長(zhǎng)程面形儀測(cè)量數(shù)據(jù)的擬合方法

童新宇彭川黔，3何玉梅王 劼（中國(guó)科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 張江園區(qū) 上海 20204）2（中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 00049）3（重慶理工大學(xué) 重慶 400050）

長(zhǎng)程面形儀測(cè)量數(shù)據(jù)的擬合方法

童新宇1，2彭川黔1，2，3何玉梅1王 劼1
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（中國(guó)科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 張江園區(qū) 上海 201204）2（中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）3（重慶理工大學(xué) 重慶 400050）

為了尋找一種適用于長(zhǎng)程面形儀（Long Trace Profiler， LTP）測(cè)量數(shù)據(jù)的曲線擬合算法，提高同步輻射用光學(xué)反射鏡表面幾何參數(shù)擬合的準(zhǔn)確性，并合理可靠地評(píng)價(jià)同步輻射用光學(xué)反射鏡表面質(zhì)量，本文對(duì)鏡面曲率半徑、測(cè)量環(huán)境噪聲和鏡面測(cè)量姿態(tài)這三個(gè)可能影響鏡面幾何參數(shù)擬合精度的因素進(jìn)行了數(shù)值模擬，采用基于代數(shù)距離的最小二乘法、基于幾何距離的最小二乘法和遺傳算法對(duì)模擬面形進(jìn)行了擬合對(duì)比。結(jié)果表明，基于幾何距離的最小二乘法對(duì)以上三個(gè)因素均不敏感，最適合長(zhǎng)程面形儀測(cè)量數(shù)據(jù)的擬合。該方法能夠給上海同步輻射光源反射鏡的面形檢測(cè)提供一定的參考價(jià)值。

長(zhǎng)程面形儀，曲線擬合算法，同步輻射，表面質(zhì)量

隨著同步輻射技術(shù)的應(yīng)用研究不斷深入，科研工作者對(duì)同步輻射光束線的性能要求越來(lái)越高，在某些領(lǐng)域光束線聚焦后的光斑尺寸需求由微米量級(jí)提高到納米量級(jí)［1-2］，這對(duì)同步輻射用光學(xué)反射鏡的表面質(zhì)量提出了很高的要求。鏡面面形誤差的均方根（Root Mean Square， RMS）是評(píng)價(jià)鏡面質(zhì)量的一個(gè)重要指標(biāo)，美國(guó)布魯克海文國(guó)家實(shí)驗(yàn)室提出用于第三代同步輻射光源的光學(xué)反射鏡的面形誤差RMS值應(yīng)優(yōu)于50nm［3-4］，這使得精確地檢測(cè)反射鏡面形并合理地評(píng)價(jià)其表面質(zhì)量顯得尤為重要。

目前用于同步輻射光學(xué)反射鏡表面檢測(cè)的主要設(shè)備是長(zhǎng)程面形儀（Long Trace Profiler， LTP），它是一種斜率測(cè)量設(shè)備，通過(guò)一維順序掃描獲得掃描線上采樣點(diǎn)的斜率分布，然后將斜率分布積分得到鏡面面形。自1987年Takacs［5-6］基于光筆干涉儀發(fā)明了LTP后，世界各地的同步輻射光源紛紛建立了LTP裝置，經(jīng)過(guò)20多年的廣泛應(yīng)用與發(fā)展，出現(xiàn)了LTP-I、LTP-II、LTP-III、DLTP、PP-LTP、NOM （Nanometer Optical Component Measuring Machine）等多種改進(jìn)裝置［7-11］，其中NOM用自準(zhǔn)直儀代替了LTP中復(fù)雜的測(cè)量光路，是目前用于同步輻射光學(xué)反射鏡表面斜率測(cè)量精度最高的儀器，其精度可達(dá)50nrad，甚至更好。

