亞波長(zhǎng)二維光柵結(jié)構(gòu)零級(jí)透射場(chǎng)的計(jì)算方法

馬　平，黃訓(xùn)銘，鄧　浩，石安華，黃　潔

(1.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心超高速所，四川 綿陽(yáng)　621000； 2.電子科技大學(xué) 物理電子學(xué)院，成都　610054)

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亞波長(zhǎng)二維光柵結(jié)構(gòu)零級(jí)透射場(chǎng)的計(jì)算方法

馬平1，黃訓(xùn)銘1，鄧浩2，石安華1，黃潔1

(1.中國(guó)空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心超高速所，四川 綿陽(yáng)621000； 2.電子科技大學(xué) 物理電子學(xué)院，成都610054)

基于散射度量術(shù)中測(cè)量掩膜版時(shí)對(duì)零級(jí)透射率波譜的計(jì)算需求，將需要階梯近似分層的復(fù)雜二維光柵統(tǒng)一模型化為多層二維光柵，建立了多層二維光柵零級(jí)透射場(chǎng)計(jì)算方法；將Moharam傳輸矩陣法的部分解法推廣到一般復(fù)雜二維光柵結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)對(duì)多層或者非垂直側(cè)壁結(jié)構(gòu)透射場(chǎng)的逐層迭代計(jì)算；對(duì)一種亞波長(zhǎng)二維金屬光柵陣列結(jié)構(gòu)進(jìn)行了寬譜光源入射下的透射特性仿真計(jì)算；結(jié)果表明：結(jié)合二維光柵模擬的收斂性改進(jìn)算法，建立的計(jì)算方法能實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜二維光柵透射率波譜的求解。

衍射；光柵；嚴(yán)格耦合波分析；傳輸矩陣法；散射度量術(shù)

本文引用格式：馬平，黃訓(xùn)銘，鄧浩，等.亞波長(zhǎng)二維光柵結(jié)構(gòu)零級(jí)透射場(chǎng)的計(jì)算方法[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2016(8):155-159.

光柵零級(jí)衍射場(chǎng)的模擬計(jì)算對(duì)分析與設(shè)計(jì)光柵、光子晶體等周期結(jié)構(gòu)具有重要意義[1-3]。此外，它在微電子半導(dǎo)體集成電路結(jié)構(gòu)的分析/測(cè)試技術(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用[4]。其中，光柵透射場(chǎng)的計(jì)算是散射度量術(shù)中測(cè)量掩膜版等透明材料的一個(gè)重要環(huán)節(jié)[5]。傳統(tǒng)的光柵零級(jí)衍射場(chǎng)計(jì)算方法主要采用標(biāo)量衍射模型。隨著半導(dǎo)體技術(shù)節(jié)點(diǎn)的不斷更新以及半導(dǎo)體工藝的持續(xù)發(fā)展，以亞波長(zhǎng)尺寸3D結(jié)構(gòu)為代表的復(fù)雜二維光柵結(jié)構(gòu)大量出現(xiàn)，矢量衍射模型逐漸成為主流。其中，嚴(yán)格耦合波分析(RCWA)是目前應(yīng)用最廣泛的高效、穩(wěn)定的方法[6]。它對(duì)于垂直側(cè)壁周期結(jié)構(gòu)的衍射模擬具有極高效率，對(duì)于復(fù)雜非垂直側(cè)壁結(jié)構(gòu)則需通過(guò)沿光柵側(cè)壁方向階梯近似分層計(jì)算[7-8]。對(duì)于亞波長(zhǎng)光柵，只存在零級(jí)衍射傳播波，其余級(jí)次均為不攜帶能量的倏逝波[9]。零級(jí)透射場(chǎng)的計(jì)算分析對(duì)于確定亞波長(zhǎng)光柵的透射特性至關(guān)重要。目前，針對(duì)復(fù)雜二維光柵結(jié)構(gòu)零級(jí)透射場(chǎng)模擬的研究較少。根據(jù)文獻(xiàn)[9]的觀點(diǎn)，傳輸矩陣法相對(duì)于傳統(tǒng)S-矩陣法更直接高效。Moharam只給出了一維情況下的反射率計(jì)算方法，對(duì)于透射率以及更復(fù)雜的二維情況并沒(méi)有具體說(shuō)明。本文在Moharam的部分解法的基礎(chǔ)上，將需要階梯近似分層的復(fù)雜二維光柵統(tǒng)一模型化為多層二維光柵，最終通過(guò)逐層迭代計(jì)算寬譜光源入射情況下二維問(wèn)題的零級(jí)透射場(chǎng)。

