不定方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的正整數(shù)解

官春梅，吳星星，張四保，席小忠

(1.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什　844008；2.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊　830046；3.宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西宜春　336000)

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不定方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的正整數(shù)解

官春梅1，吳星星2，張四保1，席小忠3

(1.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆喀什844008；2.新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046；3.宜春學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,江西宜春336000)

討論了不定方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性，利用初等方法給出了該方程的57組正整數(shù)解，其中φ(n)為Euler函數(shù).

Euler函數(shù)；不定方程；正整數(shù)解；初等方法

0　引言

記φ(n)為Euler函數(shù)，其值等于模n的一個(gè)完全剩余系中與n互素的整數(shù)的個(gè)數(shù).有關(guān)Euler函數(shù)φ(n)的方程的研究是初等數(shù)論中非常重要和有意義的課題之一[1].求方程φ(x)=m的所有正整數(shù)解是有關(guān)Euler函數(shù)研究的一個(gè)公開問題．Erd?s[2]與Woolridge[3]都曾研究過(guò)這一問題，并給出了相應(yīng)的成果．文獻(xiàn)[4]討論了方程φ(x1+x2+…+xk)=φ(x1)+φ(x2)+…+φ(xk)的可解性，并給出其所有的整數(shù)解；文獻(xiàn)[5]討論了φ(xyz)=2(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性問題，并給出了其全部正整數(shù)解.本文討論方程φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))的可解性問題，并利用初等方法給出其全部正整數(shù)解.

1　主要引理

引理1[6]對(duì)任意正整數(shù)n與m，有

其中g(shù)cd(n,m)為n與m的最大公因數(shù).

引理2[6]若整數(shù)n≥2，則φ(n)

2　結(jié)論及其證明

定理1不定方程

(1)

有57組正整數(shù)解：

(x,y,z)=(25,3,3)，(44,3,3)，(50,3,3)，(33,3,4)，(33,4,3)，(25,3,6)，(25,6,3)，(11,3,5)，(22,3,5)，(11,3,10)，(11,3,8)，(11,4,5)，(11,6,5)，(11,5,3)，(22,5,3)，(11,10,3)，(11,8,3)，(11,5,4)，(11,5,6)，(3,3,25)，(3,3,44)，(3,3,50)，(3,4,33)，(3,6,25)，(4,3,33)，(6,3,25)，(3,25,3)，(3,44,3)，(3,50,3)，(3,33,4)，(3,25,6)，(4,33,3)，(6,25,3)，(3,5,11)，(3,11,5)，(3,5,22)，(3,22,5)，(3,8,11)，(3,11,8)，(3,10,11)，(3,11,10)，(4,5,11)，(4,11,5)，(6,5,11)，(6,11,5)，(5,3,11)，(5,11,3)，(5,3,22)，(5,22,3)，(8,3,11)，(8,11,3)，(10,3,11)，(10,11,3)，(5,4,11)，(5,11,4)，(5,6,11)，(5,11,6).

證明由于φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))，所以

從而有φ(x)φ(y)φ(z)≤5(φ(x)+φ(y)+φ(z))，即

下面根據(jù)φ(y)φ(z)的值分以下兩種情況進(jìn)行討論.

情況1φ(y)φ(z)<5.

當(dāng)φ(y)φ(z)<5時(shí)，(y,z)的可能取值為：(y,z)=(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,8)，(1,10)，(1,12)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,8)，(2,10)，(2,12)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,6)，(8,1)，(8,2)，(10,1)，(10,2)，(12,1)，(12,2).

將以上(y,z)的值代入方程(1)，結(jié)合引理1與引理2可得，當(dāng)(y,z)=(3,3)時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(25,3,3)，(44,3,3)，(50,3,3)；當(dāng)(y,z)=(3,4)時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(33,3,4)；當(dāng)(y,z)=(4,3)時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(33,4,3)；當(dāng)(y,z)=(3,6)時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(25,3,6)；當(dāng)(y,z)=(6,3)時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(25,6,3).在其余情況下方程(1)均無(wú)正整數(shù)解.

