如何引領(lǐng)學(xué)生在聯(lián)想中展開(kāi)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維

王志南

摘要：研究表明，直覺(jué)思維能把埋藏在潛意識(shí)中的思維成果，同顯意識(shí)中所要解決的問(wèn)題相溝通，從而使問(wèn)題得到突發(fā)式、頓悟式的解決。本文闡述了教師引領(lǐng)學(xué)生在聯(lián)想中展開(kāi)數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的四種策略：激活已有經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想中內(nèi)化數(shù)學(xué)方法：溝通比較情境，聯(lián)想中把握內(nèi)部結(jié)構(gòu)；借助直觀圖形，聯(lián)想中建構(gòu)數(shù)學(xué)意義：相機(jī)巧作延伸，聯(lián)想中拓展思維深度。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；直覺(jué)思維；聯(lián)想；數(shù)學(xué)方法；內(nèi)部結(jié)構(gòu)；直觀圖形

所謂聯(lián)想，是指以數(shù)學(xué)觀察為基礎(chǔ)，對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題的特點(diǎn)，聯(lián)系已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行想象的思維方法。而直覺(jué)思維，是指憑借感性經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)對(duì)事物的性質(zhì)做出直接判斷或領(lǐng)悟的思維方式，它是一種以高度省略、簡(jiǎn)化、濃縮的方式洞察問(wèn)題實(shí)質(zhì)的思維。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，聯(lián)想是產(chǎn)生直覺(jué)思維的先導(dǎo)，是由此及彼的思維方式。面對(duì)陌生的問(wèn)題情境，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行直覺(jué)思維，拓展思維空間，尋找解決問(wèn)題的新思路。那么，數(shù)學(xué)教師又該怎樣引導(dǎo)學(xué)生巧作聯(lián)想，誘發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)思維呢？

一、激活已有經(jīng)驗(yàn)，聯(lián)想中內(nèi)化數(shù)學(xué)方法

學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，直覺(jué)不是憑空產(chǎn)生的，它與學(xué)生已有的認(rèn)知儲(chǔ)備、認(rèn)知結(jié)構(gòu)有著密切聯(lián)系。而這些已有的認(rèn)知儲(chǔ)備及結(jié)構(gòu)，若教師在學(xué)生面對(duì)新的問(wèn)題情境時(shí)引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，激活已有的經(jīng)驗(yàn)，則可以觸發(fā)學(xué)生的直覺(jué)思維，引發(fā)具有創(chuàng)造性的解題思路。

例如教學(xué)“圓的面積計(jì)算”時(shí)，練習(xí)中有這樣一道題：在圓內(nèi)畫(huà)最大的正方形，如圖1，若正方形的面積是18平方厘米，那么圓的面積是多少？顯然，若按常規(guī)思維，要求圓的面積，必須已知圓的半徑，而這里無(wú)法求得圓的半徑。此時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，由圖1你聯(lián)想到哪些已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)？學(xué)生聯(lián)想到探究圓的面積計(jì)算公式時(shí)，圓的面積是小正方形的面積π倍。進(jìn)而直覺(jué)地發(fā)現(xiàn)，可以先求出以圓的半徑為邊長(zhǎng)的小正方形的面積（圖3），即18÷4×2=9平方厘米，再用3.14×9即求得圓的面積。

事實(shí)上，教師引導(dǎo)學(xué)生在聯(lián)想中展開(kāi)直覺(jué)思維，不僅在于引導(dǎo)學(xué)生由新的問(wèn)題情境聯(lián)想與此相關(guān)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的靈感和途徑；還在于引導(dǎo)學(xué)生在聯(lián)想中，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行深入思考，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的聯(lián)系，進(jìn)而內(nèi)化數(shù)學(xué)方法，獲得對(duì)問(wèn)題更為本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。如上例中，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考后，則發(fā)現(xiàn)要求圓的面積，還可以用半徑的平方乘π求得，或者說(shuō)圓的面積是“以圓的半徑為邊長(zhǎng)的正方形面積”的π倍。

二、溝通比較情境，聯(lián)想中把握內(nèi)部結(jié)構(gòu)

