應(yīng)變模態(tài)分析及其與位移模態(tài)的關(guān)系研究

陳　晗，宋漢文

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

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應(yīng)變模態(tài)分析及其與位移模態(tài)的關(guān)系研究

陳晗，宋漢文

（同濟(jì)大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092）

振動實(shí)驗(yàn)分析中，動態(tài)應(yīng)變信息與位移信息具有互補(bǔ)性，位移響應(yīng)大的地方應(yīng)變響應(yīng)一般較小，反之亦然?；趧討B(tài)應(yīng)變測量的應(yīng)變模態(tài)分析理論及參數(shù)辨識與基于位移（或速度、加速度）測量的位移模態(tài)分析理論同源，但二者之間的理論關(guān)系及其相互修正方法缺乏深入有效的研究。以等截面直梁為對象，首先導(dǎo)出激勵力-動態(tài)應(yīng)變響應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)表達(dá)式，討論應(yīng)變模態(tài)參數(shù)的辨識方法。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步構(gòu)建屬于同一特征值的應(yīng)變振型與位移振型之間的變換關(guān)系，并詳細(xì)分析應(yīng)變-位移變換矩陣的特性。仿真算例表明所建立變換關(guān)系的合理性與正確性。

振動與波；應(yīng)變模態(tài)分析；頻響函數(shù)；模態(tài)參數(shù)辨識

上世紀(jì)90年代初，李德葆等從原理和方法上系統(tǒng)地總結(jié)了實(shí)驗(yàn)應(yīng)變模態(tài)分析，給出了推導(dǎo)公式、應(yīng)變傳遞函數(shù)矩陣及測量方法和模態(tài)參數(shù)測量方法，并且只用應(yīng)變測量得到了位移模態(tài)［1］。接著，李德葆等通過應(yīng)變模態(tài)分析建立了振動應(yīng)變響應(yīng)預(yù)測的模態(tài)模型，使結(jié)構(gòu)的動應(yīng)力響應(yīng)計(jì)算更為準(zhǔn)確［2，3］。之后，人們大量運(yùn)用應(yīng)變模態(tài)理論做損傷識別和故障診斷，但對應(yīng)變模態(tài)理論的進(jìn)一步研究幾乎沒有。國外，Ewins等則著眼于先進(jìn)的應(yīng)變測量技術(shù)［4-7］。還有一些文獻(xiàn)雖然探討了應(yīng)變模態(tài)和位移模態(tài)的關(guān)系，但并未詳細(xì)討論應(yīng)變和位移的變換關(guān)系矩陣，也未探究應(yīng)變模態(tài)數(shù)據(jù)應(yīng)用于位移振型細(xì)化和修正的方法［8-10］。本文在前人的基礎(chǔ)上，重新構(gòu)建了應(yīng)變模態(tài)理論，建立了應(yīng)變位移的變換關(guān)系并詳細(xì)分析了應(yīng)變位移變換矩陣的特性，并提及了模態(tài)振型細(xì)化的過程。

1　基于應(yīng)變的模態(tài)分析理論的構(gòu)建

我國的模態(tài)分析技術(shù)發(fā)軔于20世紀(jì)60年代，80年代開始應(yīng)變模態(tài)的研究，現(xiàn)在在理論和實(shí)踐方面均取得一定進(jìn)展。

李德葆等在文獻(xiàn)［11］中認(rèn)為應(yīng)變模態(tài)和位移模態(tài)相互對應(yīng)，是同一個平衡狀態(tài)的兩種不同表現(xiàn)形式，給出了幾種應(yīng)變響應(yīng)模態(tài)模型的推導(dǎo)方法?；谖灰频恼駝臃匠虨?/p>

其中｛f（ t）｝是外激勵，無論是簡諧激勵、脈沖激勵還是隨機(jī)激勵，都可直接施加并可測。

因?yàn)槟B(tài)理論是一個在線性范圍內(nèi)適用的理論，所以文中假設(shè)應(yīng)變和位移有如下線性變換關(guān)系

將式（2）代入式（1），左乘［S］T，并整理得

令

可得

由位移模態(tài)理論易知

得出能用SIMO方式分析并可測的應(yīng)變頻響函數(shù)矩陣（SFRF）為

這個應(yīng)變頻響函數(shù)矩陣［Hε］不對稱，若只在j點(diǎn)激勵測i點(diǎn)響應(yīng)，則應(yīng)變頻響函數(shù)為

則［Hε］的第j列為

［Hε］的第i行為

測第i點(diǎn)激遍所有點(diǎn)即可得到這一行。這樣就可以得到位移模態(tài)振型｛?r｝。像分析位移模態(tài)一樣對這些應(yīng)變頻響函數(shù)曲線進(jìn)行模態(tài)分析便能得到相應(yīng)的模態(tài)參數(shù)（固有頻率、阻尼比等）。

