狹義相對論洛倫茲變換的推導(dǎo)及其他

張元仲

(中國科學(xué)院理論物理研究所，北京　100190)

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特約稿件

狹義相對論洛倫茲變換的推導(dǎo)及其他

張元仲

(中國科學(xué)院理論物理研究所，北京100190)

本文運(yùn)用單向光速各向同性的假設(shè)推導(dǎo)出通常熟悉的兩個特定慣性系之間的最簡單的洛倫茲坐標(biāo)變換，并說明引入光速不變原理假定的唯一目的就是為了使得慣性系中任意地點(diǎn)的時鐘互相對準(zhǔn)(同步)，也就是為了定義慣性系的時間坐標(biāo).在推導(dǎo)出通常熟知的洛倫茲變換后也給出了更一般的洛倫茲變換.此外，作為狹義相對論的檢驗理論介紹了相應(yīng)于單向光速可變的愛德瓦茲變換、羅伯遜變換以及M-S變換，進(jìn)而闡明了這些變換同洛倫茲變換之間的關(guān)系.總結(jié)起來說，洛倫茲變換和羅伯遜變換在物理上是非平庸的變換，而愛德瓦茲變換和M-S變換在物理上分別與洛倫茲變換和羅伯遜變換等價因而是平庸的.特別是，M-S變換是多余的和不必要的.

洛倫茲坐標(biāo)變換；更一般的洛倫茲變換；愛德瓦茲變換；羅伯遜變換；M-S變換

1　洛倫茲變換

在狹義相對論中通常熟悉的洛倫茲變換是

(1)

這是任意兩個慣性系k(x,y,z,t)與k′(x′,y′,z′,t′)之間的坐標(biāo)變換，這兩個慣性系具有如下特殊的設(shè)計(如圖1所示)：k′系相對于k系沿x軸的正方向以不變速度v運(yùn)動，在t=0的初始時刻k系和k′系相互重合(即x,y,z軸分別與x′,y′,z′軸互相重合)；所以，x′軸的原點(diǎn)即x′=0在k系看來其運(yùn)動軌跡是

(2)

圖1　相對作勻速直線運(yùn)動的兩個參照系k和k′

2　慣性系的定義與慣性定律

慣性系是由慣性定律定義的：慣性系是慣性定律在其中成立的參考系.慣性定律是說不受力的質(zhì)點(diǎn)要么相對靜止要么相對勻速直線運(yùn)動.

仔細(xì)分析會發(fā)現(xiàn)慣性定律的表述以及慣性系的定義存在不清楚之處或者說存在邏輯循環(huán)：例如什么叫“不受力”？什么叫“勻速”？什么叫“直線”？慣性系由慣性定律定義，可是上述慣性定律的表述只有在慣性系中才有效；也就是說先要有慣性系的定義然后才能有上述關(guān)于慣性定律的表述,但是慣性系又要由慣性定律定義，這就成了邏輯循環(huán).解決這種邏輯循環(huán)的辦法就是假定存在理想的真空；在其中的任何區(qū)域和任何時刻都沒有物質(zhì)因而沒有相互作用力；質(zhì)點(diǎn)(其尺度和質(zhì)量可以忽略不計)在其中都在作慣性運(yùn)動，質(zhì)點(diǎn)之間都以不變的相對速度作直線運(yùn)動.以這些質(zhì)點(diǎn)建立起來的參考系系就是慣性系.

3　任意兩個慣性系之間的坐標(biāo)變換

為了使慣性定律的表述一致，任意兩個慣性系之間的坐標(biāo)變換取線性變換的形式，即

(3)

利用初始條件式(2)，即代入x′=0后應(yīng)當(dāng)?shù)玫絰=vt，因此方程(3)變成

(4)

下面需要利用光速不變原理確定式(4)中的3個參數(shù)α,β,γ.

