引導(dǎo)經(jīng)歷過程 豐富“直接經(jīng)驗”

趙斌

史寧中校長在《課標(biāo)修改后小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的變化》的講話明確指出：“中國未來小學(xué)數(shù)學(xué)教育將轉(zhuǎn)入更加注重內(nèi)涵的改革深化階段：其一，注重思考力的培養(yǎng);其二，注重過程性經(jīng)驗的積累;其三，注重真正意義上的‘理解’?！钡诙c中對“過程性經(jīng)驗”的注重，一方面凸顯了“過程”對于經(jīng)驗積累、思考力培養(yǎng)和意義理解的價值，另一方面也強調(diào)了“直接經(jīng)驗”的積累。由此可見，現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)更強調(diào)讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的全過程，強調(diào)直接經(jīng)驗對于學(xué)生全面發(fā)展的重要性。

那么，什么是“直接經(jīng)驗”呢？所謂直接經(jīng)驗，是指通過親身參與實踐活動而獲得的知識。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，直接經(jīng)驗則是指學(xué)習(xí)者通過自身主動的觀察、操作、比較、抽象、分析、概括等數(shù)學(xué)活動而獲得的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想以及數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。直接經(jīng)驗更強調(diào)學(xué)習(xí)者親力親為的活動過程，在活動過程中習(xí)得知識、建構(gòu)方法。但這還不夠，學(xué)生在活動中獲得的經(jīng)驗還要予以提升、豐富，以從中感悟數(shù)學(xué)思想方法，形成積極的情感態(tài)度與價值觀，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，我們又該如何幫助學(xué)生積累“直接經(jīng)驗”，并對其進行提升和豐富呢？筆者認(rèn)為，需要注重以下幾方面：

一、經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展過程，積累自主建構(gòu)知識的經(jīng)驗

數(shù)學(xué)知識是沿著一定的內(nèi)在邏輯順序延伸，形成了嚴(yán)密的知識體系，這一知識體系是在前人不斷摸索、優(yōu)化、創(chuàng)新的過程得以不斷完善和豐富的。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）強調(diào)：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要讓學(xué)生能體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價值，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識和科學(xué)態(tài)度。”這就要求我們的教學(xué)要設(shè)計、組織好數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動，經(jīng)歷知識體系的完善和延伸過程，在此過程中感受知識的價值，體會數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，主動構(gòu)建、內(nèi)化數(shù)學(xué)知識，積累數(shù)學(xué)優(yōu)化和創(chuàng)新的經(jīng)驗，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。

【案例1】復(fù)式統(tǒng)計表

（教師將學(xué)生分成6組，組織學(xué)生自主統(tǒng)計各組男、女生人數(shù)，并分組制作成6張單式統(tǒng)計表）

教師請學(xué)生展示6張單式統(tǒng)計表。

師：你能向大家介紹一下你填每張統(tǒng)計表中的人數(shù)時的順序嗎？

生：每張統(tǒng)計表我都是先填男生人數(shù)，再填女生人數(shù)，最后將男生與女生的人數(shù)加起來算出合計人數(shù)。

師：請大家仔細觀察你填的統(tǒng)計表，我們班哪組男生人數(shù)多？哪組女生人數(shù)多？從6個統(tǒng)計表中能很清楚地看出來嗎？

學(xué)生自覺活動：有的學(xué)生一張張翻看6張統(tǒng)計表，還有的學(xué)生將6統(tǒng)計表縱向排列對比。

生：第2組的男生最多，第5組的女生最多。

師：怎么比較出來的？

生：我將這幾張表的男生人數(shù)、女生人數(shù)對齊排好，很快就比出來了。

師：這6張統(tǒng)計表每張都反映了每組同學(xué)的人數(shù)情況，這是我們以前學(xué)習(xí)的單式統(tǒng)計表，但如果要將不同組的人數(shù)情況進行對比或了解一些總體人數(shù)情況就比較麻煩，怎么辦呢？