1　理論模型

圖1　亞波長(zhǎng)復(fù)雜二維光柵的多層模型

對(duì)此二維問(wèn)題，其入射電場(chǎng)定義：

(1)

其中，

(2)

在光柵區(qū)域，光的傳播將受到二維光柵在兩個(gè)方向上的周期性變化的調(diào)制，最終通過(guò)弗洛奎特條件反映到電磁波在各個(gè)問(wèn)題區(qū)域的平面波諧波展開(kāi)形式上。因此，光柵區(qū)域(各階梯近似層內(nèi))的歸一化電磁場(chǎng)可以表示為如下的諧波形式：

(5)

式(5)中：Kx=2π/Λx,Ky=2π/Λy，Λx,Λy為x,y方向周期。

待定的Sll,m,n(z)與Ull,m,n(z)可以通過(guò)求解光柵區(qū)域各層的特征值問(wèn)題給出其諧波展開(kāi)形式。該二維光柵的特征值問(wèn)題則通過(guò)如下微分方程表述：

(6)

各層內(nèi)，微分方程(6)的通解表示為如下諧波展開(kāi)形式：

(7)

(8)

(9)

對(duì)于任意復(fù)雜二維光柵透射問(wèn)題，均可通過(guò)對(duì)復(fù)雜光柵結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)階梯近似后將各層的通解式(7)、式(8)代入層間電磁場(chǎng)的切向連續(xù)邊界條件，并結(jié)合覆蓋層與襯底層的電磁場(chǎng)諧波展開(kāi)式，計(jì)算其各階透射衍射效率。其中，覆蓋層與襯底層的電場(chǎng)諧波展開(kāi)式表示為：

(10)

(11)

(12)

通過(guò)求解各階梯近似層內(nèi)的特征值問(wèn)題，并自覆蓋層到襯底層逐層的結(jié)合各層間邊界條件方程，最終計(jì)算任意介質(zhì)復(fù)雜二維光柵的透射率。

2　多層二維光柵零級(jí)透射場(chǎng)算法

根據(jù)上節(jié)所述多層二維光柵模型，令各層的特征問(wèn)題相關(guān)矩陣為Wl,Vl(其中，0

首先，在邊界z=0處，通過(guò)匹配各層間的切向電場(chǎng)與切向磁場(chǎng)，邊界條件方程可以寫(xiě)為

(16)

(17)

(18)

然后，式(18)進(jìn)一步改寫(xiě)為

(19)

其中，

令f1=W1(X1a1+I)，g1=V1(I-X1a1)，那么

(20)

其次，在第1層與第2層邊界處，邊界條件方程可以寫(xiě)為

(21)

由此得到：

(22)

(23)

類(lèi)似的，可以繼續(xù)給出f2,g2和B2。

(24)

(25)

(26)

在最后一層(l=L)與襯底邊界處，邊界條件方程可以寫(xiě)為：

(27)

(28)

對(duì)于零級(jí)透射率而言，Tx,00,Ty,00由式(28)得到，Tz,00則可以通過(guò)下式計(jì)算：

(29)

二維光柵的零級(jí)透射率T00為T(mén)x,00、Ty,00、Tz,00平方和的方根。需要注意的是由于襯底介質(zhì)的存在，實(shí)際的透射率是在襯底層之外檢測(cè)到，因此最終計(jì)算結(jié)果需要考慮襯底層與空氣邊界對(duì)T00的多重反射效應(yīng)。此外，由于二維光柵結(jié)構(gòu)往往還會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重的收斂性問(wèn)題，實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中通過(guò)采用一些收斂性改進(jìn)方案，比如Lalanne的經(jīng)驗(yàn)法[11]與Schuster的垂直矢量法[12]等，提高其計(jì)算收斂速度。