情況2φ(y)φ(z)>5.

此時(shí)，必有φ(y)φ(z)≥6.

情況2.1φ(y)φ(z)=6.

此時(shí)，有φ(y)=1，φ(z)=6或φ(y)=6，φ(z)=1.從而φ(xyz)=5φ(x)+35，即φ(xyz)-5φ(x)=35，由此所確定的(y,z)都不會(huì)使得φ(x)為偶數(shù)，由引理2可得此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

情況2.2φ(y)φ(z)=8.

此時(shí)，有φ(y)=1,φ(z)=8或φ(y)=2,φ(z)=4或φ(y)=4,φ(z)=2或φ(y)=8,φ(z)=1.

當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=8或φ(y)=8,φ(z)=1時(shí)，有φ(xyz)=5φ(x)+45，從而有φ(xyz)-5φ(x)=45，由此所確定的(y,z)都不會(huì)使得φ(x)為偶數(shù)，由引理2可得此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=4時(shí)，有y=3,4,6且z=5,10,8,12.此時(shí)，(y,z)的可能取值為：(y,z)=(3,5)，(3,10)，(3,8)，(3,12)，(4,5)，(4,10)，(4,8)，(4,12)，(6,5)，(6,10)，(6,8)，(6,12).

當(dāng)(y,z)=(3,5)時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(11,3,5)，(22,3,5)；當(dāng)(y,z)=(3,10)時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(11,3,10)；當(dāng)(y,z)=(3,8)時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(11,3,8)；當(dāng)(y,z)=(4,5)時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(11,4,5)；當(dāng)(y,z)=(6,5)時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(11,6,5)；而當(dāng)(y,z)=(3,12)，(4,10)，(4,8)，(4,12)，(6,10)，(6,8)，(6,12)時(shí)，方程(1)均無(wú)正整數(shù)解.

由此可知，當(dāng)φ(y)=4,φ(z)=2時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(11,5,3)，(22,5,3)，(11,10,3)，(11,8,3)，(11,5,4)，(11,5,6).

綜上，當(dāng)φ(y)φ(z)=8時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(11,3,5)，(22,3,5)，(11,3,10)，(11,3,8)，(11,4,5)，(11,6,5)，(11,5,3)，(22,5,3)，(11,10,3)，(11,8,3)，(11,5,4)，(11,5,6).

情況2.3φ(y)φ(z)=10.

此時(shí)，有φ(y)=1,φ(z)=10或φ(y)=10,φ(z)=1.從而有5(φ(y)+φ(z))=55，即φ(xyz)-5φ(x)=55，可得φ(x)的值為奇數(shù)或者無(wú)正整數(shù)解.因而，當(dāng)φ(y)φ(z)=10時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

情況2.4φ(y)φ(z)=12.

此時(shí)，有φ(y)=1,φ(z)=12或φ(y)=2,φ(z)=6或φ(y)=6,φ(z)=2或φ(y)=12,φ(z)=1.

當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=12或φ(y)=12,φ(z)=1時(shí)，有5(φ(y)+φ(z))=65，從而φ(xyz)-5φ(x)=65，可得φ(x)的值為奇數(shù)或者無(wú)正整數(shù)解.因而，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=6時(shí)，有y=3,4,6且z=7,9,14,18.此時(shí)，(y,z)的可能取值為：(y,z)=(3,7)，(3,9)，(3,14)，(3,18)，(4,7)，(4,9)，(4,14)，(4,18)，(6,7)，(6,9)，(6,14)，(6,18).將以上每組值代入方程(1)可得，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.同理，當(dāng)φ(y)=6,φ(z)=2時(shí)，方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

綜合以上討論，當(dāng)φ(y)φ(z)=12時(shí)，方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

情況2.5φ(y)φ(z)=14.

此時(shí)，有φ(y)=14或者φ(z)=14.由于方程φ(m)=14無(wú)正整數(shù)解，因而，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

情況2.6φ(y)φ(z)=16.

此時(shí)，有φ(y)=1,φ(z)=16或φ(y)=2,φ(z)=8或φ(y)=4,φ(z)=4或φ(y)=8,φ(z)=2或φ(y)=16,φ(z)=1.

