高三數(shù)學立體幾何的復習建議和思考

☉江蘇省海門實驗學校 張 浩

高三數(shù)學立體幾何的復習建議和思考

☉江蘇省海門實驗學校 張 浩

近幾年的高考有逐步回歸基礎、回歸課本、回歸本質(zhì)等的趨勢.而目前這種卷子滿天飛，大量盲目訓練、重復訓練、題型訓練，使師生苦不堪言的復習過程，其實是注重操作，缺失本質(zhì)、缺失思維的過程，高考過后，感到做了不少無用功，令人痛心.筆者結(jié)合立體幾何備考過程中的復習措施，談談如何回歸基礎、回歸課本、回歸本質(zhì)，期望展現(xiàn)平凡中的精彩，啟發(fā)學生走出程式，走出模仿，提高數(shù)學解題能力.

一、回歸考題，明確模型

由近幾年的高考題容易發(fā)現(xiàn)，立體幾何題型比較穩(wěn)定.因此，關(guān)注考題的類型，是立體幾何復習的關(guān)鍵.立體幾何類命題以考查線面平行和垂直的判斷與推理為主，一般地以選擇題或填空題的形式考查概念性的知識與判定定理、性質(zhì)定理的簡單應用，以解答題的形式結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征考查平行與垂直的判定、性質(zhì)定理的綜合運用，以及空間想象能力和邏輯思維能力.

例1如圖1，在四棱錐ABCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=.

圖1

（Ⅰ）證明：DE⊥平面ACD；

（Ⅱ）求二面角B-AD-E的大小.

分析：（Ⅰ）先在直角梯形BCDE中求出BC，即可利用勾股定理驗證AC⊥BC，然后利用面面垂直的性質(zhì)定理將已知平面ABC⊥平面BCDE轉(zhuǎn)化為AC⊥平面BCDE，從而得到AC⊥DE，最后結(jié)合已知DE⊥DC即證得結(jié)論.（Ⅱ）方法1，根據(jù)（Ⅰ）中證的垂直關(guān)系作出二面角的平面角，然后求出其所在三角形的三邊長，利用余弦定理求其值；方法2，根據(jù)（Ⅰ）中證的垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，求出相應點的坐標及二面角的法向量，最后利用這兩個法向量的夾角表示所求的二面角即可.

解：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD＝2，得BD＝BC＝.由AC＝，AB=2，得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，從而AC⊥平面BCDE.所以AC⊥DE，由DE⊥DC，從而DE⊥平面ACD.

（Ⅱ）方法1：作BF⊥AD，與AD交于點F，過點F作FG∥DE，與AE交于點G，連接BG.由（Ⅰ）知，DE⊥AD，則FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B-AD-E的平面角.在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，從而BD⊥AB.

由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.

在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分別可得

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圖2

方法2：以D為原點，分別以射線DE，DC為x，y的正半軸，建立空間直角坐標系D-xyz，如圖2所示.由題意知，D（0，0，0），E（1，0，0），C（0，2，0），A（0，2，），B（1，1，0）.

設平面ADE的法向量為m= （x1，y1，z1），平面ABD的法向量為n=（x2，y2，z2），

點評：本題考查了空間位置關(guān)系證明以及求二面角.在解決空間距離與空間角問題時，有時可以采用幾何法，有時可以采用向量法，可以結(jié)合題目的條件加以選擇.而往往采用向量法解決問題時思路比較簡單，是一種常用的方法，但是要會根據(jù)題意建立適當?shù)淖鴺讼?通過這道題的復習，對證明線面垂直和求二面角的大小有了明確的方法.

二、回歸基礎，系統(tǒng)梳理

高三一輪復習的展開，主要是基礎知識的梳理，高效的一輪復習課是數(shù)學教師的不懈追求.例如某教師的上課流程如下：

環(huán)節(jié)1情景導入，引入復習

教師首先用多媒體課件以表格形式展示近幾年來各省市高考數(shù)學試卷中有關(guān)立體幾何中的空間角的相關(guān)試題類型及分值，然后展示分析考試大綱中相應的考試要求.

環(huán)節(jié)2回憶鞏固，構(gòu)建知識

多媒體課件上以問題串的形式提問學生并配圖演示，以幫助學生完成對本節(jié)的知識梳理.

問題1：立體幾何中學習的異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角的概念是什么？

問題2：異面直線所成的角、直線和平面所成的角、二面角的范圍是什么？

問題3：兩條異面直線所成的角是它們方向向量的夾角嗎？

問題4：直線和平面所成的角是直線的方向向量和平面的法向量的夾角嗎？

問題5：二面角是兩個平面的法向量的夾角嗎？

問題6：如何用式子來說明三種角與向量夾角的關(guān)系？

教師引導學生將所求的角與向量夾角建立聯(lián)系并通過向量計算來解決立體幾何中的空間角問題.

