每個方向的振動都表現(xiàn)為與轉(zhuǎn)速同頻的單頻率振動(簡諧振動)。因此，本文提出一種基于LMS(最小均方誤差)算法的單自由度振動自適應控制方法，可以在已知頻率前提下，對單頻率簡諧振動實現(xiàn)有效抑制。并且，在振動變化時，能夠?qū)φ駝拥姆岛拖辔粚崿F(xiàn)自適應跟蹤。在轉(zhuǎn)子徑向的兩個正交方向上，同時執(zhí)行這樣的單自由度振動控制，可實現(xiàn)轉(zhuǎn)子二維的不平衡振動抑制。在單自由度懸浮梁實驗臺上進行了振動控制實驗，并分析步長、噪音等因素對其振動抑制性能的影響。

1　電磁軸承的工作原理

電磁軸承可以通過對電磁力的主動控制把轉(zhuǎn)子懸浮在期望位置[13]，如圖1所示。由兩個位移傳感器分別檢測轉(zhuǎn)子在X,Y兩個互相正交方向的懸浮位置。每當轉(zhuǎn)子在受到干擾偏離期望位置時，經(jīng)由位移傳感器檢測出來轉(zhuǎn)子的位置偏移量，經(jīng)過控制器的控制策略產(chǎn)生相應的控制信號，然后由功率放大器放大產(chǎn)生驅(qū)動定子繞組的控制電流，定子繞組產(chǎn)生電磁力，使轉(zhuǎn)子回到預期位置，這就是電磁軸承的動態(tài)穩(wěn)定過程。通常，一個電磁軸承可以控制X,

Y兩個方向的電磁力，一個轉(zhuǎn)子由兩個電磁軸承支承。因此，轉(zhuǎn)子的徑向懸浮需要4個方向的可控電磁力。最基本的懸浮控制方法，每個方向采用獨立的反饋控制回路，可以實現(xiàn)電磁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的懸浮控制，稱為電磁軸承的分散控制。每個獨立的反饋控制回路稱為電磁軸承的單自由度的懸浮控制。以下討論單自由度的電磁軸承懸浮控制模型。

圖1　電磁軸承原理

2　電磁軸承單自由度懸浮建模和振動控制原理

單自由度的電磁軸承控制模型如圖2所示。通過懸浮控制器C(s)產(chǎn)生懸浮控制信號，經(jīng)過功率放大器P(s)和電磁軸承定子繞組A(s)后產(chǎn)生電磁力。電磁力和不平衡干擾力F(t)共同作用于轉(zhuǎn)子，形成轉(zhuǎn)子懸浮姿態(tài)變化。然后，把位移傳感器檢測到的轉(zhuǎn)子位移信號y(t)實時反饋給懸浮控制器，以實現(xiàn)對轉(zhuǎn)子的閉環(huán)反饋懸浮控制。

圖2　單自由度電磁軸承控制模型

由于轉(zhuǎn)子質(zhì)量的不平衡，轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)動時會產(chǎn)生與轉(zhuǎn)速同頻的單頻率不平衡力，這種不平衡力大小與轉(zhuǎn)速的平方成正比增加。從單自由度模型角度，轉(zhuǎn)子的不平衡力可以看成是直接作用于轉(zhuǎn)子的干擾外力。該干擾力始終與轉(zhuǎn)速同頻率，如圖2中的F(t)，可用式(1)表示：

(1)

其中：e表示為轉(zhuǎn)子的偏心距，m是轉(zhuǎn)子質(zhì)量，ω0為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，θ為不平衡力的初相角。

根據(jù)模型等效原則，不平衡力F(t)等效成一個疊加在功率放大器P(s)輸入端的不平衡干擾信號F′(t)，如圖3所示。

圖3　單自由度電磁軸承振動控制等效模型

若功率放大器P(s)和電磁軸承A(s)的幅頻特性P(jω)A(jω)=X(ω)φ(ω)，則不平衡干擾信號F′(t)可表示為：

(2)