4　光速不變原理與洛倫茲變換

狹義相對論的第二個基本假設(shè)(即光速不變原理)是說：光在真空中總是以不變速度c傳播且與光源的運(yùn)動無關(guān)；用慣性系中的時空坐標(biāo)表示這個(單向)光速的不變性為

(5)

其中，r2=x2+y2+z2是k系中的任意位置P與坐標(biāo)原點(diǎn)之間距離(參見圖2)的平方，所以單向光速的不變性在k系中表示成

x2+y2+z2-c2t2=0

(6)

圖2　為了簡單這里略掉了z軸；空間任意位置P與k系原點(diǎn)O之間的距離是r，光速是c，所以光信號從原點(diǎn)O傳播到位置P所用的時間是t=r/c

同樣，光速不變原理在k′系表達(dá)為

(7)

方程(6)和(7)就是光速不變原理的坐標(biāo)表達(dá)式，即在任何慣性系觀測到的真空光速在任何方向都以不變速度c傳播且與光源運(yùn)動無關(guān).

式(6)和式(7)是球面方程，即在初始時刻從坐標(biāo)原點(diǎn)向四面八方發(fā)出的光信號其軌跡是個球面(后見圖3，在略去z軸或在z=0的x-y平面內(nèi)是實線圓，虛線是非各向同性速度的光信號運(yùn)動的軌跡，它偏離圓).

現(xiàn)在使用單向光速不變的表達(dá)式(6)和(7)確定線性變換式(4)中的3個參數(shù).將坐標(biāo)變換式(4)代入式(7)后得到

(8)

再代入式(6) 即y2+z2=c2t2-x2后，式(8)變成

(9)

左邊的坐標(biāo)x和t是在任意方向r傳播的光線的時空坐標(biāo)，而x只是r在x軸的投影，所以x和t之間沒有固定的函數(shù)關(guān)系，因此方程(9)的左邊各項必須分別為零，這就要求x和t各項的系數(shù)為零，即得到方程組[1]：

(10)

解方程組(10)得到

(11)

(12)

代入式(11)和式(12)后，式(4)成為

(13)

其中的正負(fù)號很容易確定：v=0時兩個慣性系必須成為同一個慣性系，即應(yīng)當(dāng)有x′=x,y′=y,z′=z,t′=t，也即式(13)右邊應(yīng)當(dāng)取正號，這就是通常熟悉的洛倫茲坐標(biāo)變換式(1)：

(14)

上面的推導(dǎo)使用了單向光速在任意方向傳播的表達(dá)式(6)和式(7)，也就是說洛倫茲變換式(14)把k′系中的光信號運(yùn)動方程(7)變成了光信號在k系中的運(yùn)動方程(6).

5　光速不變原理與同時性定義

慣性系中任意空間點(diǎn)P(x,y,z)的空間位置由該點(diǎn)到3個直角坐標(biāo)軸的投影x,y,z表達(dá)，該點(diǎn)的時間由放置在該點(diǎn)的一只標(biāo)準(zhǔn)時鐘給出，但是放置在任意點(diǎn)P(x,y,z)的時鐘必須同放置在坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0,0)的標(biāo)準(zhǔn)時鐘對準(zhǔn)(或說同步，這種同步就是同時性的定義).上面在推導(dǎo)洛倫茲變換中使用的單向光速不變性公式(6)就是將慣性系中任意位置P(x,y,z)的時鐘與原點(diǎn)的時鐘對準(zhǔn)了；為了明確地顯示出來，將式(6)和式(7)重新寫成

(15)

類似地有

(16)

式(15)是說，在坐標(biāo)原點(diǎn)的時鐘指示的零時刻從原點(diǎn)發(fā)射的光信號到達(dá)位置P(x,y,z)時將這個位置的時鐘指針調(diào)到t=r/c；類似地在帶撇的慣性系中任意位置P′(x′,y′,z′)的時鐘調(diào)節(jié)成t′=r′/c.因此使用了單向公式不變性的式(6)和式(7)就是用單向光速不變性對準(zhǔn)了慣性系中所有位置的時鐘，也就是定義了時間坐標(biāo)t和t′.所以，如果詢問“為何要假定光速不變原理”，那么答案只有一個，就是為了對準(zhǔn)各地的時鐘，也就是為了定義慣性系的時間坐標(biāo)[2].