當(dāng)φ(y)=1,φ(z)=16或φ(y)=16,φ(z)=1時(shí)，有5(φ(y)+φ(z))=85，從而φ(16x)-5φ(x)=85，可得φ(x)的值為奇數(shù)或者無(wú)正整數(shù)解.因而，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)φ(y)=2,φ(z)=8時(shí)，有y=3,4,6且z=15,30,20,16,24.此時(shí)，(y,z)的可能取值為:(y,z)=(3,15)，(3,30)，(3,20)，(3,16)，(3,24)，(4,15)，(4,30)，(4,20)，(4,16)，(4,24)，(6,15)，(6,30)，(6,20)，(6,16)，(6,24).將以上各組數(shù)值代入方程(1)可得此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)φ(y)=4,φ(z)=4時(shí)，有y=5,8,10,12且z=5,8,10,12.此時(shí)，(y,z)的可能取值為：(y,z)=(5,5)，(5,8)，(5,10)，(5,12)，(8,5)，(8,8)，(8,10)，(8,12)，(10,5)，(10,8)，(10,10)，(10,12)，(12,5)，(12,8)，(12,10)，(12,12).同樣地，將以上各組數(shù)值代入方程(1)可得此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

綜合以上討論，當(dāng)φ(y)φ(z)=16時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

情況2.7φ(y)φ(z)=18.

此時(shí)，有φ(y)=1,φ(z)=18或φ(y)=18,φ(z)=1，從而有5(φ(y)+φ(z))=95，即φ(xyz)-5φ(x)=95，可得φ(x)的值為奇數(shù)或者無(wú)正整數(shù)解.因而，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

情況2.8當(dāng)φ(y)φ(z)≥20時(shí)，由于φ(y)，φ(z)均為正整數(shù)，所以(φ(y)-1)(φ(z)-1)≥0，即φ(y)φ(z)+1≥φ(y)+φ(z).由方程(1)有

所以，φ(x)=1，2，4，6.

情況2.8.1φ(x)=1.

此時(shí)，由方程(1)可得

于是有(φ(y)-5)(φ(z)-5)≤30.

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)<0時(shí)，若φ(y)=1,2,4，則φ(z)≥6.此時(shí)，有φ(x)=1,φ(y)=1或φ(x)=1,φ(y)=2或φ(x)=1,φ(y)=4.根據(jù)情況1關(guān)于φ(y)φ(z)<6的討論可知，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.同理，當(dāng)φ(z)=1,2,4，φ(y)≥6時(shí)，方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)≥0時(shí)，此時(shí)有(φ(y)-5)(φ(z)-5)=0,1,2,…,30.

當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)=0時(shí)，φ(y)，φ(z)至少有一個(gè)等于5，但這都不可能成立；當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)=k(k為偶數(shù))時(shí)，φ(y)-5與φ(z)-5中至少有一個(gè)為偶數(shù)，從而φ(y)，φ(z)中至少有一個(gè)為奇數(shù)，因而此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.從而只需討論當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)=1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29的情況.由于當(dāng)(φ(y)-5)(φ(z)-5)=1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29時(shí)，所有的φ(y)與φ(z)都是偶數(shù)，而φ(x)=1，所以5(φ(x)+φ(y)+ φ(z))為一個(gè)至少大于35的奇數(shù)，由引理2可得，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

情況2.8.2φ(x) =2.

此時(shí)，由方程(1)可得

于是有(φ(y)-3)(φ(z)-3)<15.