使用LTP精確測(cè)量鏡面面形后，需在采樣點(diǎn)處將鏡面的理想面形從測(cè)量數(shù)據(jù)中扣除，計(jì)算出鏡面的面形誤差，而同步輻射用光學(xué)反射鏡一般為窄長(zhǎng)型，長(zhǎng)度可達(dá)2m，子午面曲率半徑通常從數(shù)百米到數(shù)十千米，由于鏡面曲率半徑過(guò)大，無(wú)法直接測(cè)量，因此需要采用曲線擬合算法擬合出最佳的鏡面幾何參數(shù)。目前，主要采用最小二乘法擬合鏡面幾何參數(shù)［12］，由于同步輻射用光學(xué)反射鏡的曲率半徑較大，而其長(zhǎng)度相對(duì)于其曲率半徑過(guò)小，使得測(cè)量數(shù)據(jù)只集中在理想面形上很小的一段區(qū)域，這給精確擬合鏡面的幾何參數(shù)帶來(lái)了很大困難，進(jìn)而影響鏡面面形誤差RMS值的可靠性。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)長(zhǎng)程面形儀器測(cè)量數(shù)據(jù)這種小樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行精確擬合，同時(shí)更加合理地評(píng)價(jià)高精度的同步輻射用光學(xué)反射鏡的表面質(zhì)量，本文通過(guò)數(shù)值模擬引入可能影響擬合算法精度的因素，對(duì)基于代數(shù)距離的最小二乘法、基于幾何距離的最小二乘法及遺傳算法進(jìn)行對(duì)比，尋找最適合長(zhǎng)程面形儀測(cè)量數(shù)據(jù)的曲線擬合算法。

1 斜率測(cè)量原理

上海同步輻射光源目前使用NOM進(jìn)行反射鏡的面形檢測(cè)，其主要由自準(zhǔn)直儀和光學(xué)掃描頭組成，自準(zhǔn)直儀用于測(cè)量并記錄待測(cè)鏡面反射光線的偏轉(zhuǎn)角度，光學(xué)掃描頭主要由雙反射鏡組成，雙反射鏡構(gòu)成類五棱鏡結(jié)構(gòu)用于對(duì)光線進(jìn)行90°偏轉(zhuǎn)。如圖1所示，自準(zhǔn)直儀中的發(fā)光二極管（Light Emitting Diode， LED）光源發(fā)出的光束經(jīng)過(guò)狹縫和準(zhǔn)直透鏡產(chǎn)生一束窄距平行光，經(jīng)過(guò)雙反射鏡后垂直入射到待測(cè)鏡面，待測(cè)鏡面的反射光束再次經(jīng)雙反射鏡偏轉(zhuǎn)后返回自準(zhǔn)直儀，光束經(jīng)過(guò)透鏡和分束器聚焦到電荷耦合元件（Charge-coupled Device， CCD）上，通過(guò)CCD上狹縫像的位置變化可得到采樣點(diǎn)處的斜率tanα。

圖1 納米光學(xué)部件測(cè)量?jī)x檢測(cè)原理Fig.1 Measuring principle of Nanometer Optical Component Measuring Machine （NOM）.

采樣點(diǎn)處的斜率S（x）由式（1）給出，其中：y為鏡面面形；x軸方向?yàn)閽呙璺较?；α為鏡面面形在采樣點(diǎn)處的切線與x軸的夾角。

掃描頭沿x軸方向移動(dòng)掃描，掃描間隔為Δx，依次得到m個(gè)采樣點(diǎn)處的斜率數(shù)據(jù)S（ xm），對(duì)斜率數(shù)據(jù)進(jìn)行空間積分后可得到鏡面的面形h（ xk），如式（2）：