3　數(shù)值模擬與分析

圖2為參考自文獻(xiàn)[13]中實(shí)現(xiàn)高透射調(diào)制的一種二維亞波長(zhǎng)金屬陣列結(jié)構(gòu)，其x與y方向周期為120 nm。該結(jié)構(gòu)為非垂直側(cè)壁，其x方向上底矩形長(zhǎng)為90 nm(占空比為0.75)，下底矩形長(zhǎng)為108 nm(占空比f(wàn)x=0.9)；其y方向上下底矩形寬為66 nm(占空比f(wàn)y=0.55)，襯底為SiO2，金屬材料為Al，光柵厚度為140 nm。實(shí)際半導(dǎo)體集成電路分析/測(cè)試工程中通常采用寬譜光源入射，因此對(duì)于波長(zhǎng)為190～1 100 nm垂直入射的TE偏振平面波(由于坐標(biāo)系的區(qū)別，對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)13中的TM偏振)，采用色散折射率數(shù)據(jù)計(jì)算。本文采用Lalanne的經(jīng)驗(yàn)法提高其收斂速度，其階梯近似數(shù)選擇為5層，最大諧波階次M、N均選擇為10，其零級(jí)透射率波譜計(jì)算結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出，該亞波長(zhǎng)金屬陣列結(jié)構(gòu)的光柵TE波具有較高透射特性，其透射光的零級(jí)衍射率大于60%；隨著入射光波長(zhǎng)的增加，光柵衍射效率增加。因此，本文建立的多層二維光柵零級(jí)透射場(chǎng)計(jì)算方法能夠有效地計(jì)算分析二維光柵的零級(jí)透射場(chǎng)，為分析復(fù)雜二維光柵的透射特性提供了一種新方法。

圖2　非垂直側(cè)壁金屬陣列光柵

圖3金屬陣列光柵零級(jí)透射率波譜計(jì)算結(jié)果

4　結(jié)論

本文給出了復(fù)雜二維光柵零級(jí)透射率的逐層迭代計(jì)算方法，該方法適用于任意二維光柵結(jié)構(gòu)。對(duì)于復(fù)雜的亞波長(zhǎng)多層結(jié)構(gòu)或者非垂直側(cè)壁的周期結(jié)構(gòu)均可以實(shí)現(xiàn)數(shù)值穩(wěn)定的迭代計(jì)算。由于二維結(jié)構(gòu)往往需要考慮傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)過(guò)程所帶來(lái)的收斂問(wèn)題[14]，實(shí)際的嚴(yán)格耦合波應(yīng)用中通常還需采用適當(dāng)?shù)氖諗啃愿倪M(jìn)方法，以提高收斂效果。本文所述方法為Moharam傳輸矩陣法的部分解法在二維透射計(jì)算問(wèn)題的拓展，能有效計(jì)算各種復(fù)雜二維結(jié)構(gòu)的零級(jí)透射率波譜，并應(yīng)用于微電子半導(dǎo)體集成電路結(jié)構(gòu)的分析與測(cè)試應(yīng)用之中。

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(責(zé)任編輯唐定國(guó))

Calculation Zero-Order Transmittance for Sub-Wavelength Multilayered Two-Dimensional Gratings

MA Ping1, HUANG Xun-ming1，DENG Hao2, SHI An-hua1，HUANG Jie1

(1.Hypervelocity Aerodynamics Institute, China Aerodynamics Research and Development Center,Mianyang 621900, China; 2.School of Physical Electronics, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054, China)

Based on the needs for calculation of the zero-order transmittance spectrum in scatterometry, the complex two-dimensional gratings needed to divide into many echelons that are equivalent to multilayer two-dimensional gratings. The computing method of the zero-order transmission field of those was put forward. The partial-solution of the enhanced transmittance matrix approach was generalized to arbitrary two-dimensional gratings. This approach was shown to produce numerically stable iterative-calculation results for multilevel or slanted gratings. A sub-wavelength two-dimensional metallic grating was analyzed. Simulation results show that this approach is efficient for the calculation of transmittance for general two-dimensional gratings with a preferred convergence-improved method. The computing method can be used to solve the transmissivity spectrum of the complex two-dimensional grating.

diffraction; grating; rigorous couple wave analysis; enhanced transmittance matrix approach; scatterometry

2016-02-29；

2016-04-18

國(guó)家重大基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2014CB340202)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11272336)

馬平(1976—)，男，高級(jí)工程師，主要從事超高速目標(biāo)光電特性、再入通訊中斷等研究。

10.11809/scbgxb2016.08.035

format:MA Ping, HUANG Xun-ming，DENG Hao, et al.Calculation Zero-Order Transmittance for Sub-Wavelength Multilayered Two-Dimensional Gratings[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(8):155-159.

O436

A

2096-2304(2016)08-0155-05

【光學(xué)工程與電子技術(shù)】