一種基于局域共振的低頻超寬帶隙瓣狀聲學(xué)超材料

陳琳，吳衛(wèi)國，周榕

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一種基于局域共振的低頻超寬帶隙瓣狀聲學(xué)超材料

陳琳，吳衛(wèi)國，周榕

(江蘇大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

針對低頻聲波的衰減問題，設(shè)計了一種基于局域共振(Local Resonance，LR)機理的帶瓣型結(jié)構(gòu)的聲學(xué)超材料，并運用COMSOL 有限元軟件MULTIPHYSICS 4.3計算分析了所設(shè)計的結(jié)構(gòu)元胞帶隙特性及其振動特性，研究表明，所設(shè)計的聲學(xué)超材料比無瓣型聲學(xué)超材料帶隙更寬，并且僅用單層結(jié)構(gòu)同種元胞組合就可以在一定頻率下形成較寬的多個完全帶隙，而不需要通過不同種元胞組合或是多層結(jié)構(gòu)的復(fù)合而達(dá)到一定帶隙特性。在此基礎(chǔ)上，進一步對所設(shè)計的聲學(xué)超材料的幾何尺寸進行了優(yōu)化。

聲學(xué)超材料；局域共振；聲波帶隙

1 引言

低頻噪聲因其超強的穿透能力，一直是噪聲控制領(lǐng)域的難點之一，傳統(tǒng)的被動隔聲設(shè)備對500 Hz以上的中高頻噪聲有較好的隔聲效果，對于低頻噪聲由于受質(zhì)量定律的限制，其隔聲效果不太理想，如對于300 Hz以下的低頻噪聲，根據(jù)質(zhì)量定律，隔聲部件的厚度達(dá)到1 m才能滿足隔聲部件尺寸與聲波波長處于同一數(shù)量級，起到隔聲效果。這樣的隔聲部件太笨重，難以滿足航空、軍事、高速列車中隔聲設(shè)備小巧高效的要求。1993年Kushwaha M S和Halevi P[1]等人提出了聲子晶體，文獻(xiàn)[2]表明聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)有帶隙存在，在帶隙范圍內(nèi)可以產(chǎn)生很好的隔聲效果，但這些研究工作仍然沒有打破質(zhì)量定律，其低頻減振降噪效果仍不夠理想，一般在1~4 kHz范圍內(nèi)效果較好。2000年，Liu[3]等人提出了局域共振機理，其設(shè)計的聲學(xué)結(jié)構(gòu)可以控制波長大于晶格尺寸兩個數(shù)量級的聲波，實現(xiàn)了毫米級結(jié)構(gòu)對大波長低頻聲波的有效控制。

近年來研究者們設(shè)計了多種基于局域共振機理的聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)，包括一維膜型[4]，二維二組元膜型[5]或是板型[6-7]，二維三組元膜型[8]，三維三組元體型[3]，二維Helmhotz腔型[9]，一維超材料梁型[10]，以及二維膜型和腔型的結(jié)合[11]等。這些結(jié)構(gòu)在一定頻率范圍內(nèi)都可以產(chǎn)生禁帶，但是這些聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)如果僅憑借一種元胞而組成隔聲裝置其帶隙并不是很寬，相對帶隙(?f/f)也僅為15%左右，很多都是通過多層結(jié)構(gòu)堆疊或是改變元胞組成元素從而形成復(fù)合元胞達(dá)到較寬帶隙的[8,12]。本文提出了一種基于局域共振機理的瓣型聲學(xué)超材料微結(jié)構(gòu)，并研究其元胞的帶隙特性以及帶隙優(yōu)化規(guī)律。

2 模型的建立

本文設(shè)計的模型如圖1所示，模型設(shè)計借鑒了向內(nèi)彎曲的花瓣受到外力時產(chǎn)生較大的彈性曲率，能量從而減小，花朵振動進而保護花蕊的機理。圖1(a)是本文設(shè)計的一個超材料元胞的模型，由半球、“瓣”、薄膜、柵格支架四部分組成。元胞為隔聲裝置中阻隔低頻噪聲的最小聲學(xué)超材料單元，圖1(b)是元胞背面和柵格；圖1(c)是元胞陣列后的超材料結(jié)構(gòu)；圖1(d)是陣列后的背面結(jié)構(gòu)圖。其中，柵格支架由正方形格子沿方向和方向周期性延拓而成，起著固定支撐的作用，使得其上的質(zhì)量有能力振動。中間的彈性薄膜相當(dāng)于“彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)中的彈簧，半球和“瓣”相當(dāng)于質(zhì)量塊。