式中：h（ x0）為第一個(gè)采樣點(diǎn)處的高度。

采用曲線擬合算法對(duì)h（ xk）擬合得到鏡面的最佳擬合面形I（ xk），采樣點(diǎn)xk處鏡面的面形誤差R（ xk）由式（3）給出：

鏡面面形誤差R（ xk）的RMS由式（4）給出：

2 曲線擬合算法原理

本文主要采用最小二乘法和遺傳算法，最小二乘法根據(jù)目標(biāo)函數(shù)不同分為基于代數(shù)距離的最小二乘法和基于幾何距離的最小二乘法，以下簡(jiǎn)稱為代數(shù)法和幾何法。

2.1 基于代數(shù)距離的最小二乘法

基于代數(shù)距離的最小二乘法（Algebraic distance least square method， ALS）使用隱式方程 F（ a · x）=0表示曲線，其中： a=（ a1， a2，...， an）為曲線的幾何參數(shù)。誤差距離d定義為隱式方程在給定點(diǎn)的值與期望值（即0）之間的偏差，目標(biāo)函數(shù)令，聯(lián)立方程組，可解出曲線的幾何參數(shù)［13］。

2.2 基于幾何距離的最小二乘法

基于幾何距離的最小二乘法（Geometric distance least square method， GLS）將誤差距離d定義為給定數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合曲線的最短距離，對(duì)于每一個(gè)給定數(shù)據(jù)點(diǎn)，在擬合曲線上有一個(gè)對(duì)應(yīng)的最短距離點(diǎn)，找到最短距離點(diǎn)，即可求出最短距離［14］。對(duì)于圓錐曲線來(lái)說(shuō)，目標(biāo)函數(shù)關(guān)于曲線幾何參數(shù)是非線性的，必須使用迭代的方法來(lái)解決非線性擬合這一難題。本文采用高斯牛頓迭代法，算法數(shù)學(xué)模型如下，假設(shè)參數(shù)向量a與測(cè)量數(shù)據(jù)h具有如下關(guān)系：

式中：I代表非線性連續(xù)可微的關(guān)于a的觀測(cè)函數(shù)；e代表誤差。待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為：

迭代過(guò)程：

選擇代數(shù)法的擬合結(jié)果作為初始向量a0，迭代步長(zhǎng)系數(shù)λ=1.3，迭代終止條件：

式（7）中出現(xiàn)的矩陣求偏導(dǎo)為雅克比矩陣J：

2.3 遺傳算法

遺傳算法（Genetic algorithm， GA）是一種隨機(jī)搜索算法，模擬自然選擇和遺傳操作，算法流程如圖2所示［15］，遺傳算法只需設(shè)計(jì)好待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和參數(shù)搜索空間，通過(guò)選擇，交叉和變異操作使種群中個(gè)體不斷進(jìn)化，最終收斂到最優(yōu)解。本文采用實(shí)數(shù)編碼方式，選擇算子采用錦標(biāo)賽選擇算法，交叉算子采用中間重組，變異算子采用Muhlenbein變異，以模擬鏡面的面形誤差的RMS值做為待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。

圖2 遺傳算法流程圖Fig.2 Flow chart of genetic algorithm.

3 數(shù)值模擬

在實(shí)際應(yīng)用中，面形誤差對(duì)子午線方向的聚焦影響很大，因此本文以鏡面面形誤差的RMS值作為算法擬合精度的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。模擬部分只研究平面鏡和大曲率半徑柱面鏡的面形擬合，平面鏡因重力作用彎曲，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)很大的曲率半徑，可近似為柱面鏡。NOM沿柱面鏡準(zhǔn)線掃描后，積分生成的面形是一段圓弧。因此，根據(jù)NOM等間隔采樣的特點(diǎn)，等弦長(zhǎng)間隔生成一段半徑為R的標(biāo)準(zhǔn)圓弧模擬鏡面理想面形，在理想面形中加入高斯白噪聲模擬鏡面測(cè)量面形（當(dāng)高斯白噪聲的均值μ為0時(shí)，根據(jù)高斯分布特點(diǎn)，噪聲的振幅可近似為3σ）。