作為“模式的科學(xué)”，數(shù)學(xué)并非各個(gè)具體事物或現(xiàn)象的直接研究，恰恰相反，它所反映的是具有相同數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)一類(lèi)事物或現(xiàn)象在量上的共同特征。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著內(nèi)在的“結(jié)構(gòu)性”，存在著內(nèi)在的必然聯(lián)系。因而，教師在進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，直覺(jué)地把握問(wèn)題情境內(nèi)在的結(jié)構(gòu)，進(jìn)而拓展思維的寬度。

如在蘇教版“列方程解決實(shí)際問(wèn)題”的課后練習(xí)中，有這樣一道題：師徒兩人同時(shí)裝配計(jì)算機(jī)，師傅每天裝配31臺(tái)，徒弟每天裝配22臺(tái)。經(jīng)過(guò)多少天師傅比徒弟多裝配72臺(tái)？同時(shí)練習(xí)中還有這樣一道思考題：盒子里裝有同樣數(shù)量的紅球和白球。每次取出6個(gè)紅球和4個(gè)白球，取了若干次以后，紅球正好取完，白球還有10個(gè)。一共取了幾次？盒子里原來(lái)有紅球多少個(gè)？對(duì)于第一題，學(xué)生能很快地找到其中的數(shù)量關(guān)系“師傅加工的個(gè)數(shù)一徒弟加工的個(gè)數(shù)=72個(gè)”，而第二題，學(xué)生則普遍感到有困難。教師可在此時(shí)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，思考題與師徒加工零件的問(wèn)題有聯(lián)系嗎？它們的內(nèi)在數(shù)量關(guān)系一致嗎？進(jìn)而學(xué)生發(fā)現(xiàn)，“取了若干次以后，紅球正好取完，白球還有10個(gè)”，說(shuō)明“取紅球的個(gè)數(shù)一取白球的個(gè)數(shù)=10個(gè)”，兩題的數(shù)量關(guān)系是一致的，其內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)也是相同的。

以上案例表明，數(shù)學(xué)教學(xué)中教師不能囿于具體的某一問(wèn)題情境的解答，而要善于引導(dǎo)學(xué)生自主地對(duì)看似不同的問(wèn)題情境進(jìn)行比較和溝通，誘發(fā)學(xué)生的直覺(jué)，發(fā)現(xiàn)不同問(wèn)題情境間的內(nèi)在結(jié)構(gòu)的一致性，進(jìn)而學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和理解由關(guān)注“表層結(jié)構(gòu)”到關(guān)注“深層結(jié)構(gòu)”，由外在的具體問(wèn)題情境的分析走向內(nèi)在的數(shù)量間的關(guān)系的把握。

三、借助直觀圖形，聯(lián)想中建構(gòu)數(shù)學(xué)意義

直覺(jué)思維是一種形象化思維，是思維者在視覺(jué)化或感覺(jué)的具象化中覺(jué)察事物。正是這種以視覺(jué)化的方式再現(xiàn)并處理事物，使人能把握問(wèn)題的整個(gè)情境，從而導(dǎo)致理解的直覺(jué)性。因而，在學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想的過(guò)程中，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生以直觀圖形再現(xiàn)問(wèn)題要素，觸發(fā)學(xué)生直覺(jué)思維的觸角，并在聯(lián)想中構(gòu)建數(shù)學(xué)意義。

如在梯形面積計(jì)算的練習(xí)中，有這樣一道題：鋼管如圖4所示堆成，最上層有9根，最下層有18根，并且下面一層比上面一層多1根，這堆鋼管一共有多少根？許多教師在教學(xué)這一問(wèn)題時(shí)，往往是直接讓學(xué)生套用梯形面積計(jì)算公式，而對(duì)于為什么可以用梯形面積計(jì)算公式計(jì)算鋼管的根數(shù)，則感覺(jué)有些說(shuō)不清道不明。筆者在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀圖形進(jìn)行思考，由鋼管堆成的圖形是梯形，聯(lián)想梯形面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，誘發(fā)學(xué)生的直覺(jué)思維，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這些鋼管的截面是梯形，也可以把它轉(zhuǎn)化為平行四邊形。（如圖5）這樣，9+18=27求得每層的根數(shù)，27×10得到兩堆鋼管的總根數(shù)，再除以2則得到一堆鋼管的根數(shù)。

