把散落的“珍珠”串成美麗的“項(xiàng)鏈”

【摘 要】正方形集中了矩形菱形的所有性質(zhì)，而兩個(gè)完全相同的正方形疊合在一起旋轉(zhuǎn)，不僅會(huì)產(chǎn)生疊加的結(jié)論，還能把正方形的性質(zhì)、三角形全等、相似以及重疊部分面積、函數(shù)等核心知識(shí)串起來(lái)，既體現(xiàn)問(wèn)題的基礎(chǔ)性也彰顯問(wèn)題的綜合性，這樣的專(zhuān)題復(fù)習(xí)課更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】正方形;旋轉(zhuǎn);核心知識(shí);專(zhuān)題復(fù)習(xí)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A ?【文章編號(hào)】1005-6009（2016）03-0032-04

【作者簡(jiǎn)介】章曉東，江蘇省無(wú)錫市甘露學(xué)校（江蘇無(wú)錫，214117）校長(zhǎng)，江蘇省特級(jí)教師，江蘇省首批基礎(chǔ)教育課程改革先進(jìn)個(gè)人，江蘇省教師培訓(xùn)中心“送培到市縣”專(zhuān)家組成員，常熟理工學(xué)院繼續(xù)教育學(xué)院兼職教授。

【主題概述】

通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠進(jìn)一步體悟解決雙正方形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的核心知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形全等與相似。同時(shí)，還要讓學(xué)生通過(guò)雙正方形的旋轉(zhuǎn)領(lǐng)悟旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的變與不變，變就有可能存在函數(shù)關(guān)系，不變就可能存在相等（定值）、全等或相似關(guān)系，這就是雙正方形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題展現(xiàn)給學(xué)生的數(shù)學(xué)本質(zhì)的魅力，也是數(shù)學(xué)所特有的哲學(xué)價(jià)值。

解決旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的基本策略是“化靜為動(dòng)，以靜制動(dòng)”。所謂“化靜為動(dòng)”，即要搞清楚整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中哪些元素（如邊、角）發(fā)生了變化，哪些元素仍然沒(méi)變，有時(shí)還要通過(guò)特殊位置圖形的特征來(lái)判斷不變的元素。所謂“以靜制動(dòng)”，即要把旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的各種圖形的位置情況作為靜止的圖形進(jìn)行研究，接下來(lái)的計(jì)算與證明和原先步驟一致，只不過(guò)賦予了旋轉(zhuǎn)的背景而已。如果學(xué)生能夠破譯旋轉(zhuǎn)背后的“密碼”，那么以旋轉(zhuǎn)為背景的幾何問(wèn)題就迎刃而解了。

【課堂教學(xué)實(shí)錄】

一、激活

師：熟悉正方形嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)對(duì)它的認(rèn)識(shí)。

生1：正方形四個(gè)角都是直角，四條邊相等且對(duì)邊平行，對(duì)角線相等且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

生2：正方形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形。

師：很好。是的，正方形集中了矩形和菱形的所有性質(zhì)。那么，如果兩個(gè)完全相同的正方形疊合在一起旋轉(zhuǎn)，會(huì)產(chǎn)生哪些疊加的結(jié)論呢？這就是我們今天要研究的課題“旋轉(zhuǎn)所鐘情的雙正方形”。大家是否留意今天老師發(fā)給大家的作業(yè)單上的例題和你們平時(shí)見(jiàn)到的例題有什么不同呢？

生眾：只有條件，沒(méi)有問(wèn)題。

師：那問(wèn)題（結(jié)論）讓大家來(lái)猜想如何？有沒(méi)有信心自己來(lái)編題？

生眾：有（聲音響亮）。

【設(shè)計(jì)意圖】激活的意義在于激活情感，激活舊知，激活思維。紐帶是激活情感，基礎(chǔ)是激活舊知，根本是激活思維。對(duì)正方形性質(zhì)的回顧與熟悉，是解決以旋轉(zhuǎn)為背景的雙正方形問(wèn)題的核心知識(shí)點(diǎn)之一。