生：可以把6個單式統(tǒng)計表合起來編成一個統(tǒng)計表。

師：是的，把幾張單式統(tǒng)計表合編而成的統(tǒng)計表我們把它叫作復(fù)式統(tǒng)計表，這也就是今天我們要一起研究的內(nèi)容。（板書課題）下面，我們一起根據(jù)剛才的統(tǒng)計，來制作一張復(fù)式統(tǒng)計表。

師：通常，制作一張統(tǒng)計表先要有哪些部分呢？如果讓你合成一張統(tǒng)計表，豎的你會劃分成哪些欄目？橫的呢？（結(jié)合學(xué)生回答板書）

師：誰愿意來指導(dǎo)一下老師，該怎樣進行填寫？（請一生上臺指導(dǎo)，教師板書）

師：現(xiàn)在從這張統(tǒng)計表中能清楚地看出每組男女生人數(shù)和各組總?cè)藬?shù)了嗎？

生：能！

師：能清楚地看出我班男生一共多少人嗎？

生：不能！

師：那怎么辦呢？

生：可再添上一行合計欄。

師：你的想法很好！我們可以在表中加入一欄，但為了避免重復(fù)和混淆，這一橫欄叫作總計欄。（板書）現(xiàn)在男生總?cè)藬?shù)怎么算呢？女生呢？

生：……

師（小結(jié)）：所以復(fù)式統(tǒng)計表不光要橫著看，還要豎著看。

師：這張統(tǒng)計表完成了嗎？你知道這個空格（合計欄）里是什么人數(shù)嗎？

生：這里填全班的總?cè)藬?shù)。

師：全班總?cè)藬?shù)可以怎么算呢？

生1：全班人數(shù)就是將第1、2、3、4、5、6組的合計人數(shù)全加起來。

生2：我覺得也可以將男生合計人數(shù)和女生合計人數(shù)加起來。

師：猜一猜，兩種算法結(jié)果相同嗎？

生（齊答）：相同！

請學(xué)生用兩種方法口算出結(jié)果，并驗證。

師：如果兩種算法結(jié)果不同呢？

生：那就說明肯定有什么地方算錯了，就要重新算一下。

師：所以算好后就可以用另一種方法進行驗算。

引導(dǎo)學(xué)生觀察統(tǒng)計表有沒有完成，認(rèn)識“表頭”。

……

一般認(rèn)為，復(fù)式統(tǒng)計表結(jié)構(gòu)是規(guī)定的，但這種規(guī)定從其內(nèi)部分析有著一定的規(guī)則，這些規(guī)則產(chǎn)生于人們對單式統(tǒng)計表在一些特定情境下所體現(xiàn)出的劣勢的彌補和優(yōu)化，體現(xiàn)了人類為適應(yīng)社會生產(chǎn)和日常生活所作出的創(chuàng)新，這也是復(fù)式統(tǒng)計表的內(nèi)在價值。學(xué)生能通過活動產(chǎn)生對單式統(tǒng)計表不足的內(nèi)在需求，并積累從單式統(tǒng)計表逐步創(chuàng)造出復(fù)式統(tǒng)計表的直接經(jīng)驗，一方面能充分感受學(xué)習(xí)這一知識的價值，另一方面也能對復(fù)式統(tǒng)計表的結(jié)構(gòu)有更深入的認(rèn)識，從而提高對其應(yīng)用能力。