3.1 鏡面曲率半徑

對(duì)于NOM這種小樣本測(cè)量數(shù)據(jù)，面形的曲率半徑越大，測(cè)量數(shù)據(jù)所包含的理想曲面信息越少，不同的擬合算法精度會(huì)出現(xiàn)差異。為了研究曲線擬合算法對(duì)大曲率半徑面形擬合的適用性，生成弦長(zhǎng)為1m、數(shù)據(jù)點(diǎn)x軸間隔為5mm、噪聲振幅為100nm、半徑為R的5組模擬面形，如圖3（a）所示。采用代數(shù)法、幾何法及遺傳算法對(duì)5組模擬面形分別擬合，三種算法擬合精度與鏡面曲率半徑的關(guān)系如圖3（b）所示。

對(duì)比三種算法的擬合結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，隨著半徑增大，代數(shù)法和幾何法擬合精度基本保持不變，面形誤差RMS值在30nm左右，近似等于模擬噪聲的均方差（33.3nm），這表明在采樣范圍較小的情況下，二者依然能夠有效地?cái)M合鏡面的理想面形。而遺傳算法擬合精度隨半徑增大單調(diào)遞增，在鏡面曲率半徑為20km時(shí)，擬合精度最高，面形誤差RMS為2.7μm，遠(yuǎn)大于面形誤差的均方差，遺傳算法出現(xiàn)早熟現(xiàn)象，在一個(gè)局部最優(yōu)值處收斂，這可能是由于曲率半徑較大，造成搜索空間過(guò)大，算法無(wú)法有效地收斂到最優(yōu)解。

圖3 曲率半徑不同的模擬面形（a）和曲率半徑對(duì)算法擬合精度的影響（b）Fig.3 Profiles of different radii （a） and influence of radius on the accuracy of fitting algorithm （b）.

3.2 測(cè)量環(huán)境噪聲

若曲線擬合算法對(duì)噪聲敏感，則微小的測(cè)量環(huán)境噪聲（諸如振動(dòng)、空氣流動(dòng)和溫度變化等）也會(huì)導(dǎo)致鏡面幾何參數(shù)的擬合結(jié)果不精確，進(jìn)而影響到面形誤差RMS值的可靠性。

圖4 噪聲不同的模擬面形（a）和噪聲對(duì)算法擬合精度的影響（b）Fig.4 Profiles of different noise intensities （a） and influence of noise on the accuracy of fitting algorithm （b）.

為研究測(cè)量環(huán)境噪聲大小對(duì)曲線擬合算法擬合精度的影響，如圖4（a）所示，生成弦長(zhǎng)為1m、數(shù)據(jù)點(diǎn)x軸間隔為5mm、半徑R=20km、噪聲振幅為A的5組模擬面形。三種算法擬合精度與噪聲振幅的關(guān)系如圖4（b）所示，代數(shù)法和幾何法擬合精度隨噪聲振幅增大單調(diào)遞減，面形誤差的RMS值近似等于噪聲的均方差，而遺傳算法的擬合精度不隨噪聲振幅增大而發(fā)生變化，面形誤差的RMS值為2.7μm。這表明代數(shù)法和幾何法對(duì)噪聲的魯棒性好，在存在噪聲的情況下依然可以精確擬合鏡面幾何參數(shù)，而遺傳算法依然出現(xiàn)早熟，在局部最優(yōu)解處收斂，無(wú)法識(shí)別噪聲的變化。

3.3 鏡面測(cè)量姿態(tài)