二、生長(zhǎng)

教師打開(kāi)幾何畫(huà)板課件。

例題1：如圖1所示，把正方形ABCD繞著點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α（0°≤α≤90°）得到正方形AEFG，F(xiàn)G與BC交于點(diǎn)H。

師：一般我們可以從哪幾個(gè)方面來(lái)提問(wèn)題（猜想）呢？

生3：線段、角、面積。

師：那我們就先從簡(jiǎn)單的線段、角等方面來(lái)猜想問(wèn)題（結(jié)論）。

生4：可以猜想GH=HB，HF=HC。

師：誰(shuí)來(lái)證明生4的猜想？李老師，你到上面來(lái)和同學(xué)們講（教師請(qǐng)舉手的“李”姓學(xué)生上屏幕前來(lái)講，學(xué)生們發(fā)出會(huì)心的笑聲）。

生5：連接AH，……只需證明△AGH≌△ABH即可。

師：老師也來(lái)提個(gè)問(wèn)題，若AD=3，∠DAG=30°，你能求出陰影部分的面積嗎？大家先試試看。

教師巡視，發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生設(shè)法把陰影部分面積割成矩形、直角三角形或直角梯形來(lái)做，但找不到突破口（請(qǐng)一“王”姓學(xué)生到屏幕前講解）。

生6：陰影部分的面積等于正方形面積減去四邊形GABH的面積，而四邊形GABH的面積等于△ABH的面積的2倍。根據(jù)剛才證明的△AGH≌△ABH，故∠GAH=∠BAH=30°，利用解直角三角形的知識(shí)求得S△AGH=S△ABH=，因而陰影部分的面積為9-3。

師：非常好。同學(xué)們，王老師此題的解決過(guò)程給你們什么啟發(fā)？

生7：解題時(shí)要懂得以退為進(jìn)。當(dāng)面積“割”不行時(shí)，我們要想到面積的“補(bǔ)”。

師：“割”時(shí)“山重水復(fù)疑無(wú)路”，“補(bǔ)”時(shí)“柳暗花明又一村”。請(qǐng)同學(xué)來(lái)小結(jié)一下，解決此題的核心知識(shí)是什么？

生8：正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定，面積的割補(bǔ)。

……

【設(shè)計(jì)意圖】“教學(xué)即生長(zhǎng)”。這個(gè)題目的設(shè)計(jì)基于三點(diǎn)考慮，一是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察圖形嘗試提出一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，激發(fā)他們會(huì)猜想、敢提問(wèn)、能提問(wèn)的積極性;二是“起點(diǎn)低”，讓基礎(chǔ)一般的學(xué)生也能夠通過(guò)全等三角形來(lái)證明簡(jiǎn)單的問(wèn)題（如線段相等）;三是通過(guò)教師提問(wèn)，讓問(wèn)題有一定的挑戰(zhàn)性，逐級(jí)遞進(jìn)，不斷“生長(zhǎng)”，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。

三、啟智

例題2：如圖2所示，正方形ABCD與OEFG都是邊長(zhǎng)為4的正方形，其中點(diǎn)O為正方形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，正方形OEFG繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤90°）。

師：在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，試猜想圖2中有哪些結(jié)論？

生9：CM=BN，BM=AN，OM=ON，MG=NE。

生10：兩個(gè)正方形重疊部分的面積是定值。

師：這位同學(xué)有“火眼金睛”哦。說(shuō)說(shuō)你是怎樣來(lái)猜想的？

生10：只要把正方形GOEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得M與C重合，則重疊部分面積等于△BOC的面積。（教師運(yùn)用幾何畫(huà)板的旋轉(zhuǎn)功能進(jìn)行演示）

