題后反思是學(xué)好數(shù)學(xué)的助力劑

☉江蘇省東臺(tái)中學(xué) 周冬波

題后反思是學(xué)好數(shù)學(xué)的助力劑

☉江蘇省東臺(tái)中學(xué) 周冬波

波利亞在《怎樣解題》中將解題分為四步——理解題目，擬定計(jì)劃，執(zhí)行計(jì)劃和回顧.由此可看出，解題后的反思是解題的重要組成部分.通過回顧完整的答案，重新審查解答，可鞏固知識(shí)，培養(yǎng)解題能力.波利亞認(rèn)為“沒有任何一個(gè)題目是徹底完成的，總還會(huì)有事情可做，在充分的研究和洞察后，我們可以將任何解法加以改進(jìn)，無論如何，總可以深化我們對(duì)答案的理解”.解題后反思可以將不同的問題相互聯(lián)系，不同知識(shí)相互聯(lián)系，也可以將已獲得的解題方法或結(jié)果利用到其他問題的求解.養(yǎng)成反思的習(xí)慣可獲得一些條理分明，隨時(shí)可用的知識(shí)，將會(huì)提高你的解題能力.

一、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行反思

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過程進(jìn)行反思，看看有沒有思維回路，以培養(yǎng)思維的合理性、條理性、敏捷性.反思解題過程是否合理，公式的運(yùn)用是否考慮公式的適用范圍，可提高我們思維的完整性；反思解題思路是否嚴(yán)謹(jǐn)，有無邏輯漏洞，可提高我們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性；反思解題方法能否優(yōu)化，能不能“一題多解”，能否從不同角度思考同一問題，這樣不但增加知識(shí)間的聯(lián)系，將知識(shí)系統(tǒng)化、知識(shí)網(wǎng)，還能鍛煉我們思維的靈活性.對(duì)解題規(guī)律進(jìn)行反思的目的在于能夠讓學(xué)生更加清楚地理解知識(shí)、掌握知識(shí)，在反思中進(jìn)行自我完善，提高解題能力.

例1 求過點(diǎn)P（3，2），并且與兩坐標(biāo)軸的正半軸所圍成的三角形的面積最小時(shí)直線l的方程.

ab≥24，故S△AOB=，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a=6，b=4.

解法二（點(diǎn)斜式法）：設(shè)所求直線l的方程為y-2=k（x-3）（k＜0），它與兩坐標(biāo)軸的正半軸的交點(diǎn)為AB（0，2-3k），則

解法三（面積分割法）：如圖1，作PM，PN分別垂直x軸、y軸于M、N.設(shè)直線l與x軸，y軸的交點(diǎn)分別為A，B，且|AM|=m，|BN|= n，則S=6.又△BNP∽△PMA，所以可得，即mn=6.

圖1

當(dāng)且僅當(dāng)2m=3n時(shí)，S△AOB=12，此時(shí)A（6，0），B（0，4），因此所求直線l的方程為，即2x+3y-12=0.

解決此類題型的通性通法是用截距式和點(diǎn)斜式，但解法三（面積分割法）不落俗套，將△AOB的面積分割為矩形面積（定值）和兩個(gè)三角形面積之和，從變中覓不變，解法比較巧妙.

二、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題規(guī)律進(jìn)行反思

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中的學(xué)生每天都耗在題海中，題做了不少，但收效甚微，究其原因，最重要的是缺乏對(duì)解題規(guī)律的反思、總結(jié)，難于形成一般性的結(jié)論.解題的基本目的使學(xué)生更加牢固掌握所學(xué)的知識(shí)，并能夠靈活的應(yīng)用，同時(shí)形成一定的解題的技能，實(shí)現(xiàn)思維的遷移.因此，教師在解題后應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題的實(shí)質(zhì)剖析、反思：所求問題轉(zhuǎn)化成什么數(shù)學(xué)問題？涉及哪些知識(shí)？它們之間是否存在某種聯(lián)系和規(guī)律，解題的技巧是什么？能否總結(jié)成一般性的結(jié)論？如果能夠持之以恒，久而久之，便能做到舉一反三、逐類旁通、事半功倍的效果.

