自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力

梁穎嫦

摘 要 筆者任職于中職學(xué)校，學(xué)校兼具社區(qū)教育學(xué)院功能，在讀業(yè)余大專、本科、遠(yuǎn)程教育學(xué)生逾三千人，筆者以其在業(yè)余高等教育數(shù)學(xué)學(xué)科中的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，分析了開放教育中自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的特征，提出了與應(yīng)用型人才相適應(yīng)的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)目標(biāo)及培養(yǎng)途徑。

關(guān)鍵詞 開放教育 自主學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維 數(shù)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

開放教育的培養(yǎng)目標(biāo)是使學(xué)生成為優(yōu)秀的高等應(yīng)用型人才，而實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的關(guān)鍵是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)是理工類和經(jīng)濟(jì)類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，理所當(dāng)然要在教學(xué)上服從上述目標(biāo)。然而實(shí)際情況不容樂觀，不少學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)只是為了通過統(tǒng)考，因?yàn)樗麄冇X得除此之外數(shù)學(xué)別無他用。盡管他們考前突擊 “類型加解法”，但考試合格率卻偏低。有些學(xué)生雖然通過了考試，但是考完就丟，創(chuàng)新思維未能得到應(yīng)有的發(fā)展。為了使數(shù)學(xué)教學(xué)真正納入人才培養(yǎng)目標(biāo)，數(shù)學(xué)教師不僅要使學(xué)生通過統(tǒng)考，更要引導(dǎo)他們?cè)谧灾鲗W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力。

1開放性自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

開放教育的培養(yǎng)對(duì)象面向全社會(huì)，學(xué)生業(yè)余學(xué)習(xí)，故其基本學(xué)習(xí)方法是自主學(xué)習(xí)，即自主確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，制定學(xué)習(xí)計(jì)劃，選擇學(xué)習(xí)策略，自評(píng)學(xué)習(xí)效果。但自主學(xué)習(xí)決非放任自流的盲目自學(xué)。（1）由于學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不同，思維水平不同，學(xué)習(xí)環(huán)境不同，因而學(xué)習(xí)策略和效果有很大差異，使自主學(xué)習(xí)個(gè)性化，呈現(xiàn)開放性；（2）數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是高度抽象和概括，因而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要抽象思維和邏輯推斷。然而數(shù)學(xué)成果的發(fā)現(xiàn)并非一開始就建立在嚴(yán)格的邏輯論證上，而是伴隨著個(gè)性化的直覺、想象和猜測，這些非邏輯思維也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必不可少的。以上兩點(diǎn)給自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)造成一定困難，因而必須為之提供服務(wù)，其形式主要有：集體授課（課堂教學(xué)、網(wǎng)上教學(xué)、實(shí)習(xí)、實(shí)踐、實(shí)驗(yàn)），小組學(xué)習(xí)（學(xué)生相互交流、專題討論），個(gè)別輔導(dǎo)（為困難生及時(shí)解疑，為優(yōu)生設(shè)置課外專題）。服務(wù)目標(biāo)是既促使自主學(xué)習(xí)有序進(jìn)行又充分利用其個(gè)性化特征培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。

2應(yīng)用型數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維

所謂數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是指思維的數(shù)學(xué)結(jié)果或者處理問題的數(shù)學(xué)方法有新穎性，獨(dú)特性。應(yīng)用型數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維是指與應(yīng)用型人才相適應(yīng)的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維。我們當(dāng)然不能脫離實(shí)際地要求他們?cè)跀?shù)學(xué)理論上有重大突破，但他們必須具備靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)出獨(dú)特新穎的方法創(chuàng)造性地解決實(shí)際問題的能力。因此應(yīng)當(dāng)使學(xué)生達(dá)到以下目標(biāo)：

（1）科學(xué)、系統(tǒng)、全面地掌握所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法，這是數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維的前提。

（2）善于用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)積極敏銳地觀察周圍的事物，搜集考證相關(guān)資料，深入分析各種事物間的數(shù)量關(guān)系及其空間形式；