但是在實(shí)際測量中，激遍所有點(diǎn)比較麻煩，所以采用加速度傳感器和應(yīng)變片對位布置的測量方法，這樣只需激勵1點(diǎn)測遍所有點(diǎn)就可以同時得到位移模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)。因此，由文獻(xiàn)［11］整理可得進(jìn)行應(yīng)變模態(tài)試驗(yàn)分析的較優(yōu)方法是：

（1）在一個選好的t點(diǎn)激振，結(jié)構(gòu)其余點(diǎn)無激勵力輸入，而在結(jié)構(gòu)的各點(diǎn)用加速度傳感器測得加速度響應(yīng)，得到加速度頻響矩陣［H］的一列，然后用成熟的位移模態(tài)參數(shù)識別方法得到 kr、mr、cr及｛?r｝；

（2）在t點(diǎn)激振后可用與加速度傳感器對位布置的應(yīng)變片同時測得結(jié)構(gòu)各點(diǎn)的應(yīng)變響應(yīng)，得到［Hε］的一列的n條應(yīng)變頻響函數(shù)曲線（ω）（i=1，2，...，n）；

（3）考慮為實(shí)模態(tài)情況，采用下式作為曲線擬合的依據(jù)

mr、νr和?tr已由位移模態(tài)分析中得到。

2　應(yīng)變和位移關(guān)系的建立

從上述應(yīng)變模態(tài)理論和應(yīng)變模態(tài)試驗(yàn)分析可知：建立具體的n測點(diǎn)應(yīng)變數(shù)據(jù)和n測點(diǎn)位移數(shù)據(jù)之間的關(guān)系是理論成立的關(guān)鍵。

已知需要建立的關(guān)系式為：［Φ］=［S］［Ψε］，［S］矩陣為滿秩常矩陣，維數(shù)為n×n，因此有n×n個未知量，n為測點(diǎn)數(shù)；［Ψε］和［Φ］矩陣可以通過上節(jié)的應(yīng)變模態(tài)試驗(yàn)分析方法求得，維數(shù)為n×m，m為模態(tài)階數(shù)。在工程實(shí)際中，模態(tài)分析一般是多測點(diǎn)、少模態(tài)，即布置成百上千的測點(diǎn)去分析結(jié)構(gòu)振動的前幾階或十幾階模態(tài)。這是因?yàn)?/p>

（1）高階模態(tài)對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的貢獻(xiàn)很小，可以忽略；

（2）如果測點(diǎn)布置不合理，在某階模態(tài)之后就會出現(xiàn)模態(tài)分析的定性錯誤，再也不能得出正確的模態(tài)振型，布置再多的測點(diǎn)也沒用。在對一個未知結(jié)構(gòu)做模態(tài)測試時，并不能提前知道如何最合理地布置測點(diǎn)，一般等間距布置或根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，這就導(dǎo)致布置n個測點(diǎn)并不能得出正確的n階模態(tài)振型。

但實(shí)際結(jié)構(gòu)往往比較復(fù)雜（復(fù)雜的連接方式、組成材料的復(fù)雜、局部自由度等），有限元建模不夠準(zhǔn)確，以致應(yīng)變和位移的關(guān)系難以準(zhǔn)確建立，導(dǎo)致具體應(yīng)用時具有局限性。所以，先討論較簡單的梁結(jié)構(gòu)模型，見圖1。

圖1　等直梁模型示意圖

設(shè)如上等截面直梁只做橫向彎曲振動，并沿梁長方向建立坐標(biāo)系，布置n+1個測點(diǎn)，根據(jù)文獻(xiàn)［7］則有

為測點(diǎn)位移列向量。式（18）可進(jìn)一步寫為

其中

B1和B2為［B］的分塊矩陣

在模態(tài)坐標(biāo)下則有

對客戶而言，這個行業(yè)沒有最好的月嫂，也沒有最貴的月嫂，只有合適的月嫂。并且，標(biāo)準(zhǔn)不能取代服務(wù)，標(biāo)準(zhǔn)的機(jī)械化可能還會影響服務(wù)效果。母嬰服務(wù)就是要形成人性化的服務(wù)，母嬰服務(wù)的核心競爭力就是人性化，要逐漸地讓母嬰服務(wù)變?yōu)閮r(jià)值性、稀缺性、不可替代性、難以模仿的服務(wù)。那在母嬰服務(wù)中如何體現(xiàn)核心競爭力呢？這就要求我們的母嬰護(hù)理師具備以下四個要素：職業(yè)忠誠度、職業(yè)適應(yīng)力、溝通能力和法律素養(yǎng)，要讓母嬰服務(wù)變成有感情的服務(wù)。

