永磁同步電動機的混沌分析及線性反饋控制

郭永香，聶冰，李秀梅，鄧武

（大連交通大學 軟件學院，遼寧 大連　116028）

永磁同步電動機的混沌分析及線性反饋控制

郭永香，聶冰，李秀梅，鄧武

（大連交通大學 軟件學院，遼寧 大連116028）

針對永磁同步電動機因系統(tǒng)參數(shù)變化而觸發(fā)的不規(guī)則混沌運動問題，討論了電動機的非線性特性，推導電動機的系統(tǒng)模型，并對系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性進行分析。根據(jù)平衡點的特性，通過利用線性反饋的控制方法，選取相應的控制器對電動機進行控制，消除系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，達到控制永磁同步電動機的目的。理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果表明了線性反饋控制策略的有效性，該方法能有效實現(xiàn)系統(tǒng)的快速穩(wěn)定，提高系統(tǒng)的動態(tài)特性，增強了系統(tǒng)的抗干擾能力。

混沌；永磁同步電動機；線性反饋控制；平衡點

隨著電力電子技術、電機控制理論與永磁材料的發(fā)展，永磁同步電動機得到了迅猛的推廣與應用。但是作為多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)，電機在一定參數(shù)變化范圍內(nèi)會產(chǎn)生混沌運動，主要變現(xiàn)為電動機轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速的振蕩、控制性能的不穩(wěn)定以及不規(guī)則的電磁噪聲等[1]?；煦绲拇嬖趯﹄妱訖C的穩(wěn)定運行有著巨大的影響，混沌問題在工程上的應用研究近來已成為人們的熱點[2]。非線性系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象所表現(xiàn)出在一定參數(shù)變化范圍內(nèi)對初始條件的敏感依賴性、運動軌跡的不可預測性等固有特性與系統(tǒng)不規(guī)則運動十分類似，它這種貌似隨機、不規(guī)則但又有一定規(guī)律的行為已被大量的實驗所證實，從而為基于混沌現(xiàn)象去研究探討電機不規(guī)則運動提供了一個重要的啟示[3]。

為了消除因電動機參數(shù)變化而引發(fā)的不規(guī)則的混沌運動，本文推導了永磁同步電動機的系統(tǒng)模型，該系統(tǒng)在不同的參數(shù)作用下呈現(xiàn)不同的動態(tài)特性，并分析了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性。利用線性反饋的控制方法對電動機進行控制，有效的消除系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象。仿真結(jié)果表明了該控制方法的有效性，對提高電動機的穩(wěn)定性、可靠性有著深遠的意義。

1　永磁同步電動機的系統(tǒng)模型

在d-q軸坐標系下，將文獻[1，4]中電機的數(shù)學模型進行仿射與時間尺度變換，將其轉(zhuǎn)換成無綱量狀態(tài)模型，得到系統(tǒng)模型[5]如式（1）

對于系統(tǒng)（2），選擇相同的初始參數(shù)x=y=z=0.01，當σ=4、取值不同時，該系統(tǒng)呈現(xiàn)不同的運動狀態(tài)，相軌跡如圖1所示。取r=10時，圖1（a）中的吸引子表現(xiàn)為固定點，系統(tǒng)最終能夠達到穩(wěn)定狀態(tài)；當r=50時，圖1（b）顯示該系統(tǒng)具有蝴蝶狀的混沌吸引子，呈現(xiàn)典型的混沌狀態(tài)，此時混沌吸引子二維相圖如圖2所示，具有明顯的對稱性。

圖1　系統(tǒng)相圖Fig.1　System phase diagram

2　永磁同步電動機的穩(wěn)定性分析

參數(shù)取值不同直接影響了系統(tǒng)（2）的動力學特性。令系統(tǒng)（2）中求得方程的解為：（0，0，0）、（r-1，和

則該系統(tǒng)的平衡點為：

1）當0

2）當r>1時，平衡點包括3個，分別為O （x，y，z）=

平衡點的穩(wěn)定性由系統(tǒng)對應雅可比矩陣的特征值λ決定。系統(tǒng)（2）的雅可比矩陣為

圖2　r=50吸引子二維相圖Fig.2　r=50 attractor phase diagram

對于平衡點，其特征方程為（λ+1）[r2+（σ+1）λ+σ（1-r）]= 0。由此得出 3個特征值分別為：分析取不同參數(shù)值與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關系[6]：