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)<0時(shí)，若φ(y)=1，則φ(z)≥4且為偶數(shù)，結(jié)合φ(x)=2有5(φ(x)+φ(y)+φ(z))為一個(gè)至少大于25的奇數(shù)，由引理2可得，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.同理，當(dāng)φ(z)=1，φ(y)≥4時(shí)，方程(1)無(wú)正整數(shù)解.若φ(y)=2，結(jié)合φ(x)=2，有x=y=3,4,6，由此可得(x,y)的所有可能值：(x,y)=(3,3)，(3,4)，(3,6)，(4,3)，(4,4)，(4,6)，(6,3)，(6,4)，(6,6).經(jīng)計(jì)算，此時(shí)方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(3,3,25)，(3,3,44)，(3,3,50)，(3,4,33)，(3,6,25)，(4,3,33)，(6,3,25).同理，當(dāng)φ(z)=2，φ(x)=2時(shí)，方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(3,25,3)，(3,44,3)，(3,50,3)，(3,33,4)，(3,25,6)，(4,33,3)，(6,25,3).

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z) -3)=0,2,4,6,8,10,12,14時(shí)，φ(y)與φ(z)中至少有一個(gè)為奇數(shù)，因而此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解，那么只需討論(φ(y)-3)(φ(z)-3)=1,3,5,7,9,11,13這7種情況.

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)=1,3,5,7,9,13時(shí)，φ(y)與φ(z)中至少有一個(gè)滿足φ(m)=4，結(jié)合φ(x)=2，只需討論φ(x)=2,φ(m)=4的情況來(lái)確定方程(1)的正整數(shù)解的情況，其中m=y或者m=z.當(dāng)φ(x)=2,φ(m)=4時(shí)，有x=3,4,6且m=5,8,10,12，因而(x,m)的所有可能取值有：(x,m)=(3,5)，(3,8)，(3,10)，(3,12)，(4,5)，(4,8)，(4,10)，(4,12)，(6,5)，(6,8)，(6,10)，(6,12)這12種情況.將以上(x,m)的值與φ(x)=2,φ(m)=4代入方程(1)可得，此時(shí)方程(1)在(φ(y)-3)(φ(z)-3)=7的情況下有正整數(shù)解(x,y,z)=(3,5,11)，(3,11,5)，(3,5,22)，(3,22,5)，(3,8,11)，(3,11,8)，(3,10,11)，(3,11,10)，(4,5,11)，(4,11,5)，(6,5,11)，(6,11,5)，而其余情況均無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)=11時(shí)，有φ(y)=14或者φ(z)=14.由于φ(m)=14無(wú)正整數(shù)解，因而此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)=1時(shí)還有φ(y)=2,φ(z)=2這一情況，結(jié)合φ(x)=2，由情況1的討論可得此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)=9時(shí)還有φ(y)=6,φ(z)=6這一情況，結(jié)合φ(x)=2，為了降低計(jì)算量，可由φ(x)=2,φ(y)=6來(lái)確定這一情形下方程(1)的正整數(shù)解，易得此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

情況2.8.3φ(x)=4.

此時(shí)，由方程(1)可得

于是有(2φ(y)-3)(2φ(z)-3)<33.

當(dāng)(2φ(y)-3)(2φ(z)-3)<0時(shí)，有φ(x)=1,φ(z)≥2或φ(y)≥2,φ(z)=1.根據(jù)情況1有關(guān)φ(y)φ(z)<5的討論可知，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)(2φ(y)-3)(2φ(z)-3)=1時(shí)，有φ(y)=1,φ(z)=1或φ(y)=2,φ(z)=2.對(duì)于這一情形，根據(jù)情況1中有關(guān)φ(y)φ(z)<5的討論，結(jié)合φ(x)=4可知，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)(2φ(y)-3)(2φ(z)-3)=2,3,4,6,7,8,10,11,12,14,15,16,18,19,20,22,23,24,26,27,28,30,31,32時(shí)，φ(y)與φ(z)中至少有一個(gè)為奇數(shù)或無(wú)正整數(shù)解，因而此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解，那么只需討論當(dāng)(2φ(y)-3)(2φ(z)-3)=5,9,13,17,21,25,29時(shí)的情況.

