淺議逆用函數(shù)求導(dǎo)公式解題
2016-08-26 15:44:45韓永權(quán)
中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究 2015年21期
韓永權(quán)
摘要：在使用數(shù)學(xué)公式解題時，我們可以正用公式、逆用公式、變形使用公式。如兩角和與差的三角公式逆用，引出了輔助角公式；線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)，常見的有截距、距離、斜率公式的逆用；求定積分的運(yùn)算就是求導(dǎo)公式的逆用尋找原函數(shù)；利用求導(dǎo)的方法可以解決函數(shù)的許多性質(zhì)，如果能熟練逆用求導(dǎo)公式，就可以起到事半功倍的效果。
關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)公式逆用；利用公式解題；熟練逆用公式
中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2015）11-0093
本文通過對求導(dǎo)數(shù)公式的逆用、構(gòu)造新函數(shù)，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來解決問題，希望對大家有所幫助，不妥之處請同行批評指正。
一、常見的函數(shù)求導(dǎo)公式
1. 兩個函數(shù)和差的導(dǎo)數(shù)公式[f（x）±g（x）]′=f′（x）±g′（x） 2. 兩個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù)公式[f（x）·g（x）]′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x） 3. 兩個函數(shù)商的導(dǎo)數(shù)公式[ ]′=
二、對靈活求導(dǎo)公式的舉例
類型一：差導(dǎo)數(shù)公式逆用
例1. 設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）>g′（x），則當(dāng)a A. f（x）>g（x） B. f（x） C. f（x）+g（a）> g（x）+f（a） C. f（x）+g（b）> g（x）+f（b） 解：構(gòu)造F（x）=f（x）-g（x），則F′（x）=f′（x）-g′（x）>0，∴F（x）為增函數(shù)， ∴F（a） 即f（a）-g（a） 類型二：積的導(dǎo)數(shù)公式逆用 例2. 設(shè)f（x），g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f′（x）g（x）+f（x）-g′（x）>0.且g（1）=0.則不等式f（x）g（x）<0的解集是 。 解：構(gòu)造F（x）=f（x）g（x），則F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）>0，∴當(dāng)x<0時，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，又F（x）為奇函數(shù)，由g（1）=0，得F（1）-F（-1）=0，結(jié)合F（x）的圖象可得F（x）<0的解集為（-∞，-1）∪（0，1） 例3. 設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有f（x）+xf′（x） A. （-∞，-2012） B. （-2012，-0） C. （-∞，-2016） D. （-2016，0） 解：構(gòu)造F（x）=xf（x），由f（x）+xf′（x） 例4. 設(shè)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足f（x）+xf′（x）>0.則不等式f（ ）> f（ ）的解集為 。 解：構(gòu)造h（x）=xf（x），因為f（x）+xf′（x）>0，h′（x）=[xf′（x）]>0，h（x）在定義域上遞增函數(shù)，所以 f（ ）> f（ ），∵x≥1，∴ > ，x<0，解集為[1，2） 例5.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且有2f（x）+xf′（x）>x2，則不等式（x+2014）2f（x+2014）-4f（-2）>0的解集為（ ） A. （-∞，-2012） B. （-2012，0） C. （-∞，-2016） D. （-2016，0） 解：構(gòu)造F（x）=x2f（x），由2f（x）+xf′（x）>x2，x<0，得2xf（x）+x2f′（x） 類型三：商的導(dǎo)數(shù)公式逆用：當(dāng)出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)差的形式時，可以考慮商的求導(dǎo)公式 例6.已知f（x）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0， 當(dāng)x>0時，有 >0成立，則不等式f（x）>0的解集是（ ） A. （-1，0）∪（1，+∞） B. （-1，0） C. （1，+∞） D. （-∞，-1）∪（1，+∞） 解：構(gòu)造F（x）= 由當(dāng)x>0時，有 >0成立，知函數(shù)F（x）= 的導(dǎo)函數(shù)F′（x）= >0在（0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)F（x）= 在（0，+∞）上是增函數(shù)，又因為函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以函數(shù)F（x）= 是定義域上的偶函數(shù)，且由f（1）=0得F（-1）=F（1）=0，由此，由F（x）= 的圖象，可知不等式f（x）>0的解集是（-1，0）∪（1，+∞）。故選A。 例7. 函數(shù)f（x）是R上的可導(dǎo)函數(shù)，x≠0時，f′（x）+ >0，則函數(shù)g（x）=f（x）+ 的零點個數(shù)為（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），F(xiàn)′（x）=f′（x）x+f（x），由f′（x）+ >0得， >0，當(dāng)x>0時，F(xiàn)′（x）>0，F(xiàn)（x）為增函數(shù)，當(dāng)x<0時，F(xiàn)′（x）<0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)，由F（0）=0，得F（x）≥0時，g（x）=f（x）+ = = 無零點