轉(zhuǎn)角的計(jì)算值取

在非測點(diǎn)處認(rèn)為

在測點(diǎn)處認(rèn)為

則有下列矩陣表達(dá)式

數(shù)值積分第二次可得

由式（26）進(jìn)一步推得

以懸臂梁為例，有約束?0r=0，ψεnr=0，θ0r=0（其它約束情況以此類推），則可得

進(jìn)一步記為

這就得出了位移、轉(zhuǎn)角和應(yīng)變模態(tài)振型之間的關(guān)系。［P1］、［P2］和［Q］都只與測點(diǎn)坐標(biāo)值有關(guān)，為常矩陣。易知，如果位移、轉(zhuǎn)角和應(yīng)變模態(tài)振型之間是相互對應(yīng)的，即滿足下面關(guān)系

圖2　懸臂梁模型示意圖

記U-1=L，則

推出：

3　算例和仿真

3.1關(guān)系矩陣［Sπ］的準(zhǔn)確性

表1　計(jì)算位移振型和理論位移振型誤差值

圖3　前4階計(jì)算位移振型和理論位移振型

（1）［Sπ］間的偏差

易知模態(tài)階數(shù)相差越大，［Sπ］間的偏差也越大，故前10階［Sπ］間的最大偏差［S10，10］與 ［ S11］的差σ=norm（［S10，10］-［S11］）隨測點(diǎn)數(shù)n的變化關(guān)系見圖4。

圖4　偏差σ變化趨勢圖

圖6　偏差變化趨勢圖

4　結(jié)語

［1］李德葆，諸葛鴻程，王波.實(shí)驗(yàn)應(yīng)變模態(tài)分析原理和方法［J］.清華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），1990（2）：105-112.

［2］李德葆.結(jié)構(gòu)動力分析的應(yīng)變模態(tài)法［J］.機(jī)械強(qiáng)度，1990（3）：56-61.

［3］李德葆，張?jiān)獫?，羅京.動態(tài)應(yīng)變/應(yīng)力場分析的模態(tài)法［J］.振動與沖擊，1992，12（4）：15-22.

［4］MILENA MARTARELLI，DAVID J EWINS.Continuous scanning laser Doppler vibrometry and speckle noise occurrence［J］.MechanicalSystemsandSignal Processing，2006，（20）:2277-2289.

［5］MAIO D DI，EWINS D J.Continuous Scan，a method for performing modal testing using meaningful measurement parameters；PartI［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011（25）:3027-3042.

［6］GIULIANI P，MAIO D DI，SCHWINGSHACKL C W，et al.Six degrees of freedom measurement with continuous scanninglaserdopplervibrometer［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2013（38）:367-383.

［7］ANTHONY B STANBRIDGE，MILENA MARTARELLI，DAVID J EWINS.Measuring strain response mode shapes with a continuous-scan LDV［EB/OL］.http://proceedings. spiedigitallibrary.org/on 02/23/2014 Terms of Use:http:// spiedl.org/terms.

［8］YAM L Y，LEUNG T P，LI D B，et al.Theoretical and experimental study of modal strain analysis［J］.Journal of Sound and Vibration，1996，191（2）:251-260.

［9］魏少東，何小斌.自由梁的位移、應(yīng)變和聲模態(tài)分析［A］.現(xiàn)代振動與噪聲技術(shù)（9卷）［C］.2011：296-299.

［10］KRANJC T，SLAVIC J，MBOLTE ZAR.A comparison of strain and classic experimental modal analysis［J］.Journal ofVibrationandControl，2014，DOI:10.1177/ 1077546314533137.

［11］李德葆，陸秋海.實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析及其應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2001.

［12］F′ABIO LUIS MARQUES DOS SANTOS，BART PEETERS，HERMAN VAN DER AUWERAER，et al. Strain-based experimental modal analysis:use of mode curvature and strain-to-displacement relations［EB/OL］. 2015-3-10.http://www.researchgate.net/publication/ 278963104.

Analysis of Strain Modals and the Relationship between the Strain Modals and Displacement Modals

CHENHan，SONG Han-wen

（School ofAerospace Engineering andApplied Mechanics，Tongji University，Shanghai 200092，China）

In the vibration test analysis，there is a mutual complementarity between dynamic strain data and dynamic displacement data，i.e.strong displacement response usually corresponds to weak strain response and vice versa.Strain modal analysis theory and parameter identification based on the measurement of dynamic strain are considered to be homologous with displacement modal analysis theory based on the measurement of displacement（or velocity，or acceleration），but the relationship and mutual modification of them are lack of further study.In this paper，taking a cantilever beam model as an example，the expression of the dynamic strain frequency response function to the exciting force is derived and the strain modal parameter identification method is discussed.On this basis，the transformation relation between the displacement modal and the strain modal with the same eigenvalue is established，and the characteristics of straindisplacement transformation matrix are deeply analyzed.The numerical simulation and example show the rationality and correctness of the transformation relation.

vibration and wave；strain modal analysis；frequency response function；modal parameter identification

O32

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.002

1006-1355（2016）04-0007-07

2016-01-29

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11272235）

陳晗（1991-），男，湖南省人，碩士生，主要研究方向?yàn)槟B(tài)分析。

宋漢文，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:hwsong@#edu.cn