因此在教學(xué)中，通過一組富有挑戰(zhàn)性和引導(dǎo)性的問題：我們班哪組男生人數(shù)多？哪組女生人數(shù)多？從6張統(tǒng)計表中能很清楚地看出來嗎？激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生進一步整理數(shù)據(jù)的內(nèi)需，這時就有學(xué)生將6張統(tǒng)計表縱向排列后進行比較，復(fù)式統(tǒng)計表的雛形由學(xué)生自己創(chuàng)造了出來，在這一過程中，單式統(tǒng)計表的局限性得以顯現(xiàn)，復(fù)式統(tǒng)計表的價值由此凸顯。然后，教師再引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合自己的需要和理解，“指導(dǎo)”教師整合統(tǒng)計表，復(fù)式統(tǒng)計表在學(xué)生自覺的活動中進一步成型。本課雖不要求學(xué)生制作復(fù)式統(tǒng)計表，但整個統(tǒng)計表的制作都是學(xué)生在自主活動過程中逐步設(shè)計并“指導(dǎo)”教師完成的，學(xué)生在活動中積累了較為豐富的直接經(jīng)驗，提升了學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力，并對數(shù)據(jù)分析觀念的提升有一定促進作用。

二、經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維的過程，積累數(shù)學(xué)化的經(jīng)驗

小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所特有的思維活動。數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心問題。數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生在活動過程中積累行為操作經(jīng)驗，更應(yīng)注重數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗的積累，在此過程中提升學(xué)生抽象、推理、幾何直觀等能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

【案例2】《“多邊形面積的計算”單元整理和復(fù)習(xí)》

（教師引導(dǎo)學(xué)生通過回顧與整理，梳理出多邊形的面積計算公式及各自推導(dǎo)過程）

圖1

師：這里4個圖形的面積有怎樣的關(guān)系呢？你能先看圖估計一下嗎？

生1：我估計長方形和平行四邊形的面積相等，三角形和梯形的面積相等。

生2：我的估計和他差不多，我再補充一點：三角形和梯形的面積大概是長方形面積的一半，也大概是平行四邊形面積的一半。

師：要準(zhǔn)確比較出這些圖形面積的大小，你準(zhǔn)備怎么辦？

生：要準(zhǔn)確比較它們的大小，就要量出長度，算出它們的面積，再比較。

師：（出示點子圖，如圖2）現(xiàn)在，你能看出決定它們面積大小的長度嗎？

學(xué)生回答出各圖形相關(guān)邊的長度是幾格，分步出示圖3：

師：到這一步，如果讓大家計算，我相信大家都能比較出這四個圖形面積的大小，但你能不用計算，很快看出它們面積之間的關(guān)系嗎？先看這兩個圖形。（出示長方形、平行四邊形）

生：長方形和平行四邊形面積相等。

師：能介紹你的想法嗎？

生：因為長方形的長和平行四邊形的底相等，寬和平行四邊形的高相等，長方形的面積計算公式是長乘寬，平行四邊形的面積計算公式是底乘高，乘起來面積肯定相等。

師：真聰明！能根據(jù)它們的面積計算公式很快看出它們的面積是相等的。你們行嗎？人人都有機會。

教師分別出示平行四邊形和三角形、三角形和梯形、梯形和平行四邊形，引導(dǎo)學(xué)生比較出每組圖形面積之間的關(guān)系，并說說想法。（學(xué)生回答略，逐步板書出圖4）

出示所有圖形。提問：現(xiàn)在你能完整地說說它們面積之間的關(guān)系嗎？和我們剛才的估計一樣嗎？

生：略。

比較四個多邊形面積的關(guān)系，教師沒有依賴行為操作或計算，而是注重引導(dǎo)學(xué)生通過符號化操作來實現(xiàn)，這一操作雖然不如行為操作或表象操作那樣直觀，但對于一單元結(jié)束后的復(fù)習(xí)課來說，學(xué)生在此之前已經(jīng)積累了較為豐富的圖形表象和相關(guān)知識儲備。通過這一層次的操作活動，學(xué)生對多邊形面積計算公式有了更深的理解和記憶，積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，促使了學(xué)生在抽象能力、推理能力、操作能力、空間觀念等多方面得到發(fā)展和提升。