轉(zhuǎn)子在不平衡力作用下，會產(chǎn)生轉(zhuǎn)速同頻的振動，即不平衡振動。在功率放大器前加入振動控制器(如圖3)。振動控制器通過檢測轉(zhuǎn)速頻率和當前的轉(zhuǎn)子振動位移產(chǎn)生振動控制信號。振動控制信號也被疊加到功率放大器的輸入端。在已知轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)頻率下，振動控制器可產(chǎn)生幅值和相位可調(diào)的同步正弦信號，

ycontrol(t)=Asin(ω0t+φ)=αsinω0t+βcosω0t

(3)

其中:A為振動控制器信號幅值，φ是信號的初相角，[α,β]是振動控制信號的傅里葉系數(shù)。

如果這個振動控制信號ycontrol(t)與不平衡干擾信號F′(t)正好大小相等，相位相反，不平衡干擾信號就能被完全抵消，從而實現(xiàn)不平衡抑制的目的。在系統(tǒng)線性或局部近似線性條件下，轉(zhuǎn)子的懸浮控制和不平衡振動控制是相互獨立的，不相互影響。

振動控制器的控制可以歸結(jié)為：根據(jù)轉(zhuǎn)速頻率，通過調(diào)節(jié)傅里葉系數(shù)[α,β]來改變正弦控制信號的幅值和相角。當控制信號改變時，轉(zhuǎn)子振動也隨之改變，直到振動控制信號與等效不平衡信號的幅值相位完全吻合，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)子振動的主動控制。

3　自適應振動控制

振動控制器的內(nèi)部結(jié)構(gòu)如圖4虛線框所示。振動控制器有一個輸出，即振動控制信號ycontrol(t)；兩個輸入，一個為轉(zhuǎn)速ω0，另一個為位移信號y(t)。實際中，轉(zhuǎn)子懸浮位移y(t)是一個混有系統(tǒng)噪聲的常數(shù)信號，另外，如果有不平衡振動，y(t)還會疊加不平衡振動信號成分。

圖4　單自由度電磁軸承振動控制原理

由如圖4可知，如果不平衡振動信號F′(t)被控制信號ycontrol(t)完全抵消時，那么在位移信號y(t)中將檢測不到不平衡振動成分，即控制誤差為零。因此，控制的目的就是使控制誤差ξ最小化，ξ可表示為:

ξ=F′(t)-ycontrol(t)

x1=sinω0t;x2=cosω0t;W=[α,β]

(4)

在實際應用中，為實現(xiàn)控制誤差最小的目的，最廣泛采用的控制目標函數(shù)是最小均方誤差(MSE)。MSE具有唯一全局最小解，容易進行數(shù)學處理。MSE目標函數(shù)表示為：

MSE=E[ξ2]=E[|F′(t)-ycontrol(t)|2]

=E[F′(t)2]-2E[F′(t)WXT]+

E[WXXTWT]

=E[F′(t)2]-2E[F′(t)XT]W+

WE[XXT]WT

(6)

其中E[]表示信號的期望均值運算。

從式(6)可以看出，E[ξ2]是一個有關(guān)W的二次函數(shù)，其最小值可以通過對W求偏導為零時求得，

2E[F′(t)XT]=0

(7)

解得E[ξ2]最小時，最優(yōu)的傅里葉系數(shù)矩陣W為:

WMSE=[α,β]=(E[XXT])-1E[F′(t)XT]

(8)

因此可知，存在一個最優(yōu)傅里葉系數(shù)矩陣WMSE，當傅里葉系數(shù)矩陣W等于WMSE時，可以使控制誤差達到最小均方誤差，此時的控制信號能完全抵消不平衡振動信號F′(t)，即振動被完全抑制。

但是，由于實際中的F′(t)不知道，WMSE不能通過式(8)求解。為得到WMSE，本文設計了一個基于LMS(最小均方)的自適應算法，通過迭代的方法，來逐次逼近WMSE。迭代公式如下：