（3）能夠從紛繁復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中概括出反映實(shí)際問題本質(zhì)的數(shù)學(xué)規(guī)律，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具將研究對(duì)象轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型；

（4）能夠運(yùn)用直覺、想象、猜測、類比、歸納、抽象等思維活動(dòng)尋求盡可能簡潔，獨(dú)特新穎的方法求解模型；

（5）既能從理論上論證研究結(jié)論，又能設(shè)計(jì)出科學(xué)、合理、可行的實(shí)驗(yàn)方案檢驗(yàn)研究結(jié)論；

（6）能夠用科學(xué)、準(zhǔn)確、簡潔的數(shù)學(xué)語言表達(dá)、報(bào)告、交流所獲成果。

3在自主學(xué)習(xí)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力

3.1基于教材合理延伸

由于自主學(xué)習(xí)具有開放性，學(xué)生選擇的輔助材料和學(xué)習(xí)策略不同，可能會(huì)或多或少偏離主教材，這種偏離有時(shí)是合理延伸，有時(shí)則是誤入歧途，因而需要正確引導(dǎo)。首先必須使學(xué)生掌握主教材中的基本理論與方法，在這個(gè)基礎(chǔ)上才可以分三個(gè)層次向外延伸。

（1）點(diǎn)延伸：基于知識(shí)點(diǎn)向外延伸，例如學(xué)習(xí)一個(gè)新概念，主教材的定義雖然精煉但卻過于抽象，因而教師要善于創(chuàng)設(shè)思維情境，使學(xué)生有機(jī)會(huì)面對(duì)要解決的問題，經(jīng)過分析、抽象，概括出新概念，從而體會(huì)新概念產(chǎn)生的背景及必要條件。其次要善于引導(dǎo)學(xué)生自主歸納新概念的性質(zhì)，探尋與新概念等價(jià)的其他形式。此外還要善于引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用新概念解決問題，從而準(zhǔn)確把握新概念的內(nèi)涵與外延。例如在線性代數(shù)中有一個(gè)重要概念：矩陣的秩，主教材的定義是：“經(jīng)過初等變換化矩陣為階梯形后非零行的個(gè)數(shù)就是矩陣的秩”。起初多數(shù)學(xué)生只能孤立、機(jī)械地死記定義，而教師則可精心選擇幾個(gè)典型線性方程組要求學(xué)生求解并探討如下問題：經(jīng)初等變換所得階梯形矩陣中非零行的個(gè)數(shù)r與通解中自由未知數(shù)個(gè)數(shù)k以及未知數(shù)總數(shù)n之間有何聯(lián)系？當(dāng)學(xué)生經(jīng)過分析、抽象最終得到答案r+k=n時(shí)便可領(lǐng)悟“秩”引入的背景。此時(shí)教師可因勢利導(dǎo)要求學(xué)生繼續(xù)探討下列問題：系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩有何區(qū)別與聯(lián)系？二者對(duì)方程組是否有解或者有多少解有何影響？尋求問題答案就是運(yùn)用秩的概念導(dǎo)出相容性定理的過程。

（2）面延伸：基于某方面專題向外延伸，鼓勵(lì)學(xué)生探究創(chuàng)新，完成優(yōu)質(zhì)研討報(bào)告。研討專題應(yīng)具有以下特征：

①適應(yīng)性：符合學(xué)生實(shí)際水平，遵循教學(xué)大綱但不拘泥于教學(xué)大綱；

②開放性：學(xué)生從不同角度選擇不同資料進(jìn)行研究，所獲結(jié)果不同；

③階段性：研討專題涉及的知識(shí)面不應(yīng)太寬，以某一階段學(xué)習(xí)的章節(jié)內(nèi)容為宜；

④有機(jī)性：研討專題應(yīng)當(dāng)是相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的有機(jī)載體，而不是為了綜合而“綜合”地將眾多知識(shí)點(diǎn)雜亂無章地堆積在一起。