1）若0

2）若r>1時，λ1為負實數(shù)，但λ2和λ3為一正一負，此時O點為不確定的平衡點。

3）若r=1時，有一個零根，O點處于臨界狀態(tài)。

對于平衡點c1和c2對應的特征方程為：

r增大系統(tǒng)隨之變得不穩(wěn)定，其特征方程（3）的特征值為α和共軛復數(shù)根β=β1+iβ2、β=β1-iβ2則方程（3）可以寫成：（λα）（λ-β）=（λ-β）=0。展開可得：

r增大到一定值時，該共軛復數(shù)根β1=0，穿過虛軸，發(fā)生霍夫分岔。將其代入（4）得到：

在方程（5）中，（λ2項的系數(shù)）*（λ項的系數(shù)）常數(shù)項，方程（3）與其對照，則有：

3　永磁同步電動機的混沌控制與仿真

3.1混沌控制

根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析可知，在特定條件下電動機進入混沌的不穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定是系統(tǒng)運行的基本條件，利用線性反饋方法，在系統(tǒng)中選取合適的控制器，使該系統(tǒng)在不穩(wěn)定平衡點處的雅各比矩陣的特征值實部為負，從而使轉(zhuǎn)子角速度穩(wěn)定在期望值上，實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定。

當σ=4、r=50時，O（x，y，z）=（0，0，0）為不穩(wěn)定平衡點。在系統(tǒng)（2）中增加線性反饋控制器ky（k為待定常數(shù)），將O點控制到平衡狀態(tài)[7]。則系統(tǒng)（2）轉(zhuǎn)換為：

對應雅可比矩陣

3.2仿真研究

取k=50，系統(tǒng)的初始值x（0）=y（0）=z（0）=0.01，平衡點對應雅可比矩陣的特征值為：λ1=-1，λ2=-54.92，λ3=-0.07，特征值的實部均為負實數(shù)，滿足穩(wěn)定的要求。

當系統(tǒng)運行50 s時加入線性反饋控制，角速度運行仿真效果如圖3所示。

圖3　受控前后角速度運行軌跡圖Fig.3　Trajectory of angular velocity before&after controlled

如圖所示，加入線性反饋控制之前，系統(tǒng)呈現(xiàn)出明顯的混沌特性，加入線性反饋之后，原有混沌系統(tǒng)的奇異吸引子消失，控制之后的角速度穩(wěn)定在平衡點，且響應時間短，滿足控制要求，實現(xiàn)了預期的控制效果。

4　結(jié)　論

文中對永磁同步電動機[8-9]的穩(wěn)定性進行了分析，電動機具有豐富的非線性動力學特性。在特定參數(shù)條件下，系統(tǒng)會出現(xiàn)復雜的非線性運動，進入混沌狀態(tài)，對電動機的正常工作帶來不利的影響。利用線性反饋方法控制永磁同步電動機可以消除系統(tǒng)的混沌狀態(tài)，實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定運行，并通過仿真[10]驗證了該方法的有效性。

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Analysis of chaos and linear feedback control of permanent magnet synchronous motor

GUO Yong-xiang，NIE Bing，LI Xiu-mei，DENG Wu
（Software Technology Institute of Dalian Jiaotong University，Dalian 116028，China）

In order to prevent chaos caused by parameter variation，the nonlinear characteristic of permanent magnet synchronousis discussed，the system model of PMSMis presented，and the stability of an equilibrium point is analyzed.Based on the nature of the equilibrium point，a controller is designed for PMSM control by linear feedback control theory，the chaos is eliminated，and the purpose of controlling PMSM is achieved.The theoretical analysis and numerical simulation results show the effectiveness of the linear feedback control method.The method realizes the fast stability of the system，the dynamic characteristics and the anti-interference ability of the system is improved.

chaos；PMSM；linear feedback control；equilibria

TN911.3

A

1674－6236（2016）01-0103-03

2015-05-20稿件編號：201505177

國家自然科學基金（51475065）；遼寧省教育廳高等學?？蒲杏媱濏椖抠Y助（L2012159）

郭永香（1974—），女，黑龍江綏化人，碩士，講師。研究方向：計算機應用。