例2 設(shè)集合I=｛1，2，3，4，5｝，選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中的最小數(shù)大于A中的最大數(shù)，則不同的選擇方法共_______種.

簡解：學(xué)生分A為｛1｝，B為｛2，3，4，5｝；A為｛2｝，則B為｛3，4，5｝；A為｛3｝，則B為｛4，5｝……等等八種情況列舉，再逐個(gè)算出來再求和，共49個(gè)選擇方法.

那本題能否進(jìn)行更一般的推廣？引導(dǎo)學(xué)生推廣到更一般的問題：

設(shè)集合I=｛1，2，3，...，n｝，選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中的最小數(shù)大于A中的最大數(shù)，則不同的選擇方法共_______種.

解：（1）A中最大元素為1，這樣的A共1個(gè)，對(duì)應(yīng)的B 有2n-1-1個(gè)，這樣的（A，B）對(duì)2n-1-1個(gè)；

（2）A中最大元素為2，這樣的A共21個(gè)，對(duì)應(yīng)的B有（2n-2-1）個(gè)，這樣的（A，B）對(duì)21（2n-2-1）個(gè)；

（3）A中最大元素為3，這樣的A共22個(gè)，對(duì)應(yīng)的B有（2n-3-1）個(gè)，這樣的（A，B）對(duì)22（2n-3-1）個(gè)；

（n-1）A中最大元素為n-1，這樣的A共2n-2個(gè)，對(duì)應(yīng)的B有（21-1）個(gè)，這樣的（A，B）對(duì)2n-2（21-1）個(gè).

共計(jì)（n-2）2n-1+1種選擇方法.

此題就是先優(yōu)化解題過程，從特殊到一般，從簡單的問題挖掘出更一般的方法，再用之解決一般性問題.當(dāng)然不同的問題，反思的角度不是固定的.通過這種反思使學(xué)生認(rèn)識(shí)到類比思想，特殊到一般的思想是數(shù)學(xué)中重要解題方法，起到做一題，得一法，明一類的效果，更重要的是促進(jìn)學(xué)生思維能力的遷移.

三、引導(dǎo)學(xué)生在解題的錯(cuò)誤處反思

解數(shù)學(xué)題，出現(xiàn)錯(cuò)誤在所難免，出現(xiàn)錯(cuò)誤的因素多種多樣，有的因?yàn)閷忣}不清，有的因?yàn)楦拍钅：?，有的因?yàn)榻忸}策略有誤，有的因?yàn)檫\(yùn)算量大、計(jì)算馬虎等，解題出現(xiàn)錯(cuò)誤并不可怕，關(guān)鍵是要重視錯(cuò)誤，反思錯(cuò)誤，找出錯(cuò)誤的地方，是由于什么原因?qū)е碌?，如何改正，給學(xué)生一個(gè)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)重新理解的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在糾錯(cuò)的過程牢牢掌握基礎(chǔ)知識(shí)，在反思中不斷得到提高.

例3 已知圓的方程x2+y2+2x+ky+k2=0和某一定點(diǎn)P（1，1），要使過點(diǎn)P所作圓的切線有兩條，求k的取值范圍.

因?yàn)檫^P點(diǎn)要作圓的兩條切線，

所以P點(diǎn)在圓外，

反思本例的解題錯(cuò)誤，是由于對(duì)圓的一般方程這一概念不夠清楚，因?yàn)榉匠蘹2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓，也可能是一個(gè)點(diǎn)或沒有圖形，只有化成標(biāo)準(zhǔn)形式：，且D2+E2-4F＞ 0時(shí)，此方程才表示圓，

此題正是由于忽視這個(gè)條件出錯(cuò)，因此，必須同時(shí)

通過對(duì)此錯(cuò)解題的反思，可以幫助我們及時(shí)發(fā)現(xiàn)解題過程出現(xiàn)的錯(cuò)誤，剖析錯(cuò)誤的原因，并及時(shí)地加以糾正，這樣，既加深對(duì)基本概念的理解，又為以后正確、靈活應(yīng)用奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，更重要的是通過這種反思可極大培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性.