(a)???????(b)

(c) ???????(d)

圖1 “瓣”狀結(jié)構(gòu)的聲學(xué)超材料模型

Fig.1 Schematic of the petal-like acoustic metamaterial model

3 數(shù)值計算及分析

由于該聲學(xué)超材料是周期性的，本文首先計算了一個元胞的特征頻率及帶隙特性。所研究元胞結(jié)構(gòu)尺寸為：半球半徑的范圍為2.6~3.4 mm，“瓣”的厚度統(tǒng)一為0.5 mm，薄膜厚度為0.4~0.7 mm，剛性支架長度也就是晶格常數(shù)為9~14 mm，支架高度和厚度分別為1 mm和0.75 mm。粘貼于彈性薄膜的半球是金屬鎢，彈性薄膜是硅膠，剛性支架是硬質(zhì)塑料。材料參數(shù)：硅膠密度=1300 kg/m3；彈性模量=0.1175 MPa；泊松比0.469；塑料密度=1190 kg/m3；彈性模量=2.2 GPa；泊松比0.375；鎢密度=17800 kg/m3；彈性模量=360 GPa；泊松比0.27。

3.1 能帶結(jié)構(gòu)計算

本文采用的元胞尺寸為=3.4 mm，=10 mm，=0.6 mm，元胞四周的邊界均設(shè)置為Bloch周期性邊界條件，其他邊界為自由邊界，本文利用有限元軟件COMSOL MULTIPHYSICS 4.3對元胞的整個不可約布里淵(Brillouin)區(qū)邊界---進行掃描得到元胞的能帶圖，如圖2所示。從圖2中可看出，在相同尺寸、相同材料下，有“瓣”和無“瓣”[13]元胞的帶隙特性相差很大，對比圖2(a)和圖2(b)可知，有“瓣”模型產(chǎn)生的完全帶隙的個數(shù)和帶寬都比無“瓣”模型要優(yōu)越，有“瓣”模型可以產(chǎn)生3條完全帶隙，而無“瓣”模型只產(chǎn)生很窄的一條完全帶隙。圖2(a)中黃色區(qū)域是包括彎曲波[13]帶隙在內(nèi)的第一條帶隙，用(1)表示，藍(lán)色區(qū)域表示以“平帶”[7]為上邊界的第二條完全帶隙，用(2)來表示，綠色區(qū)域為最寬的以“平帶”作為下邊界的第三條完全帶隙，用(3)來表示。由圖2中的能帶圖可計算出瓣型結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的帶隙寬度是無“瓣” 模型的16倍([(305-140)+(92-76)]/(57-46)=16.4)，并且在400 Hz以下有三條完全帶隙，帶隙寬度達(dá)254 Hz，占作用總頻率的65%，相對帶隙(?f/f)高達(dá)到60%。

(a)有“瓣”元胞

(b)無“瓣”元胞

圖2 有“瓣”和無“瓣”元胞的能帶圖

Fig.2 Sonic band structures of the metamaterial cell: a. with "petals" and b. without "petals"

3.2 結(jié)構(gòu)模態(tài)分析

由圖2可見，瓣型結(jié)構(gòu)比較寬的帶隙，尤其是第三完全帶隙(圖中用(3)表示)的形成與其結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)特性密不可分。圖3所示4張圖分別為圖2(a)所示能帶圖中曲線A、B、F、G對應(yīng)固有頻率在點的振動模態(tài)圖。圖3(a)對應(yīng)圖2(a)中曲線A在點的振動模態(tài)，對應(yīng)于元胞結(jié)構(gòu)的第一階模態(tài)，固有頻率為62 Hz，從圖中可以看出半球和瓣都沿方向振動，而四周框架幾乎保持靜止。這表明，硬質(zhì)塑料框架可以看做剛性基礎(chǔ)，起到隔離每個元胞的作用，使每個元胞的振動都局域化，該階模態(tài)與文獻(xiàn)[6]中的“elongation”模態(tài)相對應(yīng)。圖3(b)對應(yīng)圖2(a)中曲線B在點的振動模態(tài)，對應(yīng)于元胞結(jié)構(gòu)的第二階模態(tài)，固有頻率為 76 Hz，半球和花瓣在水平方向或方向振動。由于曲線C在點的的振動模態(tài)與曲線B在點的相似，都是半球和花瓣在水平或方向振動，故只用圖3(b)代表元胞的第二階振動模態(tài)。由于結(jié)構(gòu)在方向和方向的對稱性，結(jié)構(gòu)在方向和方向的振動也相似，只是方向不同，所以曲線B、C在遠(yuǎn)離點處幾乎是重合的，曲線D、E在遠(yuǎn)離Γ點處也幾乎是重合的，該模態(tài)與文獻(xiàn)中的“shear”模態(tài)相對應(yīng)；圖3(c)對應(yīng)圖2(a)中曲線F在點的振動模態(tài)，對應(yīng)于元胞結(jié)構(gòu)的第三階模態(tài)，固有頻率為146 Hz，從圖中可以看出半球和瓣繞著幾何對稱軸做扭動。曲線F代表“平帶”，其值不隨波矢的改變而變化，該模態(tài)與其“breath”模態(tài)相對應(yīng)。最后，圖3(d)所示模態(tài)與曲線G對應(yīng)，對應(yīng)于胞元結(jié)構(gòu)的第四階模態(tài)，固有頻率為332 Hz，只有瓣的水平相向振動，半球保持不動。

