能量法分析二元機(jī)翼顫振的機(jī)理

陸 磊

能量法分析二元機(jī)翼顫振的機(jī)理

陸 磊

本文研究了基于定常氣動(dòng)力的二元線性氣動(dòng)彈性系統(tǒng)的輸入能和耗散能等各種能量之間的關(guān)系，以此分析機(jī)翼發(fā)生顫振的機(jī)理。分析表明，機(jī)翼發(fā)生顫振時(shí)，兩個(gè)自由度間必須存在一定的相位差才能維持系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)，慣性力對(duì)沉浮自由度做的功轉(zhuǎn)換成該自由度的耗散能，慣性力對(duì)俯仰自由度做的功轉(zhuǎn)換成該自由度的輸入能，系統(tǒng)及子系統(tǒng)的輸入能和耗散能均滿足相等的關(guān)系。系統(tǒng)的顫振頻率、兩自由度的相位差及振幅比由系統(tǒng)的參數(shù)唯一確定。

飛機(jī)在飛行過(guò)程中受到擾動(dòng)后將會(huì)引起振動(dòng)，當(dāng)飛行速度比較小時(shí)，由于氣動(dòng)阻尼和系統(tǒng)阻尼的作用，振動(dòng)會(huì)衰減，當(dāng)速度增大到一定程度后，振動(dòng)的衰減便逐漸減慢。當(dāng)達(dá)到某一飛行速度后，擾動(dòng)引起的振幅正好保持不變，這一速度便是顫振臨界速度，簡(jiǎn)稱顫振速度。由于顫振是在其本身的運(yùn)動(dòng)引起的氣動(dòng)力激勵(lì)下產(chǎn)生的，所以顫振是一種自激振動(dòng)。

顫振是一種復(fù)雜的物理現(xiàn)象，對(duì)于其物理本質(zhì)，目前國(guó)內(nèi)外幾乎所有的氣動(dòng)彈性教材也只是作了簡(jiǎn)要的定性分析或描述，即使對(duì)于線性顫振問(wèn)題其機(jī)理的表述也不甚清楚，非線性顫振是國(guó)內(nèi)外的研究重點(diǎn)，研究的成果非常豐富，但對(duì)于產(chǎn)生非線性現(xiàn)象的機(jī)理分析卻幾乎沒(méi)有。由于對(duì)復(fù)雜非線性氣動(dòng)彈性現(xiàn)象的機(jī)理缺乏完整的理解，在目前的工程界對(duì)于非線性氣動(dòng)彈性問(wèn)題主要解決途徑還是盡力降低非線性程度，加大安全系數(shù)，利用線性分析手段進(jìn)行處理。這種方式對(duì)較弱的非線性問(wèn)題是有效的，但這種以提高安全余量保證飛行安全的方法與減輕結(jié)構(gòu)重量提高結(jié)構(gòu)效率的優(yōu)化設(shè)計(jì)是背道而馳的。因此，開(kāi)展線性及非線性氣動(dòng)彈性現(xiàn)象的機(jī)理研究顯得十分必要。

事實(shí)上，顫振作為一種自激振動(dòng)，屬于結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的范疇，因此，氣動(dòng)彈性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題可以用自激振動(dòng)的穩(wěn)定性理論進(jìn)行分析。從能量的觀點(diǎn)出發(fā)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)的穩(wěn)定性取決于能量的輸入與耗散的相互關(guān)系。若振幅偏離穩(wěn)態(tài)值時(shí)，能量的增減能促使振幅回至穩(wěn)態(tài)值，則平衡狀態(tài)穩(wěn)定，反之，平衡狀態(tài)不穩(wěn)定。當(dāng)然，對(duì)于氣動(dòng)彈性系統(tǒng)而言，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素并不是系統(tǒng)的振幅，而是來(lái)流速度。綜上所述，本文從能量的觀點(diǎn)首先探討了基于定常氣動(dòng)力的二元?dú)鈩?dòng)彈性系統(tǒng)發(fā)生顫振的機(jī)理，以便為研究非線性氣動(dòng)彈性現(xiàn)象的機(jī)理做鋪墊。