例如在學(xué)習(xí)概率論時(shí)，教師可提出研討專題“離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的比較”，學(xué)生可從不同角度進(jìn)行研討，比如兩個(gè)不同概念間的區(qū)別與聯(lián)系，內(nèi)涵與外延，性質(zhì)及應(yīng)用等等。通過研討學(xué)生不但能融會(huì)貫通主教材的知識(shí)系統(tǒng)，還可借助參考資料拓寬視野。

（3）體延伸：學(xué)生結(jié)合自身工作實(shí)踐自主確立研究課題，制定研究計(jì)劃，查找相關(guān)資料，選擇研究途徑，論證研究結(jié)果，交流研究體會(huì)。這一過程從不同層面、不同角度對(duì)主教材的知識(shí)體系進(jìn)行立體式延伸，是培養(yǎng)創(chuàng)新思維的最高境界。其最大特征是學(xué)生獨(dú)立自主控制整個(gè)研究過程，綜合運(yùn)用多學(xué)科知識(shí)分析和解決問題。

例如，某學(xué)員嘗試解決企業(yè)能耗（單位產(chǎn)品消耗的能量）過高的問題，他的研究計(jì)劃大致是：首先采集大量相關(guān)數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)處理篩選出影響能耗的主要因素，如各生產(chǎn)環(huán)節(jié)消耗的煤、電、運(yùn)輸部門消耗的汽油，不同供應(yīng)商提供的能源的質(zhì)量，能源在運(yùn)輸、存儲(chǔ)過程中的損耗等等，并區(qū)分基于不同因素的數(shù)據(jù)變量是可控的還是隨機(jī)的，然后運(yùn)用函數(shù)插值、曲線擬合、線性或非線性回歸等數(shù)學(xué)方法分析能耗與諸變量間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而建立目標(biāo)函數(shù)，考察限制諸變量的約束條件，最后運(yùn)用拉格朗日數(shù)乘法或其他數(shù)學(xué)方法求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下取極小值時(shí)的最優(yōu)解。雖然這項(xiàng)研究尚未結(jié)束，但是他的解決實(shí)際問題的能力已經(jīng)得到前所未有的提高。

3.2小組學(xué)習(xí)標(biāo)新立異

小組學(xué)習(xí)是開放性自主學(xué)習(xí)的基本形式之一，為學(xué)生通過交互學(xué)習(xí)培養(yǎng)創(chuàng)新思維能力提供了一個(gè)活動(dòng)舞臺(tái)。應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與小組討論，輪換“教師”與“學(xué)生”兩個(gè)角色，營造民主、和諧、愉悅的學(xué)習(xí)氛圍，使得人人暢所欲言，不盲從書本，不迷信教師，善于發(fā)現(xiàn)問題，敢于標(biāo)新立異。例如某學(xué)習(xí)小組曾討論下面的試題：

設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件且P（A）=0.6，P（B）=0.8，P（B|A）=0.2求P（A|B）。

多數(shù)學(xué)生給出如下解答：由全概率公式及乘法公式得：

P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=P（AB）+0.40.2，

由此得到P（AB）=0.8 0.08=0.72，

從而有P（A|B）====0.9。

求解過程似乎正確無誤。但是小組學(xué)習(xí)養(yǎng)成一些人喜歡“挑刺”，他們總覺得有點(diǎn)不對(duì)勁，最終還是被他們挑出了毛?。河?jì)算結(jié)果顯示P（AB）>P（A），這是不可能的！那么是什么原因?qū)е逻@一矛盾呢？經(jīng)過小組討論發(fā)現(xiàn)，P（A），P（B），P（B|A）三者并非完全相互獨(dú)立，其中任何一個(gè)的取值范圍必受另外二者的制約。事實(shí)上如果P（A）=0.6，P（B）=0.8，則P（B|A）>0.5，因而原題設(shè)條件不妥。