當(dāng)(2φ(y)-3)(2φ(z)-3)=5,9,13,17,21,29時(shí)，φ(y)與φ(z)中至少有一個(gè)滿足φ(m)=2，結(jié)合φ(x)=4，通過(guò)考慮φ(x)=4,φ(m)=2來(lái)確定方程(1)的正整數(shù)解,其中m=y或者m=z.這正好與情況2.8.2中當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)=1,3,5,7,9,11,13的情況所確定φ(x)=2,φ(m)=4相對(duì)應(yīng)，因而此時(shí)方程(1)有正整數(shù)解(x,y,z)=(5,3,11)，(5,11,3)，(5,3,22)，(5,22,3)，(8,3,11)，(8,11,3)，(10,3,11)，(10,11,3)，(5,4,11)，(5,11,4)，(5,6,11)，(5,11,6).

當(dāng)(2φ(y)-3)(2φ(z)-3)=25時(shí)，有φ(y)=2,φ(z)=14或φ(y)=14,φ(z)=2或φ(y)=4,φ(z)=4.由于方程φ(m)=14無(wú)正整數(shù)解，因而只需討論φ(y)=4,φ(z)=4的情形.經(jīng)計(jì)算，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

情況2.8.4φ(x)=6.

此時(shí)，方程(1)可化為

于是有0≤(φ(y)-1)(φ(z)-1)≤7.

當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)=0時(shí)，φ(y)與φ(z)中至少有一個(gè)為1.結(jié)合φ(x)=6可得，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)=2,4,6時(shí)，φ(y)與φ(z)中至少有一個(gè)不成立，因而此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

當(dāng)(φ(y)-1)(φ(z)-1)=1,3,5,7時(shí)，φ(y)與φ(z)中至少有一個(gè)滿足有φ(m)=2，結(jié)合φ(x)=6，只需討論φ(x)=6,φ(m)=2這一情況就可確定方程(1)的正整數(shù)解情況.此時(shí)，φ(x)=6,φ(m)=2正好與情況2.8.2中當(dāng)(φ(y)-3)(φ(z)-3)=9時(shí)確定方程(1)的正整數(shù)解所用的φ(x)=6,φ(m)=2相同，由此可得，此時(shí)方程(1)無(wú)正整數(shù)解.

對(duì)以上所有情況的討論進(jìn)行總結(jié)可得方程(1)的所有正整數(shù)解.】

[1]呂志宏.兩個(gè)數(shù)論函數(shù)及其方程[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，22(3)：303.

[2]ERD?SP．Onthenormalnumberofprimefactorsofp-1andsomerelatedproblemsconcerningEulerfunctionφ(n)[J].Quart J Math,1935,6(1):205．

[3]WOOLRIDGEK．ValuestakenmanytimesbyEulerfunctionφ(n)[J].Proc Amer Math Soc,1979,76(2):229．

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[5]孫翠芳，程智.關(guān)于方程φ(xyz)=2(φ(x)+φ(y)+φ(z))[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2012，42(23)：267.

[6]ROSENKH.Elementary Number Theory and Its Applications[M].5thed.UpperSaddleRiver,NewJersey:PearsonEducatinInc,AddisonWesley,2005.

(責(zé)任編輯馬宇鴻)

The positive integer solutions of diophantine equation φ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))

GUAN Chun-mei1,WU Xing-xing2,ZHANG Si-bao1,XI Xiao-zhong3

(1.School of Mathematics and Statistics,Kashgar University,Kashgar 844008,Xinjiang,China;2.CollegeofMathematicsandSystemScience,XinjiangUniversity,Urimqi830046,Xinjiang,China;3.InstituteofMathematicsandComputerScience,YichunCollege,Yichun336000,Jiangxi,China)

Thesolvabilityofthediophantineequationφ(xyz)=5(φ(x)+φ(y)+φ(z))isstudiedinthispaper,andallpositiveintegersolutionsoftheequationareobtainedbyusingtheelementarymethod,whereφ(n)isanEulerfunction.

Eulerfunction;diophantineequation;positiveintegersolution;elementarymethod

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.04.005

2015-01-16;修改稿收到日期:2015-06-22

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201411)

官春梅(1976—)，女，湖北竹山人，講師，碩士.主要研究方向?yàn)榛A(chǔ)數(shù)學(xué).

E-mail:1603454244@qq.com

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A

1001-988Ⅹ(2016)04-0017-05