地方院校《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)改革的探索與實(shí)踐

楊斌鑫 王芳

摘要：本文針對(duì)地方本科院?！稊?shù)學(xué)分析》課程進(jìn)行教學(xué)改革，針對(duì)該課程的教學(xué)內(nèi)容、體系與結(jié)構(gòu)進(jìn)行教學(xué)改革實(shí)踐，對(duì)傳統(tǒng)的模式進(jìn)行革新，即找到一套由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由具體到抽象，由計(jì)算到理論，使學(xué)生能夠既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林的教學(xué)方案。該教學(xué)方案既能保證整個(gè)體系在邏輯上的完整性，從而使學(xué)生掌握嚴(yán)格的分析理論，又能使學(xué)生比較容易、快速地接受理論。該方案的實(shí)施能夠既適合學(xué)生學(xué)習(xí)，又能順利達(dá)到培養(yǎng)目標(biāo)。該方案包括課程教學(xué)內(nèi)容的選取、教學(xué)體系的安排、教學(xué)方法的探索等，為地方高校數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)提供了一定的借鑒。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)分析；教學(xué)改革；教學(xué)內(nèi)容；地方院校

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）31-0112-03

一、引言

《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)專業(yè)最重要的必修基礎(chǔ)課，是實(shí)變函數(shù)、復(fù)變函數(shù)、泛函分析、微分方程、微分幾何、概率論等課程的必要基礎(chǔ)。《數(shù)學(xué)分析》也是應(yīng)用性很強(qiáng)的一門數(shù)學(xué)課，《數(shù)學(xué)分析》中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)能力是數(shù)學(xué)在實(shí)際中應(yīng)用和進(jìn)行數(shù)學(xué)理論研究的基石，通過(guò)《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)要使學(xué)生受到基本和嚴(yán)格的數(shù)學(xué)訓(xùn)練?！稊?shù)學(xué)分析》教學(xué)的成功與否直接影響后繼課程的學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力?！稊?shù)學(xué)分析》在成書(shū)的體系編排上與另一本通用教材——《高等數(shù)學(xué)》十分接近，但在實(shí)際中，后者是工科學(xué)生的必學(xué)教材。另外，雖然從形式上看，二者十分類似，但仔細(xì)分析其中的教學(xué)內(nèi)容，就會(huì)發(fā)現(xiàn)二者的區(qū)別也是十分明顯的。表現(xiàn)在：其一，難度上不同?？傮w來(lái)看，《高等數(shù)學(xué)》的內(nèi)容無(wú)論是跨度還是深度都在《數(shù)學(xué)分析》之上，因而，對(duì)學(xué)生而言，也能更直觀地感受到前者學(xué)起來(lái)更困難。其二，培養(yǎng)能力的角度不同。教材的編排可以體現(xiàn)教育者的教學(xué)目標(biāo)?！案邤?shù)”更側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，通過(guò)計(jì)算解決問(wèn)題，找到結(jié)果；而《數(shù)學(xué)分析》則旨在通過(guò)教學(xué)提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)邏輯分析問(wèn)題的能力，教給他們分析方法，更側(cè)重于過(guò)程的教學(xué)。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，《數(shù)學(xué)分析》可以說(shuō)是對(duì)“高數(shù)”的一種補(bǔ)充，二者是互補(bǔ)的關(guān)系，各有自己的側(cè)重點(diǎn)。相較于看重結(jié)果和計(jì)算的“高數(shù)”，學(xué)生通過(guò)《數(shù)學(xué)分析》的學(xué)習(xí)，可以使自己掌握更多的分析問(wèn)題的技巧和能力，其中也會(huì)逐漸獲得數(shù)學(xué)邏輯思維能力、想象能力、抽象思考能力等，對(duì)學(xué)生培養(yǎng)其學(xué)習(xí)的自覺(jué)性和創(chuàng)造性是非常有益的科目。

《數(shù)學(xué)分析》課程是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)時(shí)最多的一門課，各高校根據(jù)各自情況設(shè)置的學(xué)時(shí)數(shù)稍有不同，一般為240～320學(xué)時(shí)之間，跨度為三個(gè)學(xué)期，個(gè)別高?！稊?shù)學(xué)分析》課程跨度為四個(gè)學(xué)期。

《數(shù)學(xué)分析》課程是數(shù)學(xué)專業(yè)本科生課程中難度最大的課程之一。《數(shù)學(xué)分析》課程的培養(yǎng)目標(biāo)是要求學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)分析的基本理論與基本方法，培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維能力和思維習(xí)慣，為應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題及后繼課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。該課程不僅要求學(xué)生學(xué)會(huì)基本運(yùn)算技能與技巧，還要求學(xué)生掌握大量基本理論的證明方法，難度遠(yuǎn)高于工科學(xué)生學(xué)習(xí)的《高等數(shù)學(xué)》。

