暴露思維過(guò)程案例分析
——例談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

江蘇省響水中學(xué)　(224600)

魏立國(guó)

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暴露思維過(guò)程案例分析
——例談數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

江蘇省響水中學(xué)(224600)

魏立國(guó)

數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用廣泛,可以說(shuō)從代數(shù)到幾何，從組合到數(shù)論，都能找到它的影子.如果使用恰當(dāng)，往往能使陳題新解，難題巧解.本文試圖通過(guò)暴露思維過(guò)程案例分析，和同行分享數(shù)學(xué)歸納法的妙用.

一、正確理解假設(shè)“n=k ”成立的含義，尋找通向“pk+1 ”的橋梁

案例2設(shè)n 是個(gè)不小于2的正整數(shù)，正整數(shù)a1，a2，…，an和為偶數(shù)，對(duì)任意1≤k≤n,k∈N*都有ak≤k, 求證：可適當(dāng)?shù)剡x擇“+”或“- ”號(hào)使±a1±a2±…±an=0.

分析：①n=2 ，由a1≤1,a2≤2,a1,a2∈N*,a1+a2為偶數(shù)，則a1=a2=1,a1-a2=0 即證.

②假設(shè)n=m 成立，當(dāng)n=m+1 時(shí)，ak≤k,可知，只有am+1可能為m+1,其余ai≤m(i≤m)，應(yīng)用歸納假設(shè)必須把m+1 個(gè)數(shù)改造成m個(gè)數(shù)，和為偶數(shù)且最大不超過(guò)m.不妨令a1≤a2≤…≤am+1, 由ak≤k,ak∈N*，得a1=1 ，且am≥1,a1，a2，…，am-1不變，(am+1-am) 作為第m 個(gè)數(shù)，則am+1-am≤m, 由a1，a2，…，am+1加減不改變奇偶性，所以a1+a2+…am-1+(am+1-am) 為偶數(shù).a1，a2，…，am-1，(am+1-am)這m 個(gè)數(shù)符合歸納假設(shè)條件.則存在一種選擇使a1±a2±…am-1±(am+1-am)=0,即證n=m+1成立.

評(píng)注：要正確理解歸納假設(shè)“n=k” 成立的含義.否則，可能將成為偽證.

二、從特殊到一般

案例3乒乓球隊(duì)有n個(gè)隊(duì)員，在一次雙打集訓(xùn)中，任意兩名隊(duì)員作為隊(duì)友，恰好只搭檔過(guò)一次雙打比賽，求n所有可能值，并給每一個(gè)值給出一種比賽方案.(2012年華約自主招生試題)

分析：設(shè)Ai表示第i 個(gè)人.

(1)從最特殊的4人開(kāi)始，不妨令4個(gè)人分別為A1、A2、A3、A4.則A1A2?A3A4,A1A3?A2A4,A1A4?A2A3即可；

由此推斷n=4k、4k+1 可能符合.

(2)下面對(duì)n=4k+1 時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

①k=1 顯然.

②假設(shè)n=4k+1 成立.當(dāng)n=4k+5 時(shí)，由歸納假設(shè)A1，A2，…，A4K+1兩兩可以搭檔雙打一次.A4k+2、A4k+3、A4k+4、A4k+5這5個(gè)人， 由前面(1)中的討論可知也可以兩兩雙打一次.剩下的就是A4k+2、A4k+3、A4k+4、A4k+5與A1、A1…A4K+1沒(méi)有兩兩搭檔雙打一次.很自然想到A4K+2Ai(i=1,2,…，4k+1) ?A4K+3A4k+2-i,A4K+4Ai(i=1,2,…,4k+1)? A4K+5A4k+2-i.

如果搭檔成功，問(wèn)題就解決了.但是，當(dāng)i=2k+1 時(shí)，Ai=A4K+2-i，這樣就無(wú)法搭檔.如果取Ai與A4k+1-i相對(duì)應(yīng).這樣，i與4k+1-i不可能相等.因?yàn)?，i與4k+1-i是一奇一偶.A4K+2Ai(i=1,2,…4k)?A4K+3A4k+1-i,A4K+4Ai(i=1,2,…4k)?A4K+5A4k+1-i，但是，這樣A4K+1與A4k+2、A4k+3、A4k+4、A4k+5又沒(méi)有兩兩搭檔雙打一次.由(1)可知n=5 可以兩兩搭檔雙打一次.所以，n=4k+5成立.

(3)同理，n=4k 也成立.