(9)

式(9)中，x1(k),x2(k),y(k)分別為x1,x2,y(t)的離散采樣值。初始值[α(0),β(0)]可以取任意值，一般取[α(0),β(0)]=[0,0]；μ為步長因子，可調(diào)節(jié)算法的收斂快慢和穩(wěn)定性。當μ較小時，迭代收斂較慢，但是控制精度較高；當μ較大時，控制收斂較快，但控制精度降低。μ需要取不同的值，以滿足不同的振動頻率下控制收斂的需求，并且μ也可能取負值，因為不平衡力作用于轉(zhuǎn)子產(chǎn)生振動，力與振動的相位關(guān)系在某些頻率段是反向的。在實際應用中，μ值通常事先測定，使用中按轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速查表得到。

4　振動控制的實現(xiàn)機理和傳遞函數(shù)分析

從式(9)中可得，LMS算法的信號傳遞可用圖5表示。

圖5　LMS算法的信號傳遞

在k=n時刻y(k)輸入為單位沖激響應δ(n-k)，則D點的信號為：

(10)

同時，D到E是傳遞函數(shù)為μ/(z-1)的數(shù)字積分器，其沖激響應為μu(n-1)，因此，E點的響應為:

μsinω0n,n≥k+1

(11)

如圖5，再把x1(k)與其相乘，因此可以得到在yc1的輸出函數(shù)為：

yc1=μsin(ω0k)sin(ω0n),n≥k+1

(12)

同理可得yc2的輸出函數(shù)為：

yc2=μcos(ω0k)cos(ω0n),n≥k+1

(13)

所以，可以得到：

ycontrol=yc1+yc2=μsin(ω0k)sin(ω0n)+

μcos(ω0k)cos(ω0n)

=μu(n-k-1)cos((n-k)ω0)，

n≥k+1

(14)

因此，當k取0時，我們將其進行Z變換，即可得自適應振動控制模塊的傳遞函數(shù)為

(15)

下面將從信號處理角度，分析采用如圖4和式(9)的振動控制方法，其振動控制實現(xiàn)機理的實質(zhì)。如圖4可以簡化成圖6的控制模型，并表示為離散系統(tǒng)形式。同時，為了表述簡化，把系統(tǒng)模塊P(z),A(Z),R(z)看成一個整體模塊B(z)。因為振動控制和懸浮控制是相互獨立的，所以圖6中省略懸浮控制模塊，只討論振動控制部分。

圖6　電磁軸承自適應簡化模型

從圖6中，可以得到從F′(t)到y(tǒng)(t)的傳遞函數(shù)為

(16)

由于F′(t)是一個單頻率的正弦信號，經(jīng)過傳遞函數(shù)B(z)后，輸出還是正弦信號，只是幅值和相位的變化。因此，對于單頻率振動控制，B(z)可簡化為Bz-m，其中B是幅值變化比，m是控制滯后。代入式(16)后得，

(17)

由于電磁軸承控制的實時性要求，控制滯后(100ms級)相比不平衡振動頻率(6000r/min對應10ms)非常小。所以，對于頻率較低的不平衡振動，可以忽略式(17)中的控制滯后因素。

忽略控制滯后，繪制式(17)的零極點位置和幅頻特性如圖7所示。

圖7　振動控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)特性

傳遞函數(shù)的零點為：

z=e±jw0

(18)

可見在Z平面上，零點在單位圓上，相角為±ω0。因此該傳遞函數(shù)在頻率為ω0時，其幅頻特性值為0，即系統(tǒng)輸入信號中頻率為ω0的信號成分會被抑制到0。

傳遞函數(shù)的極點為：

(19)

=(1-0.5Bμ);

≈±cos-1[(1-0.5Bμ)(1-0.5Bμ)-1cosω0]

=ω0

(20)

