淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的最短路徑問(wèn)題

王素娟

摘要：中學(xué)數(shù)學(xué)中最短路徑問(wèn)題，生動(dòng)地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活及用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。在初中數(shù)學(xué)中有關(guān)最短路徑的問(wèn)題可分為點(diǎn)點(diǎn)之間的最短路徑問(wèn)題、點(diǎn)線之間的最短路徑問(wèn)題以及立體圖形展開(kāi)圖中的最短路徑問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；最短路徑；轉(zhuǎn)化；對(duì)稱；展開(kāi)圖

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2016）18-0055-02

“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)?！闭缜拜吽f(shuō)，數(shù)學(xué)與我們的生活息息相關(guān)，數(shù)學(xué)的腳步無(wú)處不在。隨著課改的深入，數(shù)學(xué)更貼近生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營(yíng)、建筑中的問(wèn)題，于是就出現(xiàn)了為省時(shí)、省力而希望尋求最短路徑的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其問(wèn)題主要依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”、“點(diǎn)到直線上的所有線段中，垂線段最短”以及利用軸對(duì)稱的性質(zhì)、平面展開(kāi)圖等知識(shí)來(lái)解決，特別是要用軸對(duì)稱進(jìn)行轉(zhuǎn)換以及將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決初中數(shù)學(xué)中的最短路徑問(wèn)題。初中數(shù)學(xué)中最短路徑問(wèn)題，生動(dòng)地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，并用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。在初中數(shù)學(xué)中有關(guān)最短路徑的問(wèn)題可分為點(diǎn)點(diǎn)之間的最短路徑問(wèn)題、點(diǎn)線之間的最短路徑問(wèn)題以及立體圖形展開(kāi)圖中的最短路徑問(wèn)題。

一、點(diǎn)與點(diǎn)

如圖，點(diǎn)A到點(diǎn)B的最短距離為：線段AB的長(zhǎng)度。其中的數(shù)學(xué)道理我們都知道是“兩點(diǎn)之間線段最短”。由此也就引出了三角形的三邊關(guān)系：三角形兩條邊的和大于第三條邊。

二、點(diǎn)與線

如圖，想在河堤兩岸搭建一座橋，圖中搭建方式中，最短的是PB，理由垂線段最短。

三、兩點(diǎn)一線：分為以下兩種情況

情況一：兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)

例：已知：如圖，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB最小。

解：連接AB，線段AB與直線l的交點(diǎn)P，就是所求。

（其依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.）

情況二：兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)

例：如圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短?！痉治觥恐挥蠥、P、B在一直線上時(shí)，才能使AP+BP最小。作點(diǎn)A關(guān)于直線“街道”的對(duì)稱點(diǎn)A′，然后連接A′B，交“街道”于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)。

四、一點(diǎn)兩線（一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部）

例：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.

【分析】：當(dāng)AB，BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小。

作法：分別作點(diǎn)A關(guān)于OM，ON的對(duì)稱點(diǎn)A′，A″；連接A′，A″，分別交OM，ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C，則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求。

五、兩點(diǎn)兩線

例：如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。

作法：1.作點(diǎn)c關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F；

2.作點(diǎn)D關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E；

3.連接EF分別交直線OA、OB于點(diǎn)G、H；

則CG+GH+DH最短。

六、立體圖形展開(kāi)圖中的最短路徑問(wèn)題

1.在圓柱中可將其側(cè)面展開(kāi)求出最短路程

將圓柱側(cè)面展成長(zhǎng)方形，圓柱體展開(kāi)的底面周長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圓柱的高是長(zhǎng)方形的寬?？汕蟪鲎疃搪烦?。

例：如圖所示，是一個(gè)圓柱體，ABCD是它的一個(gè)軸截面，AB=8/π，BC=3，一只螞蟻，要從A點(diǎn)爬行到C點(diǎn)，那么最近的路程長(zhǎng)為_(kāi)___。

【分析】：我們要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果。

解：將圓柱體展開(kāi)，連接A、C，AC長(zhǎng)即為所求。

2.在長(zhǎng)方體中可將其側(cè)面展開(kāi)求出最短路程

例：有一長(zhǎng)、寬、高分別是5cm，4cm，3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處沿長(zhǎng)方體的表面爬到長(zhǎng)方體上和A相對(duì)的頂點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為_(kāi)_cm。

【分析】：將此長(zhǎng)方體展開(kāi)，在平面內(nèi)，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”和“勾股定理”求兩點(diǎn)A、B間的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬行的最短路徑。

解：因?yàn)槠矫嬲归_(kāi)圖不唯一，所以我們要分三種情況進(jìn)行討論并比較大小，從而確定出最短路徑。

（1）展開(kāi)前面、右面，由勾股定理得AB²=（5+4）²+3²=90；

（2）展開(kāi)前面、上面，由勾股定理得AB²=（3+4）²+5²=74；

（3）展開(kāi)左面、上面，由勾股定理得AB²=（3+5）²+4²=80：

總之，數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，同時(shí)數(shù)學(xué)也服務(wù)于生活。在解決初中數(shù)學(xué)中的最短路徑問(wèn)題時(shí)，我們需要用數(shù)學(xué)中的“轉(zhuǎn)化思想”將生活中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”的問(wèn)題或運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，通過(guò)等線段代換，將所求路線長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離。我們還應(yīng)注意：利用軸對(duì)稱解決最值問(wèn)題應(yīng)注意題目要求，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三邊關(guān)系，通過(guò)比較來(lái)說(shuō)明最值問(wèn)題是常用的一種方法。

【責(zé)任編輯 姜華】