師（豎起大拇指）：從特殊位置入手來(lái)猜想，真牛！

師：下面先請(qǐng)趙老師來(lái)說(shuō)怎么來(lái)證明生9的猜想（教師點(diǎn)名舉手的“趙”姓學(xué)生到屏幕前講解）。

生11：連接OC、OB，構(gòu)造全等三角形，……證明△COM≌△BON。

師：兩個(gè)正方形重疊部分的面積是定值，能求嗎？請(qǐng)張老師來(lái)說(shuō)。（教師點(diǎn)名舉手的“張”姓學(xué)生到屏幕前講解）

生12：還是要用到剛才的全等三角形。由△COM≌△BON可知S陰影=S△BON+S△BOM=S△COM+S△BOM=S△BOC=S正方形ABCD=4。

師：老師也想提個(gè)有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，設(shè)CM=x，△MON的面積為y，試寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式。（教師問(wèn)學(xué)生是否有信心，學(xué)生大聲回答有。）……請(qǐng)陳老師來(lái)說(shuō)。（5分鐘后，教師點(diǎn)名舉手的“陳”姓學(xué)生到屏幕前講解）

生13：由剛才的兩個(gè)結(jié)論可知，CM=BN=x及BM+BN=4可得BM=4-x，故y=S△MON=S重疊-S△BMN=4-x（4-x）=x2-2x+4。

師：很不錯(cuò)。同學(xué)們，此題的解答過(guò)程又給你們什么啟發(fā)？

生14：雖然圖形在變化，但解決問(wèn)題的關(guān)鍵還是全等三角形與面積割補(bǔ)。

師：真不錯(cuò)。“是他，是他，還是他”。（歌詞惹笑了學(xué)生）能否直接求S△MON？請(qǐng)同學(xué)們課后思考。

例題3：如圖3所示，正方形ABCD與EFGH都是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)G在BD上，且=，正方形EFGH繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，GF交AB于點(diǎn)N，GH交AD于點(diǎn)M。

師（利用畫(huà)板旋轉(zhuǎn)功能演示）：如果把正方形HEFG繞G點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得HG⊥DA（即M與O重合，N點(diǎn)與P重合的特殊位置，畫(huà)板即時(shí)顯示OG與GP），請(qǐng)同學(xué)們觀察圖形后提出自己的猜想。

生15：GM與GN的比值等于（即OG與GP的比值為）。

生16：重疊部分（即矩形OGPA）的面積等于3。

師：怎么證明這兩個(gè)猜想？請(qǐng)錢(qián)老師來(lái)講（教師點(diǎn)名舉手的“錢(qián)”姓學(xué)生來(lái)屏幕前講）

生17：只要證明兩個(gè)等腰直角△DOG與△GPB相似即可……

師：如果再旋轉(zhuǎn)到一般情況，原來(lái)的結(jié)論還成立嗎？（利用畫(huà)板旋轉(zhuǎn)功能演示原先的一般位置，顯示的是M、N兩點(diǎn)，O、P兩點(diǎn)自動(dòng)隱去）

有學(xué)生說(shuō)成立，有學(xué)生說(shuō)不成立，也有學(xué)生無(wú)法確定。

師：我們不妨先來(lái)研究GM與GN的比值是否等于？請(qǐng)孫老師來(lái)講（教師點(diǎn)名舉手的“孫”姓學(xué)生來(lái)屏幕前講）

生18：還是要作出剛才的矩形OGPA，已經(jīng)證明兩個(gè)等腰直角△DOG與△GPB相似，只要再證明△GOM∽△GPN，從而轉(zhuǎn)化為求剛才的矩形兩邊之比為。

師：重疊部分（即四邊形MGNA）的面積會(huì)是定值3嗎？

生19：不會(huì)，因?yàn)椤鱃OM和△GPN只會(huì)相似，不會(huì)全等，所以，通過(guò)面積割補(bǔ)沒(méi)法拼成原來(lái)的矩形面積。

師：非常好。那如果設(shè)BN=x，重疊部分（即四邊形MGNA）的面積為y，你能求出y與x的函數(shù)關(guān)系式嗎？請(qǐng)大家先動(dòng)手試試看。