由式(20)可知，當取Bμ?1時，極點位置和零點幾乎相同，所以在求其幅頻特性時，零極點可以對消，使得在大部分頻率，式(17)的幅頻特性值為常數(shù)，只有在零點ω0處有一個凹口，即如圖7(b)所示的形狀。

同時，由式(20)可知，由于零極點之間的距離約為0.5Bμ。極點和零點的距離決定了凹口的尖銳程度。當所取的步長越小，凹口的尖銳程度就越尖，其阻帶就越窄，對w0的信號的抑制更精確。反之，凹口就變得平坦，對w0信號成分的抑制精度下降。

5　實驗與分析

5.1實驗裝置

實驗裝置單自由度電磁懸浮實驗臺如圖8所示。實驗臺為懸浮梁結(jié)構(gòu)，一端和鉸鏈相連，另一端是由主動電磁懸浮支承。此實驗臺從力學角度模擬了電磁軸承的單自由度懸浮支承，數(shù)學模型完全相同。該實驗臺采用模擬線性霍爾位移傳感器(霍爾芯片信號SS495)和PIC-1710采集卡對位移信號進行采集，控制算法調(diào)試采用Matlab的windows-realtime實時控制系統(tǒng)。主要參數(shù)如下：懸浮等效質(zhì)量5.8kg；懸浮氣隙0.88mm；電流剛度系數(shù)Ki=170.87N/A，位移剛度系數(shù)Kx=485424N/M，偏置電流1.25A。

通過實驗發(fā)現(xiàn)，實驗臺懸浮結(jié)構(gòu)的共振頻率在23Hz附近。在共振頻率，能以較小的激勵獲得較大的振動，振動信號清晰，有利于實驗。當頻率大于或小于偏離23Hz時，振動會逐步較小。因此，以下實驗選擇正弦激勵信號頻率為ω0=23Hz下進行。

圖8　單自由度電磁軸承懸浮實驗臺

5.2振動抑制效果實驗

實驗在懸浮梁穩(wěn)定懸浮的狀態(tài)下進行。首先，在懸浮控制器輸出信號中疊加23Hz的正弦干擾激勵，懸浮梁在激勵下振動。然后，啟動振動控制，觀察控制過程的振動變化情況。圖9是懸浮梁的振動位移在初始階段，加激勵信號以及啟動振動控制的整個時域過程?？梢悦鞔_的看到在加入自適應振動控制后，正弦干擾振動逐漸減小。最后，振動被抑制到系統(tǒng)噪聲相近的水平。實驗結(jié)果表明，本文提出的振動控制方法是有效的。

圖9　下電磁軸水位置變化

5.3不同象限初相位的振動適應跟蹤

本實驗為了檢驗本文提出的振動控制方法對初相位在不同象限振動的自適應跟蹤能力。實驗采用了4組激勵信號，頻率和幅值相同，初相位分別在四個不同象限，其傅里葉系數(shù)分別[α,β]為[40,40] [-40,40], [-40,-40], [40,-40]，同時，初始的 [α0,β0]都是從[0,0]開始跟蹤。

圖10為實驗結(jié)果，可見不論振動的初相位[α,β]位于那個象限，自適應振動控都可以實現(xiàn)準確的跟蹤。因此，實驗表明，對相位不斷動態(tài)變化振動條件，本文提出的振動控制方法具有自適應跟蹤能力。當然，必須在振動變化速度小于自適應控制的收斂速度的前提下。

圖10　不同象限[α,β]跟蹤效果

5.4不同步長對自適應振動控制性能的影響

本實驗為了測試當步長μ取值不同時，對自適應控制性能的影響。在振動控制能穩(wěn)定收斂的范圍內(nèi)，分別取大小不同的4個μ值。實驗結(jié)果如圖11所示，在控制穩(wěn)定收斂范圍內(nèi)，步長因子μ的增大可以顯著加快振動控制的收斂過程。但是，步長因子μ的增大也使得控制穩(wěn)定后，殘余振動變大，即控制精度降低了。最后，當步長因子增加到0.0002，啟動振動控制后，振動迅速增大，控制不能收斂，懸浮梁立即碰到上下兩側(cè)的懸浮極限位置了。因此，選取合適步長的標準是即保證振動控制能快速收斂，又能使殘余振動在允許范圍內(nèi)。