這并不是一門新興的課程，事實(shí)上，至今已經(jīng)歷經(jīng)多次教學(xué)改革，它也在改革中不斷完善，形成了如今完整緊湊的教學(xué)體系[1]。在解放之前，這一課程分為初、高等微積分兩步進(jìn)行教學(xué)。前者主要是教授基礎(chǔ)的運(yùn)算和應(yīng)用，到了高級(jí)階段，才涉及高深的理論。這種教學(xué)安排的優(yōu)點(diǎn)在于入門容易，但這種做法導(dǎo)致耗時(shí)較長(zhǎng)，理論躍度太大，學(xué)起來(lái)困難較大。后來(lái)，在吸取了蘇聯(lián)教學(xué)模式的經(jīng)驗(yàn)后進(jìn)行了重新編排。這一時(shí)期的《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)重點(diǎn)放在了極限理論上，因此，學(xué)生可以很快接觸到高等數(shù)學(xué)的理論，同時(shí)又有了極限理論的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)其他的高深理論也更容易。但同時(shí)難度也大大增加了，入門更困難，也讓不少學(xué)生從一開(kāi)始就產(chǎn)生了畏難心理，失去了學(xué)習(xí)的興趣。這一時(shí)期的《數(shù)學(xué)分析》也被稱為“大頭分析”，雖然提高了學(xué)生的理論水平，但也忽視了對(duì)應(yīng)用能力的培養(yǎng)。

二、地方院校《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)中存在的問(wèn)題

要找到解決方案，先要對(duì)現(xiàn)狀進(jìn)行剖析，找到癥結(jié)所在。

（一）課程的難度容易引發(fā)厭學(xué)的情緒

這一門課程包含的內(nèi)容豐富，涉及許多的版塊、概念、分析方法等內(nèi)容，其中還涉及許多推理和證明的內(nèi)容，不僅與學(xué)生之前所學(xué)不同，而且難度很大，難以激發(fā)學(xué)生的興趣。同時(shí)，這門課程的內(nèi)容龐雜，教學(xué)課時(shí)也長(zhǎng)，因?yàn)閮?nèi)容難度較大而且生疏，學(xué)生在初學(xué)階段入門困難，容易產(chǎn)生畏難的情緒。另外，在學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》課程的同時(shí)，通常還要學(xué)習(xí)其他必修課程或參加資格考試，容易分散學(xué)生的精力，增加學(xué)習(xí)的壓力。

（二）課堂教學(xué)過(guò)程枯燥

由于學(xué)時(shí)的限制，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)必須完成教學(xué)大綱規(guī)定的教學(xué)內(nèi)容，加上內(nèi)容較難，教師很難在課堂上采用多種教學(xué)方式。因此，在教學(xué)方式上，《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)一直沿襲“滿堂灌”、“注入式”的教學(xué)方法，主要停留在一本書(shū)、一支粉筆、一面黑板的教學(xué)手段上，這就使《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)比較枯燥，有的學(xué)生甚至對(duì)這門課程產(chǎn)生了厭煩心理。

（三）地方院校生源質(zhì)量不佳，加大了《數(shù)學(xué)分析》教與學(xué)的難度，學(xué)生難學(xué)，教師難教

重點(diǎn)大學(xué)生源質(zhì)量好，可以挑選出優(yōu)秀的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)專業(yè)。然而，值得指出的是，對(duì)于大多數(shù)地方院校來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生和工科學(xué)生入學(xué)時(shí)的起點(diǎn)是一樣的，甚至一些地方高校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生入學(xué)時(shí)的分?jǐn)?shù)明顯低于一些優(yōu)勢(shì)專業(yè)的錄取分?jǐn)?shù)?；A(chǔ)較好的工科學(xué)生學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》尚有很大難度，基礎(chǔ)相對(duì)薄弱的數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》的難度就可想而知了。對(duì)于全國(guó)占大多數(shù)的地方本科院校來(lái)說(shuō)，學(xué)生基礎(chǔ)本來(lái)就不是很強(qiáng)，學(xué)起《數(shù)學(xué)分析》對(duì)于大部分同學(xué)來(lái)說(shuō)就像是聽(tīng)天書(shū)，這是多年來(lái)我們講授《數(shù)學(xué)分析》課程的深刻體會(huì)。于是很多學(xué)生就產(chǎn)生了畏難情緒，由剛?cè)雽W(xué)時(shí)的豪情萬(wàn)丈變得情緒低落、不愛(ài)學(xué)習(xí)甚至逃課。更有甚者，實(shí)在學(xué)不下去只有轉(zhuǎn)專業(yè)。有一些努力學(xué)習(xí)的同學(xué)雖然下了很大功夫，但是也很難做到理論與計(jì)算兼顧，往往是計(jì)算能力不強(qiáng)，理論水平更弱。

另一方面，目前我國(guó)高等教育由精英化教育轉(zhuǎn)向大眾化教育，地方院校生源質(zhì)量下降是一個(gè)不爭(zhēng)的事實(shí)，如何探索出一條適合大眾化教育的教學(xué)體系是高校教師面臨的一項(xiàng)重要挑戰(zhàn)。因此，針對(duì)地方院?！稊?shù)學(xué)分析》課程的教學(xué)改革勢(shì)在必行。目前有不少文獻(xiàn)研究《數(shù)學(xué)分析》課程的教學(xué)改革與實(shí)踐[2-10]，但仍未見(jiàn)到專門針對(duì)地方院?！稊?shù)學(xué)分析》課程的教學(xué)研究成果發(fā)表。