案例4(1)正六邊形被3條互不交叉(端點(diǎn)可以重合)的對(duì)角線分割成4個(gè)三角形．將每個(gè)三角形區(qū)域涂上紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形涂的顏色不同．怎樣分割并涂色可以使紅色三角形個(gè)數(shù)與藍(lán)色三角形個(gè)數(shù)的差最大？

(2)凸2016邊形被2013條互不交叉(端點(diǎn)可以重合)的對(duì)角線分割成2014個(gè)三角形．將每個(gè)三角形區(qū)域涂上紅、藍(lán)兩種顏色之一，使得有公共邊的三角形涂的顏色不同．在上述分割并涂色的所有情形中，紅色三角形個(gè)數(shù)與藍(lán)色三角形個(gè)數(shù)之差的最大值是多少？證明你的結(jié)論．

(江蘇省2014年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽壓軸題)

人們對(duì)競(jìng)賽題常常望而生畏，認(rèn)為競(jìng)賽壓軸題不是常人能做的.看了命題者提供的解答也確實(shí)如此.其實(shí)，本題如果把它推廣到一般情況，利用數(shù)學(xué)歸納法普通人也能做.

圖1

分析：(1)作如圖1構(gòu)造即可.

(2)2016是6的倍數(shù)，況且又是2014年競(jìng)賽題，是不是可以推廣到一般情況呢？由此，我們可以猜想，是不是任意6k 邊形，都可以涂為紅比藍(lán)多2k.我們不妨用數(shù)學(xué)歸納法試一試.

令紅三角形有x個(gè)，藍(lán)三角形有y個(gè).因?yàn)樵诙噙呅蝺?nèi)紅三角形和藍(lán)三角形是相鄰的，所以，它們擁有相同多條對(duì)角線.只有多邊形邊它們不是公共邊.所以，3x-3y≤2016,∴x-y≤672.所以，最大值為672.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①k=1 ，由(1)顯然.(2)假設(shè)k=m 成立，如圖2，根據(jù)歸納假設(shè)把A1A2…A6m邊形涂好.如果A1A2…A6m邊形中緊靠A1A6m邊涂紅，由(1)構(gòu)造給我們啟發(fā)，能否對(duì)剩下的八邊形A1A6mA6m+1A6m+2A6m+3A6m+4A6m+5A6m+6先分割一個(gè)六邊形，保持六邊形中3紅一藍(lán).連A6m+5A6m，按圖2涂色，即可完成n=m 到n=m+1的過(guò)渡.同理，如果A1A2…A6m邊形中緊靠A1A6m邊涂藍(lán)，按圖3涂色，即可完成n=m 到n=m+1的過(guò)渡.

圖2　　　　　　　　　　　　　圖3

評(píng)注：(1)案例3通過(guò)4人、5人、6人、7人、猜想到了一般雙打規(guī)律.案例4是通過(guò)數(shù)字特征把特殊推廣到一般.

(2)案例4中的特殊情況證明對(duì)n=k 到n=k+1 的過(guò)渡起了關(guān)鍵性的作用.

三、增多起點(diǎn)，加大跨度

增多起點(diǎn)，加大跨度的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)驗(yàn)證①n=1，2，…，m步成立，②假設(shè)n=k,k+1,…，k+m-1 步成立，去推證n=k+m 成立.把原來(lái)一步跨度變?yōu)閙 步跨度.

案例5f(n) 是定義在n∈N*的增函數(shù)，f(4)=5.①?m,n∈N*,f(n)∈Z;②f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1).

(1)求f(1),f(2),f(3);

(2)求f(n).

分析：(1)易得f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.

(2)由(1)易猜測(cè)f(n)=n+1 ，抽象函數(shù)必須恰當(dāng)?shù)馁x值，獲得f(k)、f(k+1).可令m=k,n=2，即得f(k)f(2)=f(2k)+f(k+1) ①.但是①中又出現(xiàn)了2k，此時(shí)， 可以考慮增多起點(diǎn)，加大跨度.

驗(yàn)證n=1,2成立.假設(shè)n=k,k+1成立,可得f(2k)=2k+1.但并沒(méi)有得到f(k+2)=k+3,由于f(n)增函數(shù)，f(k)與f(2k)之間只有k個(gè)整數(shù).f(k)=k+1,f(2k)=2k+1,所以，f(k+2)=k+3得證.看上去天衣無(wú)縫，沒(méi)有問(wèn)題，實(shí)際上是有問(wèn)題的.問(wèn)題出在哪里？因?yàn)榈玫竭@一結(jié)論，必須2k≥k+2,即k≥2,起步要從2,3開(kāi)始驗(yàn)證.

評(píng)注：從案例5、6看出，一方面增加跨度可降低歸納法證明的難度，另一方面讓一個(gè)跨度不能證明的問(wèn)題獲得解決.

四、加強(qiáng)命題

評(píng)注：命題加強(qiáng)的度要把握恰當(dāng)，否則，數(shù)學(xué)歸納法也無(wú)法奏效.

總之，數(shù)學(xué)歸納法以其特有的魅力，往往在高考、自主招生考試的壓軸題中扮演著重要的角色，如果學(xué)生能適時(shí)恰當(dāng)?shù)氖褂脭?shù)學(xué)歸納法，它往往會(huì)給普通學(xué)生增分添彩.