三區(qū)域分片光滑近哈密頓系統(tǒng)的一階Melnikov函數(shù)

檀利軍，梁　峰（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003）

教學(xué)研究

三區(qū)域分片光滑近哈密頓系統(tǒng)的一階Melnikov函數(shù)

檀利軍，梁峰①
（安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003）

文章給出平面三區(qū)域分段光滑近哈密頓系統(tǒng)一階Melnikov函數(shù)一般積分公式，應(yīng)用該公式研究一個分段光滑的Kukles系統(tǒng)，證明其在某一閉軌附近可分支出兩個極限環(huán).

哈密頓系統(tǒng)；極限環(huán)；Melnikov函數(shù)；分段光滑系統(tǒng)

0　引言

眾所周知，一階Melnikov方法已被廣泛用于平面光滑近哈密頓系統(tǒng)的極限環(huán)分支，其中包括Hopf分支［1-2］、同宿分支［3-4］和異宿分支［5］等.目前，文獻(xiàn)［6］研究兩區(qū)域分段光滑近哈密頓系統(tǒng)的極限環(huán)分支，得到了一階Melnikov函數(shù)一般公式.就我們所知，這種方法已被廣泛應(yīng)用于平面非光滑兩區(qū)域近哈密頓系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題的研究，其中包括Hopf分支和同宿分支［7-9］等.本文首先將兩區(qū)域非光滑近哈密頓系統(tǒng)的一階Melnikov函數(shù)公式推廣到三區(qū)域.然后，應(yīng)用該公式研究一個具三區(qū)域的分段光滑Kuklus系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題.

考慮如下的三區(qū)域分段光滑近哈密頓系統(tǒng)

其中Hr，Hm，Hl，pr，pm，pl，qr，qm和ql是C∞函數(shù)，ε＞0是小參數(shù)，d∈D?Rm是參數(shù)，D是有界集.稱下面三個系統(tǒng)分別為系統(tǒng)（1）的右子系統(tǒng)、中子系統(tǒng)和左子系統(tǒng).

以及

對于系統(tǒng)（1）ε=0的未擾系統(tǒng)，作如下假設(shè)：

假設(shè)1存在一個開區(qū)間J=（α，β），使得點(diǎn)A（a，a0（h），A1（a，a1（h），A2（b，a2（h））和A3（b，a3（h）滿足Hm（A）=Hm（A3）=h，Hr（A）=Hr（A1），Hm（A1）=Hm（A2），Hl（A2）=Hl（A3），其中h∈J，a0（h）＞a1（h），a3（h）＞a2（h）.

圖1　當(dāng)ε=0時，系統(tǒng)（1）的相圖

圖2　系統(tǒng)（1）始于點(diǎn)A（h）的正半軌

由假設(shè)1，2，系統(tǒng)（1）ε=0有一閉軌族如圖1所示，當(dāng)ε充分小時系統(tǒng)（1）從A（h）出發(fā)的正半軌依次交l1與l2于點(diǎn)A1ε=（a，a1ε），A2ε=（b，a2ε），A3ε=（b，a3ε）和Bε=（a，bε），如圖2所示.同文獻(xiàn)［10］中引理3.1.1，可證A1ε，A2ε，A3ε和Bε關(guān)于（ε，h）是C∞的，因此，當(dāng)｝ε｝充分小時，有

易見，當(dāng)｝ε｝充分小，M（h，δ）關(guān)于h的孤立零根決定著系統(tǒng)（1）的極限環(huán)的個數(shù)與分布.稱M（h，δ）為系統(tǒng)（1）的一階Melnikov函數(shù).

1　三區(qū)域分片光滑系統(tǒng)一階Melnikov函數(shù)公式

本節(jié)給出系統(tǒng)（1）的一階Melnikov函數(shù)的一般公式.

引理1假設(shè)1，2成立，則

證明由假設(shè)1和2，有

顯然，ai（h），i=0，1，2，3是可微的.因此，可以得到

定理1假設(shè)1和2都成立，則系統(tǒng)（1）的一階Melnikov函數(shù)公式為

證明令

另一方面，由K8=Hr（A1ε）-Hr（A）和A1ε=A1ε（a，a1ε），有

因此

由K7=Hm（A1ε）-Hr（A1ε）以及（12）式，可得

與（11）式類似，有

同樣，由K6=Hm（A2ε）-Hm（A1ε）和A2ε=（b，a2ε），知

因此，再由（12）和（14）式，得到

注意到K5=Hl（A2ε）-Hm（A2ε），由（15）式得到

與（11）式類似，有

又由K4=Hl（A3ε）-Hl（A2ε）和A3ε=（b，a3ε），可得

由式（15）和式（17）得

再由K3=Hm（A3ε）-Hl（A3ε）和（18）式，有

此外，同（11）式可得

而由K2=Hm（Bε）-Hm（A3ε）和Bε=（a，bε），知

應(yīng)用（18），（20）和（21）式，易見

因此，由K1=Hr（Be）-Hm（Bε）和（22）式，有

由（8）和（9）式，有

最后，將（11），（13），（14），（16），（17），（19），（20）和（23）式代入上式，并使用引理1，可得

2　一個三區(qū)域分段Kukles系統(tǒng)的極限環(huán)分支

作為定理1的應(yīng)用，考慮下面的三區(qū)域分段光滑連續(xù)Kukles系統(tǒng)