NOM是通過(guò)測(cè)量采樣點(diǎn)處反射光相對(duì)入射光的偏轉(zhuǎn)角度來(lái)獲得采樣點(diǎn)處的斜率，待測(cè)鏡面放置時(shí)存在一個(gè)傾斜角度，對(duì)于不同的傾斜角度，相同采樣點(diǎn)處反射光相對(duì)于入射光的偏轉(zhuǎn)角度不同，造成采樣點(diǎn)處的測(cè)量斜率發(fā)生變化，進(jìn)而得到不同的積分面形。當(dāng)鏡面測(cè)量姿態(tài)變化時(shí)相當(dāng)于測(cè)量同一圓上不同位置的圓弧，如圖5（a）所示。對(duì)斜率分布進(jìn)行積分時(shí)，通常將第一個(gè)采樣點(diǎn)設(shè)置為原點(diǎn)，因此將各段圓弧起始點(diǎn)平移到一公共原點(diǎn)。平移后，同一鏡面不同測(cè)量姿態(tài)下的面形如圖5（b）所示。若曲線擬合算法對(duì)圓弧偏轉(zhuǎn)和平移敏感，則無(wú)法精確擬合測(cè)量姿態(tài)變化后鏡面的幾何參數(shù)，鏡面面形誤差的RMS值將發(fā)生變化。

圖5 鏡面不同測(cè)量姿態(tài)的面形（a）和平移后的面形（b）Fig.5 Profiles of different postures （a） and profiles after shifting （b）.

鏡面不同測(cè)量姿態(tài)可通過(guò)圓弧的偏轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移來(lái)模擬，生成弦長(zhǎng)為1m、數(shù)據(jù)點(diǎn)x軸間隔為5mm、噪聲振幅為100nm、半徑R=20km的一段模擬面形，將模擬面形沿理想面形曲線（半徑為R的整圓）移動(dòng)，每偏轉(zhuǎn)一定角度即一個(gè)不同的測(cè)量姿態(tài)，將偏轉(zhuǎn)后的模擬面形的第一個(gè)點(diǎn)平移到坐標(biāo)原點(diǎn)，實(shí)際測(cè)量中，鏡面傾斜角度不同引起的面形高度變化不會(huì)超過(guò)1mm，因此將單次偏轉(zhuǎn)角度設(shè)為10-4rad，旋轉(zhuǎn)10次，生成10組模擬數(shù)據(jù)，如圖6（a）所示，不同姿態(tài)的模擬數(shù)據(jù)高度差距最大為0.8mm。圖6為明確區(qū)分各面形，只畫出了5組面形。

算法擬合精度與鏡面測(cè)量姿態(tài)的關(guān)系如圖6（b）所示，當(dāng)測(cè)量姿態(tài)發(fā)生變化時(shí)，幾何法和遺傳算法擬合精度保持不變，幾何法擬合精度較高，面形誤差的RMS值保持在30nm左右，遺傳算法擬合精度較低，面形誤差的RMS值在2.7μm左右。而代數(shù)法擬合精度隨鏡面偏轉(zhuǎn)角度增大單調(diào)降低，當(dāng)偏轉(zhuǎn)角度為0.5mrad時(shí)，面形誤差的RMS值已經(jīng)增大到68.8nm。

圖6 不同測(cè)量姿態(tài)的模擬面形（a）和測(cè)量姿態(tài)對(duì)算法擬合精度的影響（b）Fig.6 Profiles of different measurement postures （a） and influence of measured postures on the accuracy of fitting algorithm （b）.

3.4 小結(jié)

通過(guò)以上對(duì)比可發(fā)現(xiàn)，幾何法和代數(shù)法相較于遺傳算法更適合大曲率半徑的面形擬合，抗噪能力更強(qiáng)，但代數(shù)法對(duì)鏡面測(cè)量姿態(tài)敏感，當(dāng)鏡面偏轉(zhuǎn)一定角度時(shí)，精度嚴(yán)重下降，這可能是由于代數(shù)法存在以下缺點(diǎn)：