圖11　不同步長自適應控制下懸浮位置變化

5.5不同噪聲下的自適應振動控制效果

在實際中，由于系統(tǒng)噪聲不可避免，所以實驗將測試在存在噪音的情況下自適應振動控制器的性能。實驗在系統(tǒng)中加入不同層度的隨機噪聲，噪聲平均幅度分別為振動激勵信號的20%，40%，60%，80%。

實驗結(jié)果，在不同噪聲條件下的振動控制時域過程如圖12所示；對應自適應過程的控制信號[α,β]的變化軌跡如圖13所示?？梢?，振動控制只對單頻率的激勵振動抑制有效，而對噪音引起的振動無效。噪聲引起的振動在控制后依舊存在。同時，系統(tǒng)噪聲的增大干擾了控制的收斂性能。圖12和圖13明顯可見，隨著系統(tǒng)噪聲的增大，振動控制需要更多的步數(shù)才能到達穩(wěn)定，而且收斂的路徑更加曲折迂回。但總體而言，控制的抗噪聲干擾能力還是不錯的。在系統(tǒng)噪聲加到80%時，超聲振動幅度和激勵振動幾乎在同一水平，控制過程雖然振蕩了一定時間，最終還是收斂到穩(wěn)定狀態(tài)。

圖12　噪聲不同時懸浮位置控制

圖13　噪聲不同時傅里葉系數(shù)跟蹤

6　結(jié)　論

本文提出一種基于LMS算法的單自由度振動自適應控制方法，可以在已知干擾振動頻率前提下，對單頻率簡諧振動實現(xiàn)有效抑制，并且在振動變化時，能夠?qū)φ駝拥姆岛拖辔粚崿F(xiàn)自適應跟蹤，對振動進行有效抑制。通過實驗驗證了該方法可以對單頻率簡諧振動起到很好的抑制效果，并分析了步長因子、噪音、振動初相位等因素對其振動抑制性能的影響。

對于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，在兩個正交方向上，同時執(zhí)行這樣的單自由度振動控制，可實現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向二維(兩自由度)的不平衡振動抑制。

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(責任編輯： 陳和榜)

Adaptive Active Control of Single Freedom Simple Harmonic Vibration of Electromagnet Bearing

XUJun,JIANGKejian,WANGJun

(School of Information Science and Thechnology, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018)

To prevent imbalance of electromagnet bearing rotor from affecting stable operation of the rotor, vibration control must be taken to weaken unbalanced vibration. Unbalanced vibration of the rotor can be decomposed to single freedom simple harmonic vibration at two orthogonal directions. Simultaneous execution of adaptive vibration control based on LMS algorithm (least mean square error) at two orthogonal directions can achieve active inhibition of two-dimensional unbalanced vibration at radial direction. Finally, vibration suppression experiment was done on single freedom suspension experiment platform. The results show that the method mentioned is most effective, and can adaptively track the vibration amplitude and phase change while controlling the convergence range. Meanwhile, we analyze effects of the step size factor, noise, initial phase of vibration on vibration suppression porperty.

electromagnet bearing; vibration suppression; LMS algorithm; adaptive control

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.01.011

2015-04-30

國家自然科學基金項目(11272288)；浙江省公益技術(shù)應用研究項目(2015C31063)；浙江理工大學研究生創(chuàng)新項目(YCX14022).計算機應用技術(shù)省重點學科研究生創(chuàng)新項目(XDY15005)

徐駿(1990-)，男，浙江杭州人，碩士研究生，主要從事功率放大器及磁懸浮控制方面的研究。

蔣科堅，E-mail: jkjofzju@163.com

TH133

A

1673- 3851 (2016) 01- 0064- 07 引用頁碼： 010503