(a)

(b)

(c)

(d)

圖3 圖2(a)中點A、B、F、G對應(yīng)的振動模態(tài)

Fig.3 The vibration modes corresponding to the points of A, B, F, G shown in Fig.2

從結(jié)構(gòu)模態(tài)分析可以看出，前三種振型都是框架保持不動，只有半球、瓣和薄膜振動。這樣，當(dāng)整個結(jié)構(gòu)受到振動干擾時，塑料框架不動，薄膜與其上的結(jié)構(gòu)振動耗散能量，從而達(dá)到減振的效果；當(dāng)結(jié)構(gòu)受到來自空氣的垂直入射聲波激勵時，如果激勵頻率與結(jié)構(gòu)的固有振動頻率接近時，則聲波與結(jié)構(gòu)發(fā)生強烈的耦合作用，從而達(dá)到降噪的效果。圖3(d)所示模態(tài)與曲線G對應(yīng)，只有瓣的水平相向振動，半球保持不動，該振型特征是超寬帶隙形成的主要原因之一。

3.3 結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化研究

由圖2(a) 和2(b) 的對比得知，瓣型模型比無“瓣”模型的帶隙特性優(yōu)越。但是，有“瓣”不是產(chǎn)生優(yōu)越帶隙特性的充分條件，元胞中各結(jié)構(gòu)幾何尺寸在一定范圍內(nèi)滿足相互匹配才能達(dá)到最佳效果。

(a) 晶格常數(shù)對帶隙特性的影響

首先分析晶格常數(shù)對帶隙特性的影響，計算中薄膜厚度=0.6 mm和半球半徑=3.4 mm都保持不變，晶格常數(shù)分別取9、10、11、12、13、14 mm時，計算的能帶結(jié)構(gòu)如圖4所示。

從圖4(a)~4(f)可以看出，隨著晶格常數(shù)的逐漸變大，能帶結(jié)構(gòu)中(3)區(qū)域?qū)挾仍絹碓叫?，?32 Hz逐漸減小到8 Hz，當(dāng)晶格常數(shù)達(dá)到12 mm時，(3)區(qū)域消失，而(2)區(qū)域從無到有再到無，(1)區(qū)域?qū)挾然静蛔?，帶隙中心頻率逐漸降低，具體變化數(shù)量及趨勢如圖5所示，圖中主要標(biāo)注了第三完全帶隙的寬度，第一、二完全帶隙寬度變化不大，都在25Hz以下，圖上沒有標(biāo)注。

(a)=9 mm

(b)=10 mm

(c)=11 mm

(d)=12 mm

(e)=13 mm

(f)=14 mm

圖4 超材料晶格常數(shù)變化時結(jié)構(gòu)的能帶圖

Fig.4 The sonic band structures of the metamaterial cells with different lattice constants

(b) 薄膜厚度和半球半徑對帶隙特性的影響

半球在元胞結(jié)構(gòu)中相當(dāng)于質(zhì)量塊，半球半徑的大小等價于質(zhì)量塊質(zhì)量的大小。彈性薄膜在結(jié)構(gòu)中相當(dāng)于緩沖振動的彈簧，薄膜的厚度影響著薄膜的彈性，所以也會對結(jié)構(gòu)帶隙特性產(chǎn)生一定影響。在“彈簧-質(zhì)量”系統(tǒng)中，彈簧和質(zhì)量任何一方發(fā)生改變，其振動特性就會受到影響，固有頻率就會有所變化，對應(yīng)元胞的能帶結(jié)構(gòu)就會發(fā)生變化。本文在保持晶格常數(shù)=10 mm不變的前提下，分別計算了薄膜厚度和半球半徑變化時元胞的帶隙特性。計算結(jié)果如圖6所示，從圖6(a)中可看出，隨著薄膜厚度的增加，(3)區(qū)域?qū)挾群椭行念l率都逐漸增大，(1)、(2)區(qū)域?qū)挾然颈３植蛔?，其中心頻率均隨薄膜厚度增加而逐漸增加。