6　更一般的洛倫茲變換的推導(dǎo)

洛倫茲變換式(1)或式(14)所對應(yīng)的兩個慣性直角坐標(biāo)系的取向和相對速度是圖1所示的特殊情況：初始時刻兩慣性系重合，并且?guī)蚕狄圆蛔兯俣葀沿x軸的正方向運(yùn)動.

(17)

其中，r∥和r⊥分別是r在平行于和垂直于速度方 向(即的方向)上的投影分量，即分別定義為

(18)

(19)

考慮到式(19)，可以把式(14)寫成三維空間矢量的形式

(20)

類似地

(21)

利用式(17)和式(21)，這更一般的洛倫茲變換是

(22)

另外，不含時空反演和時空平移的最一般的情況是初始時刻兩慣性系只有原點(diǎn)重合而3個直角坐標(biāo)軸不重合，即3個直角坐標(biāo)軸之間存在三維空間的轉(zhuǎn)動，那么這種情況的洛倫茲變換就是用三維空間的轉(zhuǎn)動算符去乘式(22)(可參考文獻(xiàn)[2]).

7　閉合回路(雙程)光速不變而單向光速可變與同時性定義

愛德瓦茲坐標(biāo)變換[2,3]： 保留狹義相對論的相對性原理假設(shè)，同時把單向光速不變原理修改成雙程光速不變原理，即在真空中雙程光速(而非單向光速)是個不變的常數(shù)c且與光源運(yùn)動無關(guān).滿足這個雙程光速不變而單向光速可變的單向光速的表達(dá)式是：

(23)

和

(24)

(25)

式(23)和式(24)中,c+x(c+x′)和c-x(c-x′)分別是光信號沿正、負(fù)x(x′)軸的單向真空光速(注意，在垂直于x(x′) 軸方向上單向光速等于c).為了分析問題簡單，我們假設(shè)可變的單向光速方向性參數(shù)q和q′的方向平行于x軸和x′軸.方程(23)和(24)滿足沿x和x′軸往返的雙程光不變的要求，由式(23)有

(26)

使用可變光速式(23)來對鐘(即定義時間坐標(biāo)tq)有

(27)

這樣定義的坐標(biāo)時間tq式(27)與前面用單向光速不變性定義的坐標(biāo)時間t式(15)之間的差別是

或?qū)懗?/p>

(28)

類似地，對于x′系用式(24)對鐘定義時間坐標(biāo)是

(29)

或?qū)懗?/p>

(30)

(31)

同樣有

(32)

至此，愛德瓦茲變換無需單獨(dú)推導(dǎo)，只需把愛德瓦茲同時性定義與愛因斯坦同時性定義之間的關(guān)系式(28)和式(30)以及式(31)代入洛倫茲變換式(14)，即把愛因斯坦時間坐標(biāo)t換成愛德瓦茲時間坐標(biāo)tq同時把愛因斯坦速度v變成愛德瓦茲速度vq，就得到愛德瓦茲變換

(33)

取q=q′=0，則vq=v，那么式(33)就變成通常的洛倫茲變換式(14)，即洛倫茲變換只是愛德瓦茲變換的特殊形式；或者說q(q′)的無窮多種取值代表無窮多種同時性定義，愛因斯坦同時性定義只是其中最簡單的一種.這無窮多種同時性在物理上是互相等價的，即至今的任何物理實驗都不可能測出q(q′)的非零數(shù)值；也就是說實驗不能測量出單向光速而只能測量出雙程(回路)光速[2].

8　雙程光速可變的坐標(biāo)變換——羅伯遜變換[5]

羅伯遜變換的原始形式是

(34)

其中，a0,a1,a2是v2的函數(shù)， (XYZT) 是愛因斯坦定義的慣性系，即在其中單向光速不變.

