安徽省寧國中學(xué) (242300)
陳曉明
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對一道解幾與數(shù)列交匯試題的探究
安徽省寧國中學(xué)(242300)
陳曉明
圖1
(1)求直線l的方程;
(2)若a1=0,求圓C1的方程;
(3)若a1=0,求數(shù)列{an}的通項公式.
圖2
(1)證明:{rn}為等比數(shù)列;
變式題再現(xiàn)(“江淮十校”2016屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理科壓軸題)(以下簡稱試題3):
如圖3,在xOy平面上有一系列點P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),…對每個正整數(shù)n,點Pn位于函數(shù)y=x2(x≥0)的圖像上,以點Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切,且圓Pn與圓Pn+1又彼此外切.若x1=1,且xn+1 圖3 試題對比試題2與1,3的區(qū)別主要是圓心: (2)離原點越來越遠(yuǎn)(試題1,2)變到離原點越來越近(試題3). 試題1解法探究 解法1反思:(1)通性通法,樸素自然,由三個條件得三個結(jié)論,聯(lián)立得解,一目了然;(2)考查了直線與圓,圓與圓相切的性質(zhì),點到直線的距離公式,線性規(guī)劃,由數(shù)列遞推公式求通項公式的方法;(3)考查了消元的思想,轉(zhuǎn)化與化歸的能力. 解法2反思:(1)運用了角平分線定理的逆定理對條件進(jìn)行了轉(zhuǎn)化,化復(fù)雜為簡單,巧妙!與解法1可謂異曲同工;(2)靈活運用直線斜率與傾斜角的關(guān)系,從而引入直線的點斜式方程,滲透了方程思想;(3)由數(shù)列的遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列來求通項公式,抓住了問題本質(zhì). 解法3:如圖1,過點Cn向Cn+1An+1作垂線CnDn+1,垂足為Dn+1.易知∠Cn+1CnDn+1=30°. 解法4反思:巧妙避開了累加法,充分利用解三角形知識,簡單易行! 解法小結(jié)及啟示通過上述解法可看出,試題1對解幾與數(shù)列中的諸多知識點都有考查,覆蓋面可謂“超廣”!是一個解幾與數(shù)列交匯的典范! 正如著名數(shù)學(xué)教育家波利亞所說:“一個專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的老師能夠拿出一個有意義的但又不太復(fù)雜的題目,去幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面,使得通過這道題,就像通過一道門戶,把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域”.[2] 陶哲軒在《解題· 成長·快樂》序言中引用古希臘哲學(xué)家普羅克洛斯的話:“這,就是數(shù)學(xué):她提醒你靈魂有不可見的形態(tài);她賦予自己的發(fā)現(xiàn)以生命;她滌盡我們有生以來的蒙昧與無知……”[3]. [1]陳曉明.對一道數(shù)列題的追根溯源及拓展研究[J].理科考試研究,2015(5):19. [2]于世章.挖掘課本習(xí)題價值上好復(fù)習(xí)課[J].?dāng)?shù)學(xué)通報,2014(12):36. [3]張曉東.說題與數(shù)學(xué)青年教師的專業(yè)成長[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2015(3):67.