從圖6(b)中可看出，(3)區(qū)域?qū)挾入S半球半徑R增大變化較大，從9 Hz迅速變到141 Hz；(2)區(qū)域?qū)挾然静蛔儯渲行念l率反而逐漸降低；(1)區(qū)域?qū)挾然静蛔儯行念l率逐漸升高。

由以上的分析知，要得到最寬的帶隙，就要優(yōu)先考慮(3)區(qū)域(第三完全帶隙)的寬度，因為(3)區(qū)域占總完全帶隙的比例(86%)最大，從(3)區(qū)域?qū)挾茸兓厔輥砜?，就要盡量減小晶格常數(shù)，增大薄膜厚度，增大半球半徑。但是，縮小晶格常數(shù)和增大半球半徑是兩個矛盾的過程。因為半球半徑增大，附屬在其外的瓣范圍也將擴大，有可能超出晶格常數(shù)的范圍，所以必須找到最合適半球半徑和晶格常數(shù)的搭配，才能得到最優(yōu)帶隙特性。本研究中結(jié)構(gòu)尺寸為=9 mm，=3.4 mm，=0.6 mm時(3)區(qū)域達(dá)到最寬(232 Hz)，如圖4(a)所示。此時晶格常數(shù)較小，瓣形所占空間比相對增大，瓣對帶隙的影響隨之增大，故禁帶增寬也在預(yù)料之中。

(a)帶隙隨薄膜厚度的變化

(b)帶隙隨半球半徑的變化

圖6 薄膜厚度和半球半徑對帶隙特性的影響

Fig.6 The relationships of bandwidth with (a) film thickness and (b) hemisphere radius

4 結(jié)論

本文設(shè)計了一種基于局域共振(LR)機理的帶瓣型結(jié)構(gòu)的聲學(xué)超材料，模型設(shè)計借鑒了向內(nèi)彎曲的花瓣受到外力時產(chǎn)生較大的彈性曲率能量從而減小花朵振動進而保護花蕊的機理。通過COMSOL計算研究表明本文所設(shè)計的聲學(xué)超材料比無瓣型聲學(xué)超材料帶隙更寬，并且僅用單層結(jié)構(gòu)同種元胞組合就可以在一定頻率下形成較寬的多個完全帶隙，而不需要通過不同種元胞組合或是多層結(jié)構(gòu)的復(fù)合而達(dá)到一定帶隙特性，在此基礎(chǔ)上進一步對所設(shè)計的聲學(xué)超材料幾何尺寸進行了優(yōu)化，當(dāng)結(jié)構(gòu)尺寸為(=9 mm，=3.4 mm，=0.6 mm)時(3)區(qū)域達(dá)到最寬(232 Hz)，此時晶格常數(shù)較小，瓣形所占空間比相對增大，瓣對帶隙的影響隨之增大。

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A petal-like acoustic metamaterial structure based on local resonance with ultra-wide sonic band gap in low frequency range

CHEN Lin, WU Wei-guo, ZHOU Rong

(,212013,,)

This paper proposes a petal-like acoustic metamaterial structure based on local resonance to solve the low-frequency acoustic attenuation problem. The band structures and vibration characteristics of the designed material cell are analyzed with COMSOL MULTIPHYSICS 4.3. It is shown that the proposed petal-like metamaterial structure can generate band gap much wider than that of the structure without petals in low frequency range. Furthermore, the structure can produce several complete band gaps by only one kind of cell of a single layer rather than different cells and several layers. The paper also studies the problem on size optimization of the acoustic metamaterial structure.

acoustic metamaterial; local resonance; sonic band gap

O422.7

A

1000-3630(2016)-03-0222-06

10.16300/j.cnki.1000-3630.2016.03.007

2015-11-13;

2016-02-13

鎮(zhèn)江市科技支撐項目(GY2013052)

陳琳(1988－), 女, 甘肅定西人,碩士, 研究方向為聲學(xué)超材料、低頻噪聲控制。

吳衛(wèi)國, E-mail: wuwg@ujs.edu.cn