三、經(jīng)歷反思的過程，提升、豐富數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累不是一蹴而就的，是一個循序漸進、不斷提升的過程。在課堂教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷積極思考、動手實踐、自主探索等活動過程，通過這些方式獲取豐富的直接經(jīng)驗，還要善于引導(dǎo)學(xué)生“反思過程”，反思自己是怎樣發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題的;反思自己運用了哪些策略、方法;反思自己經(jīng)歷過的活動，看看有哪些收獲及新的思考……通過反思，能讓學(xué)生在活動中獲得的經(jīng)驗得以提升，同時，反思本身就是活動過程的一部分，通過經(jīng)歷“反思”過程，能讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的直接經(jīng)驗得以豐富和拓展。

【案例3】《用“數(shù)對”確定位置》

（簡略描述之前的活動環(huán)節(jié)）

1.組織活動，“畫”直角坐標(biāo)

組織活動：先請這一橫排的同學(xué)起立（班級座位的第一行），后面同學(xué)向前看齊。請這一橫排同學(xué)從左往右依次報數(shù)，報完在紙上記下你報的數(shù)，后面同學(xué)在紙上幫你正前方的同學(xué)記下所報的數(shù)字。

2.在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上確定平面內(nèi)一點的位置

指名一名學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生用諸如第幾排第幾個、第幾組第幾個等已有方式描述其位置。

3.用第幾列第幾行確定班級中的座位

結(jié)合教室座位介紹“第幾列第幾行”的描述規(guī)則，再將教室座位抽象為圓點圖，引導(dǎo)學(xué)生在圖中確定第幾列和第幾行，并介紹用“第幾列第幾行”確定位置的方法和規(guī)則。

4.用數(shù)對確定位置

引導(dǎo)學(xué)生自主嘗試用最簡潔、最精確的方式表示“第幾列第幾行”，并在交流的過程中引導(dǎo)學(xué)生注意數(shù)對中兩數(shù)的順序不可顛倒，再介紹“數(shù)對”的寫法及表示的意義。

引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)對表示班內(nèi)多人及自己在教室中所在座位之后小結(jié)。

師：同學(xué)們，剛才我們已經(jīng)學(xué)會了用第幾列第幾行確定自己的位置，并能更簡潔地用一組數(shù)對來表示。其實回頭看看，對照一下用數(shù)對表示的自己的位置和我們課堂開始時記下的兩個數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：我發(fā)現(xiàn)數(shù)對中的兩個數(shù)就是我們在一開始記錄下的兩個數(shù)。

師：是的！其實，剛才我們在不經(jīng)意間就創(chuàng)造出了數(shù)對的雛形，所以說，數(shù)學(xué)有時就這么簡單，數(shù)對就是那樣產(chǎn)生的！那我們再一起回顧一下你寫那兩個數(shù)的過程，說說我們?nèi)绾斡脭?shù)對確定你的位置。

生：略。

課堂中學(xué)生不僅在操作中理解了“列”和“行”的概念，能用“第幾列第幾行”確定平面上的位置，還經(jīng)歷了自主“符號化”的過程，積累了數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。雖然多數(shù)學(xué)生都在嘗試中出現(xiàn)了諸多問題，但這一過程的經(jīng)歷及其后教師的引導(dǎo)，讓學(xué)生收獲到知識層面的內(nèi)容是對數(shù)對結(jié)構(gòu)和特點的深刻、理性認(rèn)識，而更重要的是在人心智的其他方面得到啟迪與喚醒，感悟了數(shù)學(xué)的思想方法，體驗到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，享受創(chuàng)造的喜悅。之后，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷反思的過程，學(xué)生回頭再看前面經(jīng)歷的過程和積累的經(jīng)驗，感受到數(shù)學(xué)的產(chǎn)生并不神秘，而是在實際生活中對客觀現(xiàn)象的抽象。在此過程中更深地感受到數(shù)學(xué)的簡潔、準(zhǔn)確及與生活的密切聯(lián)系，并對自己嘗試創(chuàng)造數(shù)對這一活動中獲得的直接經(jīng)驗予以提升，為今后有效進行“符號化”的活動積累了科學(xué)的經(jīng)驗。