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    圓錐曲線相交切線性質(zhì)再探

    2016-09-06 09:07:33湖北省陽新縣高級中學(xué)
    關(guān)鍵詞:陽新縣高級中學(xué)雙曲線

    湖北省陽新縣高級中學(xué)

    鄒生書  (郵編:435200)

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    初數(shù)研究

    圓錐曲線相交切線性質(zhì)再探

    湖北省陽新縣高級中學(xué)

    鄒生書(郵編:435200)

    2016年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽湖北省預(yù)賽已落下帷幕,高二年級第13題也就是最后一道題,是一道拋物線雙切線性質(zhì)的證明題,筆者感覺似曾相識卻又有幾分陌生,題目與解答如下:

    性質(zhì)1過拋物線y2=2px(p>0)外一點P向拋物線作兩條切線,切點為M、N、F為拋物線的焦點,則(1)FP2=FM·FN;(2)∠PFM=∠PFN;(3)∠PMF=∠FPN,∠PNF=∠FPM.

    類比、推廣、特殊化、化歸等是數(shù)學(xué)思考的常用邏輯方法,是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,進而探索問題和解答問題的重要途徑.這是筆者曾在文中所研究過的問題,下面通過特殊化、類比和歸納等思維方法對圓錐曲線兩相交切線的性質(zhì)進行再探討.

    對于性質(zhì)1中拋物線雙切線的優(yōu)美性質(zhì),在橢圓和雙曲線中是否仍然有類似的性質(zhì)呢?

    于是橢圓的兩條相交切線有如下性質(zhì):

    對于雙曲線的兩條相交切線通過探究我們有如下性質(zhì):

    對于雙曲線,只需將橢圓探究過程中b2換成-b2即可.與橢圓一樣,F(xiàn)P2=FM·FN,∠PMF=∠FPN,∠PNF=∠FPM都不恒成立.

    故當(dāng)點M、N在雙曲線的同一支時,cos∠PFM=cos∠PFN, ∠PFM=∠PFN;當(dāng)點M、N分別在雙曲線的兩支時,cos∠PFM=-cos∠PFN,∠PFM+∠PFN=180°.

    評注對于性質(zhì)3中的兩個角∠PFM,∠PFN,筆者在文中只有相等這個結(jié)論,高慧明老師在文中指出了這兩個角還有互補的情形,并在文中用雙曲線的光學(xué)性質(zhì)和平面幾何知識給出了證明.

    綜合歸納拋物線、橢圓和雙曲線的以上性質(zhì),可得圓錐曲線相交切線有如下統(tǒng)一性質(zhì):

    性質(zhì)4設(shè)點F是圓錐曲線C的焦點,若過點P的直線PM、PN分別與曲線C相切于M、N兩點(當(dāng)曲線C為雙曲線時,點M、N在同一支上),則∠PFM=∠PFN.

    1鄒生書.圓錐曲線切線的一個優(yōu)美性質(zhì),數(shù)學(xué)通訊(下半月),2009(1)

    2高慧明.圓錐曲線的優(yōu)美性質(zhì)再思考,中小學(xué)數(shù)學(xué)高中版,2009(7—8)

    3鄒生書.圓錐曲線互相垂直切線交點的軌跡,中學(xué)數(shù)學(xué)研究(南昌),2011(4)

    2016-05-26)

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