四、引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題中的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行反思

解一道數(shù)學(xué)題，所涉及到的知識(shí)往往不止一個(gè)，而是需要眾多知識(shí)點(diǎn)加以綜合解決，這就要求我們的思維以一定的順序有機(jī)的把這些知識(shí)結(jié)合起來，按照數(shù)學(xué)的符號(hào)、邏輯，有條理地寫出解題過程.然而我們頭腦中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)如概念、定理、公理是比較零亂形式存在，并沒有建立起有效的實(shí)質(zhì)的聯(lián)系，這種較低水平的認(rèn)知，往往會(huì)妨礙我們對(duì)問題的解決，導(dǎo)致所學(xué)的知識(shí)不能有效的發(fā)揮，此時(shí)，如果教師能夠在解題后引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所涉的知識(shí)點(diǎn)及它們之間的聯(lián)系進(jìn)行反思，不但可以加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，更重要的是強(qiáng)化了各知識(shí)點(diǎn)間緊密性，為以后靈活、綜合地應(yīng)用所學(xué)知識(shí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

例4 判斷直線l：ax+by+b-a=0與⊙C：x2+y2-x-2=0的位置關(guān)系.

反思：本題的幾何對(duì)象是：直線l及⊙C；幾何特征：動(dòng)直線、定圓、判斷兩者位置關(guān)系.

策略1：代數(shù)化：直線與⊙C方程聯(lián)立的方程組有兩組解，轉(zhuǎn)化成一元二次方程根的判別式問題.

策略2：代數(shù)化：轉(zhuǎn)化成圓心到直線的距離與半徑比較大小，圓心到直線的距離有點(diǎn)到直線的距離公式可以代數(shù)化.

策略3：深入揭示幾何對(duì)象的特征：由動(dòng)直線l：ax+by+b-a=0的方程進(jìn)一步揭示直線l過定點(diǎn)（1，-1）.由圓的方程可以發(fā)現(xiàn)其幾何特征為圓心為，半徑為將點(diǎn)（1，-1）橫縱坐標(biāo)代入圓的方程左邊，計(jì)算其結(jié)果小于0，從而可以判斷直線所過定點(diǎn)在圓內(nèi)，即可得到直線與圓相交.

反思題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)，比較獲取思路的方法及其各種方法優(yōu)劣：策略1、2思路獲取簡單，但是運(yùn)算復(fù)雜且技巧性較大，運(yùn)算費(fèi)時(shí)且不易從中走出，而深入地揭示幾何對(duì)象的幾何特征明顯簡便的多.解題不單單是一種知識(shí)的體現(xiàn)，它是學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的一種綜合檢驗(yàn)，如果學(xué)生不能對(duì)所涉及的知識(shí)進(jìn)行反思，就不能得出新的知識(shí).

總之，解出一道數(shù)學(xué)題并不是解題思路的結(jié)束，而是更深入探究的開始，為發(fā)揮一道題的功效，教師必須從不同的角度，不同的側(cè)面去啟發(fā)學(xué)生思考和探索解決問題的策略方法.在日常的教學(xué)中，我們要強(qiáng)化學(xué)生在解題后反思的意識(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有方向的反思，要讓學(xué)生有反思的經(jīng)歷.只有這樣，學(xué)生才能跳出“題?！保拍堋耙砸活}擋百題”，才能將知識(shí)鞏固，能力提高，思維深化.如果解題后不進(jìn)行反思，很容易因?yàn)楹鲆暷承┮蛩貙?dǎo)致解題的不完整或錯(cuò)誤，因此，我們必須從平時(shí)的每一節(jié)課、每道習(xí)題開始養(yǎng)成解題后反思的習(xí)慣，及時(shí)發(fā)現(xiàn)遺漏，彌補(bǔ)遺漏，完善過程，最大限度減少錯(cuò)誤，避免錯(cuò)誤，從而更深刻、更準(zhǔn)確、更全面對(duì)概念、定理、公理進(jìn)行理解，這對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性也大有裨益.