模型介紹

圖1所示的是一個(gè)單位展長(zhǎng)的二元機(jī)翼的剖面圖。機(jī)翼的半弦長(zhǎng)為b，剛心E距離翼弦中點(diǎn)為ab，a為翼弦中點(diǎn)到剛心的距離占半弦長(zhǎng)的百分比，剛心在翼弦中點(diǎn)后時(shí)，a＞0。機(jī)翼的運(yùn)動(dòng)由剛心的浮沉位移h和機(jī)翼的繞剛心的俯仰角位移為a（迎風(fēng)抬頭為正）來(lái)描述。

二元機(jī)翼的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式中，L與M為氣動(dòng)力與氣動(dòng)力矩，為了討論方便，本文使用定常氣動(dòng)力進(jìn)行分析，單位展長(zhǎng)的二元機(jī)翼受到的定常氣動(dòng)力為：

其中， r為空氣的密度，V為來(lái)流速度，e為氣動(dòng)力中心到剛心的距離，其表達(dá)式為e=（0.5+a）b。

為了使用圖線形象地展示，這里取一個(gè)典型的模型進(jìn)行分析，模型的幾何及物理參數(shù)為：

圖1　二元機(jī)翼的力學(xué)模型

該氣彈系統(tǒng)的顫振速度VF=23.39m/s。

來(lái)流速度等于顫振速度

從顫振的定義與現(xiàn)象可知，當(dāng)來(lái)流速度達(dá)到顫振速度時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為單頻的周期運(yùn)動(dòng)，假設(shè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)為：

沉浮方向的輸入能為：

俯仰方向的輸入能為：

系統(tǒng)的輸入能為：

沉浮方向的耗散能為：

俯仰方向的耗散能為：

系統(tǒng)的耗散能為：

當(dāng)分別討論系統(tǒng)中的沉浮自由度和俯仰自由度的能量時(shí)，這里還需介紹慣性力做的功。

慣性力對(duì)沉浮自由度做的功為：

慣性力對(duì)俯仰自由度做的功為：

當(dāng)t=Tz（Tz為運(yùn)動(dòng)周期）時(shí)，式（5）、式（6）、式（8）、式（9）、式（11）和式（12）的表達(dá)式化簡(jiǎn)為：

式（14）表明，一周期內(nèi)，俯仰方向的氣動(dòng)力對(duì)系統(tǒng)做功為零，也就是說(shuō)，該自由度的氣動(dòng)剛度起到了減弱結(jié)構(gòu)剛度的作用。式（17）和式（18）表明一周期內(nèi)慣性力對(duì)沉浮自由度和俯仰自由度做功互為相反數(shù)。

顫振作為一種自激振動(dòng)，從能量的觀點(diǎn)出發(fā)，自激系統(tǒng)只有系統(tǒng)的輸入能和耗散能滿足相等的關(guān)系才能產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)。由系統(tǒng)輸入能等于耗散能可以得到：

對(duì)于系統(tǒng)中的沉浮自由度和俯仰自由度而言，其各自的輸入能和耗散能也應(yīng)該滿足相等的關(guān)系。以俯仰自由度為例，由于該方向的氣動(dòng)力在一周期內(nèi)對(duì)系統(tǒng)做功為零，因此，該方向的輸入能由慣性力對(duì)其做的功來(lái)提供，即Echa為俯仰方向的輸入能，由此得到：

將式（4）代入方程（1）的第一個(gè)方程，整理得：

若方程（21）有解，則：

聯(lián)立求解由式（19）、式（20）、式（22）和式（23）組成的方程組即可得到相應(yīng)的解。

當(dāng)V=VF時(shí)，上述方程組的解是：

由于方程（1）穩(wěn)態(tài)解的解析表達(dá)式較難求得，為了驗(yàn)證上述結(jié)論，本文將用數(shù)值法求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。