式(34)中的參數(shù)難以看出其物理含義，為此改換成另外一組具有明顯物理含義的新參數(shù)[3,4]為

(35)

代入式(34)后得到

(36)

為了顯示新參數(shù)的物理含義，下面計算光速的表達(dá)式：在XYZT系單向光速等于常數(shù)c即光速的運(yùn)動方程由式(6)給出,即

c2T2-X2-Y2-Z2=0

(37)

將式(36)代入式(37)得到

(38)

其中用到定義：

(39)

由式(38)解出光線在XYZT系沿任意方向r的速度

(40)

在式(40)中與角度有關(guān)的(亦即與方向有關(guān)的)項是cos2α，這表明：(1)不同方向的光速不同；(2)在任何給定方向r上正反方向光速相等(也就是說單程光速等于雙程光速)，而且由式(39)可知α是r的方向與x軸正方向的夾角，所以α=0,180°是x軸的正反方向；而α=90°,270°是垂直x軸的正反方向，相應(yīng)的光速是

(41)

式(41)顯示參數(shù)c∥和c⊥分別代表平行于和垂直于x軸方向上的光速.而參數(shù)d只是個共形參數(shù).這表明，新的參數(shù)c∥,c⊥,d具有明顯的物理含義.以這種速度傳播的光信號其軌跡是

(42)

因cr隨方向而改變，所以式(42)是偏離球面的方程(參見圖3中的虛線，在x -y平面偏離了實線圓).

圖3　實線是光速各向同性的光信號的軌跡；虛線是光速非各向同性的光信號的軌跡(假定了c∥=c>c⊥)

9　更一般的坐標(biāo)變換(M -S變換)[6]

洛倫茲變換滿足單向光速不變性(當(dāng)然雙程光速不變性也一定成立)；愛德瓦茲變換滿足雙程光速不變性而單向光速可變；羅伯遜變換包含雙程光速的可變性而在雙程路徑中往返的單程光速相等(當(dāng)然單程光速也就等于雙程光速).下面給出的M-S(Mansouri-Sexl)變換則滿足雙程光速和單向光速均為可變的，即

(43)

式(43)中使用的新參數(shù)c∥,c⊥,d與原始參數(shù)ε=(εx,εy,εz),a,b的關(guān)系是

(44)

其中，q=(qx,qy,qz)代表單向光速可變的方向性參數(shù)，在這個參數(shù)為零時M-S變換式(43)變成羅伯遜變換式(36).

10　4種坐標(biāo)變換之間的關(guān)系[4]

4種坐標(biāo)變換不同之處只在于時間坐標(biāo)的定義不同；而時間坐標(biāo)都是用光信號的速度值定義的，所以它們各自相應(yīng)的光速假定不同：(1)洛倫茲變換相應(yīng)的光速(單程光速和雙程光速)在任何方向都是常數(shù)c；(2)愛德瓦茲變換所相應(yīng)的光速是雙程光速在任何方向都是常數(shù)c，而雙程之中往和反的單程光速不同；(3)羅伯遜變換所相應(yīng)的光速是雙程光速的數(shù)值與方向有關(guān)而任何方向上的往和反光速相等，更具體地說就是平行于兩慣性系相對速度的方向上的雙程光速c∥與垂直方向的雙程光速c⊥不相等，但是往和反的單向光速相等，例如沿x軸的正和反方向的單向光速都等于c∥，類似地沿y軸和z軸的正和反方向的單向光速都等于c⊥；(4)M-S變換相應(yīng)的光速是雙程光速和單程光速都與方向有關(guān)，雙程光速隨方向的變化情況與羅伯遜變換相應(yīng)的雙程光速相同，但是往和反的單向光速不相等，例如沿x軸的正和反方向的單向光速互相不相等而且也都不等于c∥而與方向性參數(shù)q有關(guān)，所以q=0的M-S變換就成為羅伯遜變換.