在此案例中，學(xué)生對(duì)鋼管根數(shù)計(jì)算方法的理解不再是機(jī)械地套用梯形面積計(jì)算公式，而是在借助直觀圖形，聯(lián)想梯形面積計(jì)算推導(dǎo)過(guò)程中，直覺(jué)地發(fā)現(xiàn)可以構(gòu)造兩堆同樣的鋼管，求得總根數(shù)，再求一堆鋼管的根數(shù)，這樣的教學(xué)，扎根于數(shù)學(xué)問(wèn)題內(nèi)在意義的理解，教學(xué)目標(biāo)指向?qū)W生對(duì)數(shù)學(xué)意義的自主建構(gòu)。

四、相機(jī)巧作延伸，聯(lián)想中拓展思維深度

研究表明，直覺(jué)思維對(duì)解決問(wèn)題的促進(jìn)，不僅在思維者分析和解決問(wèn)題的起始階段，也可引導(dǎo)學(xué)生將已有的直覺(jué)或靈感進(jìn)行合理的遷移和延伸，讓直覺(jué)思維的應(yīng)用更具有拓展性，進(jìn)而發(fā)揮直覺(jué)思維在解題問(wèn)題中的更大的作用。同時(shí)，教師通過(guò)對(duì)題目的變式處理，使得問(wèn)題更具延伸性，而拓展題與原題中的內(nèi)在結(jié)構(gòu)是一致的，學(xué)生能直覺(jué)地發(fā)現(xiàn)已有的靈感對(duì)新問(wèn)題同樣適用，有助于拓展學(xué)生的思維深度。

如在教學(xué)轉(zhuǎn)化策略時(shí)，在引領(lǐng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合，借助正方形圖，學(xué)生直覺(jué)地發(fā)現(xiàn)1/2+1/4+1/8+1/16=1-1/16=5/16后，筆者進(jìn)行了如下拓展：

①你能很快地算出1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128的結(jié)果嗎？說(shuō)說(shuō)你的思考過(guò)程。

②16+8+4+2+1+1/2+1/4+1/8+1/16，你能很快計(jì)算出這道題的結(jié)果嗎？你能結(jié)合圖形說(shuō)說(shuō)你是怎樣思考的嗎？

在第2題的教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生借助正方形圖，聯(lián)想計(jì)算1/2+1/4+1/8+1/16的過(guò)程，展開(kāi)直覺(jué)思維，進(jìn)而領(lǐng)悟到，如果把正方形看做是32的話（如圖6），在正方形中分別可以找到16、8、4、2、1…….1/8、1/16，分別將它們涂色，就會(huì)發(fā)現(xiàn)32+16+8+…+1/8+1/16的結(jié)果可以表示為32-1/16=31（15/16）。

事實(shí)上，通過(guò)聯(lián)想展開(kāi)問(wèn)題的變式處理方式是多樣的，既可以是相同情境的延伸與拓展，也可以是內(nèi)部結(jié)構(gòu)相似的問(wèn)題情境的溝通與比較。同時(shí)，“求變”又正是為了“不變”，也就是說(shuō)，我們希望通過(guò)恰當(dāng)?shù)淖兓ㄅc必要的比較、對(duì)照）以突出其中的不變因素，從而幫助學(xué)生通過(guò)直覺(jué)思維更好地把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

伊思·斯圖爾特這樣說(shuō)：“數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺(jué)和嚴(yán)格性巧妙地結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯?！币虼?，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要誘發(fā)學(xué)生通過(guò)聯(lián)想，激活已有經(jīng)驗(yàn)，展開(kāi)直覺(jué)思維，獲得解決問(wèn)題的新思路、新方法，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題。同時(shí)，需指出的是，由于直覺(jué)思維是憑借經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)對(duì)事物的性質(zhì)做出直接判斷的思維方式，未經(jīng)過(guò)邏輯思維的論證，有其局限性。因此，在依靠直覺(jué)判斷選擇解題思路或方法后，仍需要運(yùn)用分析思維進(jìn)行邏輯推理和論證以使認(rèn)識(shí)進(jìn)一步深入。