例8. 設(shè)函數(shù)F（x）= 是定義在R上的函數(shù)，其中f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），滿足f′（x） A. f（2） C. f（2）>e2f（0），f（2012）>e2012f（0） D. f（2） 解：構(gòu)造F（x）= ，由f′（x） 例9. 設(shè)函數(shù)f（x）是定義在（-∞，0）上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），f′（x）>f（x），且f（3）=1，解不等式f（x）>ex-3 解：構(gòu)造g（x）= ，則g′（x）= ，因為f′（x）>f（x），所以g′（x）>0；即函數(shù)g（x）在R上為增函數(shù)，g（x）>g（3），∴不等式f（x）>ex-3的解集為{x|x>3}。 例10. 若定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且滿足f′（x）>f（x），則f（2011）>f（2009）e2與的大小關(guān)系為（ ） A. f（2011） C. f（2011）>f（2009）e2 D.不能確定 解：構(gòu)造g（x）= ，則g′（x）= ，因為f′（x）>f（x），所以g′（x）>0；即函數(shù)g（x）在R上為增函數(shù)，則 > ，即f（2011）>f（2009）e2.故選C。 例11. 若不等式定義在0， 上的函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)是f′（x），且恒有f（x） A. f > f B. f < f C. f >f D. f 解：構(gòu)造F（x）= ，x∈0， 時，cosx>0，由f（x） 例12. 已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x<0時，f（x）滿足2f（x）+xf′（x） A. 1 B. 3 C. 5 D. 1或3 解：構(gòu)造F（x）= 由2f（x）+xf′（x） 例13. f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（-1）=0，當(dāng)x>0時，（x2+1）f′（x）-2xf（x）<0，則不等式f（x）>0的解集（ ） 解：構(gòu)造F（x）= ，由F′（x）= <0，F(xiàn)（x）為減函數(shù)，F(xiàn)（x）為奇函數(shù)，f（-1）=0，∴F（-1）=0結(jié)合F（x）的圖象可得不等式f（x）>0的解集為（-∞，-1）∪（0，1） 例14. 設(shè)函數(shù)f（x）滿足x2f′（x）+2xf（x）= ，f（2）= ，則x>0時，f（x）（ ） A. 有極大值，無極小值 B. 有極小值，無極大值 C. 既有極大值又有極小值 D. 既無極大值也無極小值 解：構(gòu)造函數(shù)F（x）=x2f（x），則F′（x）=x2f′（x）+2xf（x）= ，F(xiàn)（2）=4f（2）= 由x2f′（x）+2xf（x）= ，得f（x）= ，∴f′（x）= 。令？漬（x）=ex-2F（x），則？漬′（x）=ex-2F′（x）=ex- = ?！啵繚n（x）在（0，2）（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，∴φ（x）的最小值為φ（2）=ex-2F（2）=0，φ（x）≥0，又x≥0，∴f′（x）≥0。∴f（x）f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增。∴f（x）既無極大值也無極小值。故選D. 類型四：構(gòu)造組合函數(shù)形式 例15. 定義在上R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），滿足f（-x）+f（x）=x2，當(dāng)x<0時，f′（x） 解：構(gòu)造g（x）=f（x）- x2，g（x）+g（-x）=0，由g（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，g′（x）=f′（x）-x<0，g（x）為減函數(shù)，f（x）+ ≥f（1-x）+x，可得f（x）- x2≥f（1-x）- （1-x）2，即g（x）≥g（1-x） ∴x≤1-x，即x≤ 例16. 定義在上R上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），滿足f（-x）+f（x）=x2，當(dāng)x>0時，f′（x）>x，若f（2-a）-f（a）≥2-2a，則實數(shù)的取值范圍是 。 解：構(gòu)造g（x）=f（x）- x2，g（x）+g（-x）=0，g（x）為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，g′（x）=f′（x）-x>0，g（x）為增函數(shù)，f（2-a）-f（a）≥2-2a，可得f（2-a）- （2-a）2≥f（a）- a2，即g（x）≥g（1-x） ∴g（2-a）≥g（a），2-a≥a，即a≤1 以上列舉了逆用求導(dǎo)公式解不等式的五種類型，在平時的數(shù)學(xué)試題編擬時，也經(jīng)常用到逆用公式這種方法，只有我們經(jīng)常訓(xùn)練自己的逆向思維能力，才能增強(qiáng)解題能力。