這4種變換之間的關(guān)系用圖4表示.

圖4　關(guān)系圖[4]

單向光速的測量需要事先對準(zhǔn)各地的時鐘，而對準(zhǔn)時鐘又需要事先知道單向光速的數(shù)值，所以在自然界不存在絕對的對鐘手段而只能使用光信號對鐘的今天，單向光速是不能用實驗測量的，即方向性參數(shù)q的數(shù)值不能由實驗給出.因此，在物理上愛德瓦茲變換與洛倫茲變換等價；M-S變換與羅伯遜變換等價.這就是說，洛倫茲變換和羅伯遜變換都可以用物理實驗來檢驗因而是非平庸的變換，而愛德瓦茲變換和M-S變換中的方向性參數(shù)不能用物理實驗給出因而這兩個變換分別與前兩個在物理上等價，所以它們是平庸的變換.既然已經(jīng)知道了愛德瓦茲變換與洛倫茲變換的關(guān)系，那么M-S變換與羅伯遜變換的關(guān)系完全類似，因而M-S變換不但平庸而且多余.

至今的物理實驗證明了真空雙程光速的不變性(即沒有觀察到c∥和c⊥的差別)，所以實驗證明的只是洛倫茲變換.

[1]柏格曼.《相對論引論》[M].北京：人民教育出版社，1961.

[2]張元仲.狹義相對論實驗基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，1979，1983，1994.

[3]ZhangYZ.Specialrelativityanditsexperimentalfoundations[M].Singapore:WorldScientificPublishingCoPteLtd, 1998.

[4]張元仲.愛因斯坦建立狹義相對論的關(guān)鍵一步——同時性定義”[J].物理與工程,2015,25(4): 3-8.

[5]EdwardsWF,Specialrelativityinanisotropicspace[J].AmericanJournalofPhysics, 1963, (31): 482-489.

[6]ZhangYZ,Testtheoriesofspecialrelativity[J].GeneralRelativity&Gravition, 1995, 27(5): 475-493.

[7]RobertsonHP.Postulateversusobservationinthespecialtheoryofrelativity[J].ReviewofModernPhysics, 1949, 21(2): 378-382.

[8]MansouriR,SexlRU.Atesttheoryofspecialrelativity: Ⅰ.Simultaneityandclocksynchronization[J].GeneralRelativity&Gravition, 1977, 8(7): 497-513.

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THE DERIVATION OF LORENTZ TRANSFORMATION IN SPECIAL RELATIVITY AND OTHERS

Zhang Yuanzhong

(Institute of Theoretical Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190)

In this paper the assumption for the constancy of the one-way speed of light is used to derive the usually familiar Lorentz coordinate transformations with two specific inertial frames, and at the same time shows that the assumption of light speed invariance principle is just to make all clocks anywhere synchronization, in other words to define the time coordinates in all inertial frames. And then more general Lorentz transformations are also given. In addition, as some test theories of special relativity we introduce Edwards’ transformation with variable one-way speed of light, Robertson transformation and M-S transformation, and clarify the relationship between these transforms and the Lorentz transformation. In short, Lorentz and Robertson transformations are physically untrival, and Edwards and M-S transformations are physically equivalent to Lorentz and Robertson transformations, respectively. In particular, the M-S transformation is redundant and unnecessary.

Lorentz coordinate transformations； more general Lorentz transformations； Edwards’ transformation; Robertson transformation; M-S transformation

2016-04-18

本工作受到國家自然科學(xué)基金資助(項目編號91436107).

張元仲，男，教授，主要從事狹義和廣義相對論領(lǐng)域理論與實驗研究，研究方向是相對論、引力理論和宇宙學(xué).zyz@itp.ac.cn

引文格式: 張元仲. 狹義相對論洛倫茲變換的推導(dǎo)及其他[J]. 物理與工程，2016，26(3)：3-8.