1） 誤差距離定義無(wú)物理意義；

2） 擬合誤差不可避免地存在權(quán)重；

3） 擬合參數(shù)對(duì)坐標(biāo)變換不具備不變性。

若鏡面測(cè)量姿態(tài)調(diào)節(jié)到理想狀態(tài)，此時(shí)代數(shù)法和幾何法精度接近，而代數(shù)法運(yùn)算速度快，只需0.0001s，則代數(shù)法優(yōu)勢(shì)更大，幾何法由于需要求解與測(cè)量點(diǎn)數(shù)相關(guān)的超定方程，需要進(jìn)行多次迭代才能得到理想結(jié)果，耗費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)。但實(shí)際測(cè)量中，調(diào)節(jié)鏡面測(cè)量姿態(tài)是一個(gè)很費(fèi)時(shí)的工作，姿態(tài)調(diào)節(jié)好后，需等待振動(dòng)，空氣流動(dòng)和實(shí)驗(yàn)室溫度穩(wěn)定后才能開始測(cè)量，利用幾何法對(duì)測(cè)量姿態(tài)不敏感這一特性，可以節(jié)省很多調(diào)節(jié)時(shí)間。同時(shí)，反射鏡放置在載鏡臺(tái)的位置發(fā)生變化時(shí)，載鏡臺(tái)表面的面形缺陷也會(huì)引起鏡面測(cè)量姿態(tài)發(fā)生變化，此時(shí)幾何法的擬合結(jié)果將更可靠。

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)模擬面形的擬合結(jié)果分析可知：鏡面的測(cè)量姿態(tài)是影響鏡面理想面形擬合結(jié)果的重要因素，基于幾何距離的最小二乘法適用于大曲率半徑的面形擬合，對(duì)噪聲的魯棒性較好，對(duì)鏡面測(cè)量姿態(tài)不敏感。因此，基于幾何距離的最小二乘法是更適合長(zhǎng)程面形儀柱面鏡測(cè)量數(shù)據(jù)的擬合算法。

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LEI Yingjie， ZHANG Shanwen， LI Xuwu. MATLAB genetic algorithm toolbox and its application［M］. Xi'an: Xidian University Press， 2005

Curve fitting algorithm for measurement data of long trace profiler

TONG Xinyu1，2PENG Chuanqian1，2，3HE Yumei1WANG Jie1
1
（Shanghai Institute of Applied Physics， Chinese Academy of Sciences， Zhangjiang Campus， Shanghai 201204， China）2（University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China）3（Chongqing University of Technology， Chongqing 400050， China）

Background: The Long Trace Profiler （LTP） has been widely used to measure the profile of optical mirrors used in synchrotron radiation applications. The Root Mean Square （RMS） of profile error from fitted profile is used to evaluate the quality of mirror. Purpose: This study aims to find a better fitting algorithm for measurement data of LTP and minimize system errors generated by fitting. Methods: Least square method （LSM） based on the algebraic distance， LSM based on geometric distance， and genetic algorithm have been compared for simulation profiles of the measured data of LTP with different radii， noise intensities and postures. Results: Simulation results showed that fitting algorithm of least-squares orthogonal geometric distances had a good noise robustness， and insensitiveness to the mirror's postures. Conclusion: Least-squares orthogonal distances is the most suitable curve fitting algorithm for LTP， it provides

for the profile testing of optical mirrors at SSRF.

LTP， Curve fitting algorithm， Synchrotron radiation， Surface quality

TONG Xinyu， male， born in 1991， graduated from Zhengzhou University in 2012， master student， focusing on X-ray optical technology

WANG Jie， E-mail: wangjie@sinap.ac.cn

TL99

10.11889/j.0253-3219.2016.hjs.39.080102

國(guó)家自然科學(xué)基金（No.11179005）資助

童新宇，男，1991年出生，2012年畢業(yè)于鄭州大學(xué)，現(xiàn)為碩士研究生，研究領(lǐng)域?yàn)閄射線光學(xué)技術(shù)

王劼，E-mail: wangjie@sinap.ac.cn

Supported by National Natural Science Foundation of China （No.11179005）

2016-03-11，

2016-04-22