其中，ε＞0充分小，w＞0是常數(shù)，k1，k2和ai（i=0，1，2）是參數(shù)，

定理2當(dāng)ε＞0充分小時，系統(tǒng)（25）在L0外側(cè)（或內(nèi)側(cè)）可分支出2（或1）個極限環(huán).

比較系統(tǒng)（1）和（25），有

將（27）、（28）和（29）式代入（26）式，則有

為了研究L0內(nèi)側(cè)的極限環(huán)分支，給出系統(tǒng)（25）在0＜-h?1內(nèi)的一階Melnikov函數(shù)展開式，即有

對于系統(tǒng)（25）在L0外側(cè)的極限環(huán)分支，由（30）式有

從而，c0，c1，c2可取為自由參數(shù).當(dāng)0＜c0?-c1?c2時，由（30）式知，當(dāng)h＞0且充分小時，M（h，δ）關(guān)于h可有2個正根.因此，系統(tǒng)（25）在L0的外側(cè)可分支出2個極限環(huán).而對于L0內(nèi)側(cè)的極限環(huán)分支，由于（31）式中b0，b1和b2是線性相關(guān)的，且有

因此，由（31）式知，系統(tǒng)（25）在L0內(nèi)側(cè)可分支出一個極限環(huán).證畢.

［1］WANG W，HAN M，SUN J.On Hopf cyclicity of a planar systems with multiple parameters［J］.Appl Math Lett，2005，18 （6）：613-619.

［2］JIANG J，HAN M.Melnikov function and limit cycle bifurcation from a nipotent center［J］.Bull des Sci Math，2008，132 （3）：182-193.

［3］HAN M，WANG Z，ZANG H.Limit cycle by Hopf and homoclinic bifurcations for near-Hamiltonian systems［J］.Chin JContemporary Math，2007，5（5）：679-690.

［4］AN Y，HAN M.On the number of limit cycles near a homoclinic loop with a nilpotent singular point［J］.J Differential Equations，2015，342（9）：3194-3247.

［5］HAN M，YANG J，GAO Y.Limit cycles near homoclinic and heteroclinic loops［J］.J Dynam Differential Equations，2008，20（4）：923-944.

［6］LIU X，HAN M.Bifurcation of limit cycles by perturbing piecewise Hamiltonian systems［J］.Int J Bifurcation and Chaos，2010，5：1-12.

［7］XIONG Y，HAN M.Limit cycle bifurcations in a class of perturbed piecewise smooth systems［J］.Appl Math Comput，2014，242：47-64.

［8］LIANG F，HAN M.Limit cycles near generalized homoclinic and double homoclinic loops in piecewise smooth systems［J］. Chaos Soliton Fractrals，2012，45（4）：454-464.

［9］LIANG F，HAN M，ROMANOVSKI V G.Bifurcation of limit cycles by perturbing a piecewise linear Hamiltonian system with a homoclinic loop［J］.Nonlinear Anal，2011，75（11）：4355-4374.

［10］HAN M.Bifurcation theory of limit cycles［M］.Beijing：Science Press，2013.

The First Melnikov Function of a Piecewise near-Hamiltonian System with Three Zones

TAN Lijun，LIANG Feng
（Department of Mathematics，Anhui Normal University，241003，Wuhu，Anhui，China）

In this paper，we first give an integral formula of the first order Melnikov function which can be used to study limit cycle bifurcations of piecewise smooth near-Hamiltonian systems with three zones.Then，by using this formula，we consider a piecewise smooth Kukles system with three zones，and prove that 2 limit cycles can be bifurcated near a closed orbit.

Hamiltonian systems；limit cycles；Melnikov function；piecewise smooth system

O 175

A

2095-0691（2016）02-0001-07

2015-12-31

安徽省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（1308085MA08）

檀利軍（1989-），女，安徽池州人，碩士，研究方向：泛函微分方程.通訊作者：梁峰（1974-），男，安徽太和人，博士，副教授，研究方向：微分方程理論及應(yīng)用.