通過形式多樣的小組研討，學(xué)生相互溝通信息，取長補(bǔ)短，異中求真，真中取優(yōu)，對(duì)培養(yǎng)創(chuàng)新能力有不可替代的作用。

3.3現(xiàn)代技術(shù)激發(fā)創(chuàng)新

隨著遠(yuǎn)程開放教育的不斷發(fā)展，基于電子計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)的教學(xué)模式被廣泛應(yīng)用于教學(xué)領(lǐng)域，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力提供了強(qiáng)大的物質(zhì)支持。

（1）運(yùn)用現(xiàn)代媒體傳形、傳聲、傳色，集視聽于一體的強(qiáng)大功能創(chuàng)設(shè)具有實(shí)踐背景的問題情境，使人感到鮮活逼真、新穎親切，情不自禁身臨其境。例如，在學(xué)習(xí)歐拉圖時(shí)，首先展示動(dòng)畫圖景：有一條河從哥尼斯堡穿城而過，城中的七座橋連接河中兩個(gè)島與河兩岸，并動(dòng)畫演示當(dāng)?shù)鼐用裨鵁嶂缘囊粋€(gè)游戲：從任何一塊陸地或小島出發(fā)，經(jīng)過每座橋一次且僅一次，最后回到出發(fā)點(diǎn)。然后問學(xué)生：你能實(shí)現(xiàn)這個(gè)游戲嗎？試一試！不用說，學(xué)生會(huì)立即被眼前的游戲深深吸引，全神貫注地“試”起來，極大地激發(fā)了學(xué)習(xí)圖論的興趣。

（2）由于實(shí)際問題涉及的數(shù)量關(guān)系紛繁復(fù)雜，對(duì)任何一個(gè)猜測進(jìn)行驗(yàn)證都需要較大的計(jì)算工作量，因而傳統(tǒng)教學(xué)模式下學(xué)生能面對(duì)的大多是數(shù)量關(guān)系簡單的理想化問題，這就制約了學(xué)生創(chuàng)新思維的發(fā)展。運(yùn)用現(xiàn)代媒體處理數(shù)據(jù)及圖形的強(qiáng)大功能，學(xué)生可以研究自己感興趣的實(shí)際問題，充分發(fā)揮想象力，大膽猜測問題的答案，驗(yàn)證猜測是否可靠，反復(fù)修正，不斷逼近問題真解。前面提到的“能耗”課題的研究就是這樣進(jìn)行的，這正是創(chuàng)新思維的發(fā)展過程。

（3）傳統(tǒng)的集體授課很難為不同層次的學(xué)生提供均等的發(fā)言機(jī)會(huì)，發(fā)言時(shí)間受到限制，也不容易讓所有學(xué)生記住每位發(fā)言者的見解。而網(wǎng)絡(luò)授課則突破了時(shí)間與空間的限制，克服了上述弊端，使不同層次的學(xué)生均能獲得所需的資料和幫助且不會(huì)受到網(wǎng)絡(luò)的“歧視”，從而充分調(diào)動(dòng)了他們的思維積極性，激發(fā)了創(chuàng)新熱情。

3.4循序漸進(jìn)學(xué)以致用

（1）通過解題培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)。多數(shù)學(xué)生經(jīng)過自主學(xué)習(xí)均能獨(dú)立解答簡單數(shù)學(xué)題。對(duì)比較復(fù)雜的題，首先引導(dǎo)他們觀察題設(shè)條件，善于挖掘隱含條件，明確題目的結(jié)論。其次引導(dǎo)他們運(yùn)用基本概念、定理、法則、公式分析各條件及結(jié)論間的數(shù)量關(guān)系，確立解題步驟，最終化條件為結(jié)論。當(dāng)然僅僅解出題目還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，要著力培養(yǎng)他們善于“一題多解”與“一題多變”，探究獨(dú)特新穎的解題方法，從不同角度進(jìn)行推廣，如延伸結(jié)論拓廣其適用范圍，或者改變條件并觀察結(jié)論的相應(yīng)變化，自編幾道更貼近生產(chǎn)實(shí)踐的題目等等。