當(dāng)V=VF，初始條件為h0=0.1，a0=0.1時(shí)（注：為了討論方便，初始速度均為零），用數(shù)值法求得系統(tǒng)的響應(yīng)，選取穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動(dòng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)擬合。選取數(shù)據(jù)的原則是使浮沉方向的位移從0開(kāi)始，并將時(shí)間更新至從0開(kāi)始，如圖2所示。

擬合的函數(shù)形式為：

擬合的結(jié)果如表1和表2所示。

圖2　h與a的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

表1　沉浮方向擬合的結(jié)果

表2　俯仰方向擬合的結(jié)果

所以，擬合的沉浮方向與俯仰方向的響應(yīng)函數(shù)分別是：

綜上所述，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生顫振時(shí)，氣動(dòng)力通過(guò)沉浮自由度給系統(tǒng)輸入能量，由于系統(tǒng)存在慣性耦合，兩自由度間的能量轉(zhuǎn)換靠慣性力做功來(lái)實(shí)現(xiàn)，慣性力對(duì)俯仰自由度做的功充當(dāng)了該自由度的輸入能，而慣性力對(duì)沉浮自由度做的功充當(dāng)了該自由度耗散能的一部分，當(dāng)系統(tǒng)以及子系統(tǒng)各自的輸入能和耗散能滿足相等的關(guān)系時(shí)，顫振發(fā)生了。

值得指出的是，式（13）和式（14）表明系統(tǒng)的輸入能是運(yùn)動(dòng)振幅和相位差的函數(shù)，式（15）和式（16）表明系統(tǒng)耗散能是運(yùn)動(dòng)振幅和振動(dòng)頻率的函數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)在顫振速度下作周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)自由度間必須維持一定的相位差才能保證系統(tǒng)做的是周期運(yùn)動(dòng)。

系統(tǒng)的機(jī)械能為：

俯仰自由度的機(jī)械能為

系統(tǒng)的機(jī)械能、輸入能和耗散能隨時(shí)間的變化如圖3所示。圖3表明，當(dāng)二元機(jī)翼發(fā)生顫振時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能周期變化，并且系統(tǒng)的輸入能和耗散能在t=nTz/2（n=0，1，2，……）時(shí)是相等的，即在半周期內(nèi)系統(tǒng)的輸入能等于系統(tǒng)的耗散能。

另一方面，圖3的Esum-Ein+Edis這條曲線是一個(gè)常數(shù)說(shuō)明系統(tǒng)的機(jī)械能、輸入能和耗散能滿足如下關(guān)系式：

對(duì)于俯仰自由度，其機(jī)械能、慣性力對(duì)其做的功以及耗散能隨時(shí)間的變化如圖4所示。

圖4表明，俯仰方向的機(jī)械能是周期變化的，在t=nTz/2（n=0，1，2，……）時(shí)，慣性力對(duì)俯仰自由度做的功和耗散能是相等的，并且Esuma-Echa+Edisa這條曲線是一個(gè)常數(shù)，這說(shuō)明俯仰自由度的機(jī)械能、輸入能和耗散能也滿足式（28）的關(guān)系。

圖3　系統(tǒng)的機(jī)械能、輸入能及耗散能

圖4　俯仰方向的能量

來(lái)流速度不等于顫振速度

若來(lái)流速度小于顫振速度，響應(yīng)是收斂的；若來(lái)流速度大于顫振速度，則響應(yīng)是發(fā)散的，也就是說(shuō)，當(dāng)來(lái)流速度不等于顫振速度時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)包含指數(shù)成分，在這種情況下，系統(tǒng)的解的解析表達(dá)式較難求得，這也造成了與解有關(guān)的一些計(jì)算難以進(jìn)行，如能量的計(jì)算。然而，用數(shù)值法對(duì)運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行直接求解則可以克服這些弊端。下面本文將用數(shù)值法來(lái)計(jì)算當(dāng)來(lái)流速度不等于顫振速度時(shí)系統(tǒng)的各種能量，進(jìn)一步探討二元機(jī)翼發(fā)生顫振的原因。

