從法向量看二元一次式值的變化

安徽省蚌埠市固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)

馬開慶　　(郵編：611731)

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從法向量看二元一次式值的變化

安徽省蚌埠市固鎮(zhèn)縣第一中學(xué)

馬開慶(郵編：611731)

從幾何的角度，得出從法向量方向看二元一次式Ax+By+C的值的變化規(guī)律,沿著系數(shù)法向量n=(A,B)方向取值(x,y)，二元一次式的值增大，反向則減小.

二元一次式;法向量;區(qū)域

1　理論探討

二元一次方程Ax+By+C=0，其中A，B，C為常數(shù)，且A，B不同時為零.在平面直角坐標(biāo)系中表示一條直線，記作l，稱為直線的一般方程.非零向量n=(A,B)垂直于直線，稱為直線l的法向量，這里我們也稱n為二元一次式Ax+By+C的系數(shù)法向量.這里我們給出以下事實(shí)，當(dāng)l沿著系數(shù)法向量移動時，二元一次式Ax+By+C的值增大，反方向移動時其值變小.

下面給出說明.首先探求點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上與點(diǎn)在直線外.點(diǎn)在直線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，下面探求點(diǎn)在直線外的情形. 事實(shí)上，不妨設(shè)系數(shù)B>0，如圖，

代入坐標(biāo)得

(x0-x1,y0-y1)·(A,B)=λ(A,B)·(A,B),

A(x0-x1)+B(y0-y1)=λ·(A2+B2),

Ax0+By0-(Ax1+By1)=λ·(A2+B2).利用點(diǎn)M1(x1,y1)在直線l上，即Ax1+By1+C=0，有Ax1+By1=-C代入上式，得

Ax0+By0+C=λ·(A2+B2).

因?yàn)锳，B不同時為零，所以A2+B2為正常數(shù).由上式知直線l同側(cè)的點(diǎn)的坐標(biāo)代入二元一次式Ax+By+C的符號相同，直線l把直角坐標(biāo)系不在直線l上的點(diǎn)分成了兩部分,即與系數(shù)法向量(A,B)箭頭所指向區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足Ax+By+C>0，而指向相反的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足Ax+By+C<0，而且當(dāng)直線l:Ax+By+c=0沿著系數(shù)法向量方向平移時，Ax+By+C值單調(diào)增大，反方向移動時，Ax+By+C值單調(diào)減小.

2　理論應(yīng)用

下面我們來看看上面結(jié)論在線性規(guī)劃中的應(yīng)用.

應(yīng)用1判定直線一側(cè)的區(qū)域，例如，x+y-1=0，應(yīng)用上面結(jié)論很容易判定,在系數(shù)法向量n=(1,1)箭頭指向的區(qū)域即直線的右上方區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足x+y-1>0，且當(dāng)直線沿法向量n=(1,1)移動時，x+y-1的值變大，反方向移動時，x+y-1值減小.

注上述方法比從直線在y軸上的截距角度分析更直接.

上述方法是在教學(xué)中的感悟，在解決某些二元線性目標(biāo)函數(shù)問題時，有時能夠更直接地去判斷.某些想法可能不太成熟，寫出來與大家一起探討.

1編寫組.高中數(shù)學(xué)(必修5).北京：北京師范大學(xué)出版社.2015

2呂林根，許子道等.解析幾何.第三版.北京：高等教育出版社，1987:72

2016-04-06)