師：請(qǐng)劉老師來(lái)講。（教師點(diǎn)名舉手的“劉”姓學(xué)生來(lái)屏幕前講）

生20：重疊部分面積可以分割成直角梯形與直角三角形的面積。易求DO=OG=1，GP=PB=3，設(shè)BN=x，則PN=3-x，利用△GOM∽△GPN求出OM=（3-x），于是AM=3-（3-x）=2+x?！鄖=（2+x+3）+×3×（3-x）=7-x。

師：真厲害。還可以怎樣分割？

生21：連接AG，把重疊部分面積分割成兩個(gè)三角形面積，同樣可以求出……

師：真好！那請(qǐng)你再來(lái)說(shuō)說(shuō)，解決此題的核心知識(shí)是什么？

生21：相似三角形的判定和面積的割補(bǔ)。

【設(shè)計(jì)意圖】啟智即啟發(fā)學(xué)生智慧。數(shù)學(xué)教學(xué)是基于活動(dòng)的教學(xué)，在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過(guò)程中，要注重讓學(xué)生“感受過(guò)程，習(xí)得規(guī)律，啟發(fā)智慧”。核心知識(shí)從全等過(guò)渡到相似，數(shù)學(xué)思想從特殊到一般，學(xué)生不斷經(jīng)歷認(rèn)知沖突，不斷迸發(fā)智慧火花。

四、生慧

師：請(qǐng)同學(xué)們來(lái)談?wù)?，通過(guò)本課的學(xué)習(xí)，你們有哪些收獲和體會(huì)？

生22：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，常常會(huì)用到全等相似的知識(shí)。圖形變化，但方法不變。（教師板書(shū)：全等相似）

生23：對(duì)于面積問(wèn)題，不僅要會(huì)“割”，也要學(xué)會(huì)“補(bǔ)”，解題中要“以退為進(jìn)”。（教師板書(shū)：以退為進(jìn)）

生24：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題要多從特殊和一般兩個(gè)方面去思考，去轉(zhuǎn)化。（教師板書(shū)：轉(zhuǎn)化）

師：總結(jié)得太精彩了！Wonderful！同學(xué)們已經(jīng)把老師想說(shuō)的話(huà)都說(shuō)完了（學(xué)生笑）。我嘗試把同學(xué)們的總結(jié)串起來(lái)編成一首詩(shī)。“旋轉(zhuǎn)全等相似，割補(bǔ)可解謎盤(pán);困時(shí)以退為進(jìn)，特殊轉(zhuǎn)化一般?！保ㄕ坡暎﹥蓚€(gè)完全相同的正方形疊合在一起旋轉(zhuǎn)，果然產(chǎn)生了疊加的美麗結(jié)論，這就解釋了今天的學(xué)習(xí)主題“旋轉(zhuǎn)所鐘情的雙正方形”的魅力所在。課后請(qǐng)同學(xué)們思考，如果把兩個(gè)正方形的旋轉(zhuǎn)換成兩個(gè)矩形的旋轉(zhuǎn)，又會(huì)有什么結(jié)論？

課后拓展：如圖4所示，將兩張互相重合的正方形紙片ABCD和EFGH的中心O用圖釘固定住，保持正方形ABCD不動(dòng)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)正方形EFGH。

（1）試給出旋轉(zhuǎn)角度小于90°時(shí)的一些猜想：①M(fèi)E=MA;②兩張正方形紙片的重疊部分的面積為定值;③∠MON保持45°不變。

請(qǐng)你對(duì)這三個(gè)猜想作出判斷（正確的打上“√”，錯(cuò)誤的打上“×”）。

（2）可以發(fā)現(xiàn)：（1）中的△EMN的面積S隨著旋轉(zhuǎn)角度∠DOE的變化而變化。請(qǐng)你指出在怎樣的位置時(shí)△EMN的面積S取得最大值。（不必證明）