環(huán)節(jié)3典例剖析，考點突破

例2如圖3，直角梯形OABC中，OA∥BC，∠AOC=90°，SO⊥平面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2.

（Ⅰ）求異面直線SA和OB所成的角的余弦值；

圖3

（Ⅱ）求OS與面SAB所成角的

正弦值；

（Ⅲ）求二面角B-AS-O的余弦值.

教師分析并在黑板上板書解題過程，示范立體幾何中空間角問題的常規(guī)解法和解題規(guī)范步驟，規(guī)范學生的解題步驟和過程.

環(huán)節(jié)4合作交流，互動探究

（1）自主練習

如圖4，已知長方體AC1中，棱AB= BC=1，棱BB1=2，點E是CC1的中點.

（Ⅰ）求BE和A1C所成角的正弦值；

圖4

（Ⅱ）求ED與平面A1B1C所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角E-BD-C的余弦值.

學生練習，利用多媒體投影儀投影部分學生的解題過程，進一步規(guī)范學生的解題過程.

（2）變式提升（學生自主編制試題）

學生練習后，在提前將學生分組的前提下，以練習中的長方體為背景，由一組編制試題（三類空間角的問題），另一組解答.因為在練習環(huán)節(jié)已經(jīng)建好坐標系，找好了各點的坐標.因此時間是允許的.這樣可以激發(fā)學生的學習積極性，培養(yǎng)學生自主探索、動手實踐和合作交流的能力，真正實現(xiàn)“知識的深化”和“能力的活化”.

環(huán)節(jié)5完整體系，思維升華

問題7：通過學習，體會向量法求空間角的一般步驟.

問題8：通過本節(jié)的學習，你有什么體會？（引導學生分析、綜合、提升）

（1）空間問題平面化：立體幾何平面化與空間向量平面化；

（2）立體幾何向量化：解題的關(guān)鍵是找出直線的方向向量與平面的法向量，通過兩條射線所成的角解決所求角的計算，轉(zhuǎn)化為平面角的計算；

（3）向量問題坐標化：通過找點、向量的坐標的運算將平面角用坐標法求出.

本課例中的幾個環(huán)節(jié)通過問題串的形式給出概念和公式給出基礎知識，情形正如章建躍博士所言：“大量數(shù)學教師在課堂上沒有抓住數(shù)學概念的核心進行教學，學生經(jīng)常在沒有對數(shù)學概念和思想方法有基本了解的情況下就盲目進行大運動量的解題操練，導致教學缺乏必要的根基，教學活動不得要領.學生花費大量時間學數(shù)學，完成了無數(shù)次解題訓練，但他們的數(shù)學基礎仍非常脆弱.”在數(shù)學一輪復習中，以呈現(xiàn)基礎知識為主，幫助學生從整體上真正理解概念，掌握數(shù)學的基礎知識，完成對知識的重組，逐個擊破知識點.

三、回歸課本，追溯本源

在立體幾何復習中，如能很好地抓住課本上的一些基本、典型的關(guān)系，既可簡化求解過程，提高復習效率，又可培養(yǎng)全面深刻、靈活多變的思維能力.

問題：在Rt△ABC中，兩直角邊分別為a，b，設h為斜邊上的高，則=+.類比并論證：三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱SA，SB，SC兩兩垂直，且長分別為a，b，c，設棱錐底面上的高為h，則a，b，c，h之間有關(guān)_______.

課本習題：S是△ABC所在平面外一點，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，SH⊥平面ABC于H.求證H是△ABC的垂心.

解析：如圖5，作SH⊥平面ABC，垂足為H，連結(jié)AH并延長交BC于G，連結(jié)SG.由習題的證明過程可知，BC⊥平面SAG，BC⊥SG.設SG的長為x，則在Rt△CSB中

圖5

立體幾何的一個重要作用是培養(yǎng)空間想象能力，向量引入計算和證明，很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想，使問題的解決靈活多樣，但課本反映的基本空間關(guān)系不可丟.高三的復習要引導學生利用基礎知識、基本技巧逐步掌握解題過程的一般規(guī)律，學習分析方法，提高分析能力，切不可變成模仿訓練，重復訓練.

總之，高三數(shù)學復習中，學生對數(shù)學思想方法的理解和掌握必須依靠典型的問題來體現(xiàn)，因此在高三一輪復習教學中，教師要精選例題，應精選那些最能體現(xiàn)本質(zhì)的思想方法的例題和練習，用它們來支撐和驗證本質(zhì)的思想方法和通性通法確實是最有效的解題策略.

另外，我們提倡講授式教學和探究式教學的有效整合.我們不能“滿堂灌”，也不能將“講授式”拒于課堂之外，應根據(jù)不同問題的特點，選取恰當?shù)慕虒W方法.該教師講授的，教者要滔滔不絕；該學生探究的，教師要積極創(chuàng)設情境，充分發(fā)揮學生學習的主動性，通過師生互動、生生互動，讓學生真正參與、親身經(jīng)歷教學過程，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程.