也許你此時(shí)正覺(jué)得自己一無(wú)是處，為自己對(duì)什么都不感興趣而不知所措，甚至煩悶不已。你要明白，也許你并不是對(duì)什么都不感興趣，只是沒(méi)有去接觸而已。

系統(tǒng)的輸入能為：

系統(tǒng)的耗散能為：

圖5　V=20.0時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

圖6　V＜VF時(shí)系統(tǒng)的能量

圖7　V=25.0時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)

圖8　V＞VF時(shí)系統(tǒng)的能量

來(lái)流速度小于顫振速度

當(dāng)V=20.0，初始條件為h0=0.1，a0=0.1時(shí)，用數(shù)值法求得系統(tǒng)的響應(yīng)，如圖5所示。

通過(guò)對(duì)圖5的響應(yīng)曲線進(jìn)行傅里葉分析，結(jié)果表明，沉浮方向是單頻振動(dòng)，而俯仰方向是多頻振動(dòng)，該方向的頻率除了自身的固有頻率外，還包含了沉浮方向的振動(dòng)頻率。

系統(tǒng)的機(jī)械能、輸入能和耗散能隨時(shí)間的變化如圖6所示，圖6說(shuō)明當(dāng)系統(tǒng)的來(lái)流速度低于顫振速度時(shí)，系統(tǒng)的輸入能小于耗散能，以致系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減少，最后系統(tǒng)的響應(yīng)收斂至平衡位置。另一方面，系統(tǒng)的機(jī)械能、輸入能和耗散能滿足式（28）的關(guān)系。

來(lái)流速度大于顫振速度

當(dāng)V=25.0，初始條件為h0=0.1，a0=0.1時(shí)，用數(shù)值法求得系統(tǒng)的響應(yīng)，如圖7所示。通過(guò)對(duì)圖7的響應(yīng)曲線進(jìn)行傅里葉分析，結(jié)果表明，沉浮方向和俯仰方向是同一頻率的單頻振動(dòng)。

系統(tǒng)的機(jī)械能、輸入能和耗散能隨時(shí)間的變化如圖8所示，分析表明當(dāng)系統(tǒng)的來(lái)流速度大于顫振速度時(shí)，系統(tǒng)的輸入能大于耗散能，以致系統(tǒng)的機(jī)械能不斷增加，從而使系統(tǒng)的響應(yīng)發(fā)散。Esum-Ein+Edis這條曲線是一個(gè)常數(shù)體現(xiàn)了系統(tǒng)得機(jī)械能、輸入能和耗散能也滿足式（28）的關(guān)系。

結(jié)語(yǔ)

本文從能量的觀點(diǎn)分析了二元機(jī)翼不同時(shí)刻的機(jī)械能以及不同時(shí)間區(qū)間系統(tǒng)的輸入能、耗散能，以探討二元機(jī)翼發(fā)生顫振的機(jī)理，得到的結(jié)論如下。

1）當(dāng)系統(tǒng)的輸入能等于耗散能時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生顫振；當(dāng)輸入能小于耗散能時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)收斂至平衡位置；當(dāng)輸入能大于耗散能時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)發(fā)散。

2）當(dāng)系統(tǒng)在顫振速度下作周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩個(gè)自由度間必須存在一定的相位差才能維持系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)確定了之后，該系統(tǒng)的顫振頻率、兩自由度的相位差及振幅比也就確定了。

3）俯仰方向的輸入能靠慣性力對(duì)其做的功提供，慣性力對(duì)沉浮自由度做的功轉(zhuǎn)換成了該自由度耗散能的一部分，系統(tǒng)發(fā)生顫振時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)及子系統(tǒng)而言，其輸入能和耗散能同樣滿足相等的關(guān)系。

陸 磊

上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院

陸磊，男，碩士，上海飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院。

DOI：10.3969/j.issn.1001-8972.2016.08.010