對一道解幾與數(shù)列交匯試題的探究

安徽省寧國中學(xué)　(242300)

陳曉明

?

對一道解幾與數(shù)列交匯試題的探究

安徽省寧國中學(xué)(242300)

陳曉明

圖1

(1)求直線l的方程；

(2)若a1=0，求圓C1的方程；

(3)若a1=0，求數(shù)列{an}的通項公式．

圖2

(1)證明：{rn}為等比數(shù)列；

變式題再現(xiàn)(“江淮十校”2016屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理科壓軸題)(以下簡稱試題3)：

如圖3,在xOy平面上有一系列點P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…對每個正整數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y=x2(x≥0)的圖像上，以點Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此外切.若x1=1，且xn+1

圖3

試題對比試題2與1，3的區(qū)別主要是圓心：

(2)離原點越來越遠(yuǎn)(試題1，2)變到離原點越來越近(試題3)．

試題1解法探究

解法1反思：(1)通性通法，樸素自然，由三個條件得三個結(jié)論，聯(lián)立得解，一目了然；(2)考查了直線與圓，圓與圓相切的性質(zhì)，點到直線的距離公式，線性規(guī)劃，由數(shù)列遞推公式求通項公式的方法；(3)考查了消元的思想，轉(zhuǎn)化與化歸的能力．

解法2反思：(1)運用了角平分線定理的逆定理對條件進(jìn)行了轉(zhuǎn)化，化復(fù)雜為簡單，巧妙！與解法1可謂異曲同工；(2)靈活運用直線斜率與傾斜角的關(guān)系，從而引入直線的點斜式方程，滲透了方程思想；(3)由數(shù)列的遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列來求通項公式，抓住了問題本質(zhì)．

解法3：如圖1，過點Cn向Cn+1An+1作垂線CnDn+1，垂足為Dn+1．易知∠Cn+1CnDn+1=30°．

解法4反思：巧妙避開了累加法，充分利用解三角形知識，簡單易行！

解法小結(jié)及啟示通過上述解法可看出，試題1對解幾與數(shù)列中的諸多知識點都有考查，覆蓋面可謂“超廣”！是一個解幾與數(shù)列交匯的典范！

正如著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說：“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域”．[2]

陶哲軒在《解題· 成長·快樂》序言中引用古希臘哲學(xué)家普羅克洛斯的話：“這，就是數(shù)學(xué)：她提醒你靈魂有不可見的形態(tài)；她賦予自己的發(fā)現(xiàn)以生命；她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知……”[3]．

[1]陳曉明．對一道數(shù)列題的追根溯源及拓展研究[J]．理科考試研究，2015(5)：19.

[2]于世章．挖掘課本習(xí)題價值上好復(fù)習(xí)課[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報，2014(12)：36.

[3]張曉東．說題與數(shù)學(xué)青年教師的專業(yè)成長[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015(3)：67.