（2）引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)被廣泛應(yīng)用于其他學(xué)科，例如金融學(xué)、會(huì)計(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、電子電路基礎(chǔ)等等，以及不同數(shù)學(xué)分支間的相互滲透，例如運(yùn)用微積分研究連續(xù)型隨機(jī)變量等事實(shí)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的巨大作用和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題的策略與技巧。

（3）培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)觀察周圍的事物，使他們意識(shí)到不是數(shù)學(xué)沒有用，而是身邊處處有數(shù)學(xué)，只不過自己未曾留心怎樣去用而已。例如彩票抽獎(jiǎng)，一定是先抽更有利嗎？玩撲克時(shí)同樣幾張牌有多種不同組合，是“三帶二”好還是“成雙成隊(duì)”勝算更大？居民小區(qū)的活動(dòng)中心選址是否合理？產(chǎn)品的價(jià)格越高獲取的總利潤就一定越大嗎？如果你愛好音樂，那么你是否知道十二個(gè)基本音律（半音階）的頻率由低到高構(gòu)成一個(gè)怎樣的數(shù)列？當(dāng)你隨著優(yōu)美的樂曲翩（下轉(zhuǎn)第129頁）（上接第101頁）翩起舞時(shí)，你一定希望和舞伴保持相同的“周期”，使那婀娜舞姿仿佛一束正弦函數(shù)曲線此起彼伏令人賞心悅目。諸如此類的例子盡量由學(xué)生自行提供。

（4）培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力。由于實(shí)際問題涉及的可控變量大多歸結(jié)為各類方程（代數(shù)方程、三角方程、微分方程、差分方程等等）的求解，而隨機(jī)變量則大多歸結(jié)為確定其分布函數(shù)；有的實(shí)際問題歸結(jié)為求目標(biāo)函數(shù)在約束條件下取極值時(shí)的最優(yōu)解或者圖論中的某種特殊圖等等。因而要有針對(duì)性地引導(dǎo)學(xué)生多做有關(guān)類型的應(yīng)用題，使他們熟悉這些已經(jīng)建立的數(shù)學(xué)模型，并初步掌握運(yùn)用現(xiàn)成模型解決實(shí)際問題的方法。

其次，要引導(dǎo)學(xué)生多體驗(yàn)建立數(shù)學(xué)模型的思想方法與具體步驟。例如前面提到的哥尼斯堡七橋問題就是一個(gè)極佳的典型例子。首先引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，問題的關(guān)鍵不在于陸地的形狀、大小，橋的長短，而是陸地與橋的連接方式。因而可將陸地“濃縮”成點(diǎn)，將橋“擠壓”成線，實(shí)際問題便被抽象成圖（A）：

并用數(shù)學(xué)語言陳述如下：

圖（A）中是否存在一條回路，它經(jīng)過圖中各邊一次且僅一次？

為了加深學(xué)生對(duì)上述建模過程的體驗(yàn)，我們不妨動(dòng)畫顯示一個(gè) “八橋問題”的情境，也讓學(xué)生將其抽象成圖（B）：

并引導(dǎo)學(xué)生分析：為什么圖（B）可以“一筆畫出”，而圖（A）卻不能？由此開始探尋模型的解法。

當(dāng)然我們的最終目標(biāo)是解決實(shí)際問題，要鼓勵(lì)學(xué)生多用數(shù)學(xué)模型方法解決身邊的實(shí)際問題，從解決簡單問題逐步過渡到解決復(fù)雜問題。例如前面提到的“能耗”課題，僅僅考察單數(shù)據(jù)變量的變化規(guī)律時(shí)只需建立相對(duì)簡單的數(shù)學(xué)模型，而課題的最終解決則是由多個(gè)子模型融為一體，形成一個(gè)復(fù)雜的最優(yōu)化模型。

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