（3）上面的三個(gè)猜想中若有正確的，請(qǐng)選擇其中的一個(gè)給予證明;若都是錯(cuò)誤的，請(qǐng)選擇其一說(shuō)明理由。

【設(shè)計(jì)意圖】“生慧即生成”。課后拓展的目的就是為了打破學(xué)生慣用全等的思維定勢(shì)，讓學(xué)生明白，研究數(shù)學(xué)問(wèn)題既要基于定勢(shì)又不能囿于定勢(shì)思維，要能夠以退為進(jìn)，靈活運(yùn)用。生慧這一環(huán)節(jié)也是數(shù)學(xué)知識(shí)的反饋鞏固過(guò)程，生成新的探究問(wèn)題的過(guò)程，生成數(shù)學(xué)方法與思想的過(guò)程，生成學(xué)生智慧的過(guò)程。

【課堂感悟】

本節(jié)課是初三專(zhuān)題復(fù)習(xí)課，針對(duì)不同學(xué)習(xí)層次的學(xué)生展開(kāi)教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)，體現(xiàn)“起點(diǎn)低（注重基礎(chǔ)，下要保底），步子緊（小步子式逐步提高要求），落點(diǎn)高（上不封頂）”的設(shè)計(jì)要求，利用幾何畫(huà)板的動(dòng)畫(huà)功能演繹旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的變與不變。

本節(jié)課共設(shè)計(jì)了4道例題，足夠供學(xué)生課內(nèi)外的訓(xùn)練和思考了。每道例題的設(shè)計(jì)都是安排兩個(gè)完全相同的正方形旋轉(zhuǎn)，這樣做的目的一方面因其旋轉(zhuǎn)要素已經(jīng)涵蓋了圖形旋轉(zhuǎn)的類(lèi)型和特征，另一方面是因?yàn)檎叫问撬倪呅沃凶钐厥獾乃倪呅?，它集中了矩形和菱形的所有性質(zhì)，兩個(gè)完全相同的正方形通過(guò)旋轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生性質(zhì)疊加，不僅結(jié)論會(huì)更加豐富多彩，而且解決問(wèn)題的方法也是多樣化的，從而使得旋轉(zhuǎn)變換更具魅力。

每道例題的內(nèi)部都以問(wèn)題串的形式出現(xiàn)，而4道例題本身，前一題都是后一題的基礎(chǔ)與鋪墊，后一題都是前一題的提升和拓展，我中有你，你中有我，這就構(gòu)成了“套題（題組）”式訓(xùn)練方式。復(fù)習(xí)課如果堅(jiān)持這樣去做，學(xué)生才能真正“聰明”起來(lái)，才能真正達(dá)到“以少勝多”的最大功效，才能讓散落的“珍珠”（零散的知識(shí)點(diǎn)）串成美麗的“項(xiàng)鏈”（內(nèi)化的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生內(nèi)生的智慧）。可見(jiàn)，教師組織教學(xué)內(nèi)容要突出其與其他的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法間的縱向與橫向聯(lián)系。一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系越多，說(shuō)明該知識(shí)越重要，它的拓展性就越強(qiáng)。

值得課后進(jìn)一步思考的問(wèn)題有：如果把4道例題放在直角坐標(biāo)系的背景中，知識(shí)的綜合程度就更高，但不宜作為第一輪復(fù)習(xí)的要求。如果把其中一個(gè)正方形縮小一半，題目的結(jié)論會(huì)有怎樣的變化？如果把其中一個(gè)正方形換成矩形情況又該如何？如果兩個(gè)正方形都換成矩形又該是怎樣的結(jié)果？如果把兩個(gè)正方形都換成正六邊形結(jié)果又該如何呢？等等。在這類(lèi)問(wèn)題的教學(xué)中一定要以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，切忌“空對(duì)空”，要多讓學(xué)生去想，去悟，這樣才能取得理想的效果。