針對(duì)這種情況，本文針對(duì)地方本科院校《數(shù)學(xué)分析》課程進(jìn)行教學(xué)改革，針對(duì)該課程的教學(xué)內(nèi)容、體系與結(jié)構(gòu)進(jìn)行教學(xué)改革實(shí)踐，期望在“初高等微積分”和“大頭分析”之間，走出一條循序漸進(jìn)的道路，即找到一套由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由具體到抽象，由計(jì)算到理論，使學(xué)生能夠既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林的教學(xué)方案。該教學(xué)方案既能保證整個(gè)體系在邏輯上的完整性，從而使學(xué)生掌握嚴(yán)格的分析理論，又能使學(xué)生比較容易、快速地接受理論。該方案的實(shí)施能夠既適合學(xué)生學(xué)習(xí)，又能順利達(dá)到培養(yǎng)目標(biāo)。該方案包括課程教學(xué)內(nèi)容的選取、教學(xué)體系的安排、教學(xué)方法的探索等，為地方高校數(shù)學(xué)專業(yè)《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)提供一定的借鑒。

三、《數(shù)學(xué)分析》課程改革的方法和改革內(nèi)容

首先，根據(jù)教育部教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)制定的《數(shù)學(xué)類專業(yè)規(guī)范和教學(xué)基本要求》，制訂出適合地方本科院?！稊?shù)學(xué)分析》課程教學(xué)的教學(xué)大綱，包括課程教學(xué)內(nèi)容的選取、教學(xué)體系的安排等內(nèi)容。其次，根據(jù)制定出的教學(xué)大綱編寫(xiě)相應(yīng)《數(shù)學(xué)分析講義》，而后在教學(xué)中使用，最后根據(jù)使用情況進(jìn)行改進(jìn)、完善。

對(duì)地方本科院校數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)課程《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)內(nèi)容、體系與結(jié)構(gòu)的優(yōu)化重組，找到一條適合地方院校數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》課程的新途徑。

將《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)分為三個(gè)階段。第一階段為大一兩個(gè)學(xué)期，第二階段為大二第一學(xué)期，第三階段為大四第一學(xué)期。

第一階段稱為簡(jiǎn)單階段、計(jì)算階段、感性階段。在這一階段，降低難度，基本按照《工科數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行講授，但又有所不同，做到既自成體系，又不太難，讓學(xué)生先對(duì)微積分的內(nèi)容與運(yùn)算體系有了較為簡(jiǎn)單的、感性的認(rèn)識(shí)，不要求學(xué)生會(huì)做多難的證明題，但要求學(xué)生熟練掌握計(jì)算。通過(guò)計(jì)算逐步培養(yǎng)起學(xué)生對(duì)微積分概念和體系的理解。

第二階段稱為復(fù)雜階段、理論階段、理性階段。在這一階段，在學(xué)生已經(jīng)掌握了微積分運(yùn)算的基礎(chǔ)上，將微積分體系提高到理論高度，對(duì)非正常積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)、實(shí)數(shù)連續(xù)統(tǒng)等《工科數(shù)學(xué)分析》要求較低的內(nèi)容提升到《數(shù)學(xué)分析》的要求上，讓學(xué)生對(duì)基本概念、重要定理和結(jié)論的內(nèi)容及其證明方法有了相當(dāng)程度的了解。通過(guò)對(duì)定理的證明加深對(duì)微積分內(nèi)容的理解。

第三階段為提升階段、理性階段。前兩個(gè)階段已經(jīng)完成了《數(shù)學(xué)分析》基本內(nèi)容的教學(xué)，這一階段作為選修課放在大四第一學(xué)期，叫做《數(shù)學(xué)分析選講》，主要針對(duì)有志于報(bào)考研究生的學(xué)生進(jìn)行理論與計(jì)算上的進(jìn)一步提升，使得他們的理論證明能力和計(jì)算能力更上一層樓。對(duì)準(zhǔn)備報(bào)考數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的學(xué)生進(jìn)行理論培訓(xùn)，將超出《數(shù)學(xué)分析》基本教學(xué)內(nèi)容，但又是各高?？荚噧?nèi)容的內(nèi)容傳授給學(xué)生，使其理論推導(dǎo)能力進(jìn)一步提升。對(duì)于準(zhǔn)備報(bào)考非數(shù)學(xué)專業(yè)研究生的學(xué)生進(jìn)行計(jì)算培訓(xùn)，講授常用的計(jì)算技巧，使其計(jì)算能力進(jìn)一步提升。

將每個(gè)階段的《數(shù)學(xué)分析》課程分為三個(gè)子課程，即“數(shù)學(xué)分析精講”、“數(shù)學(xué)分析精讀”和“數(shù)學(xué)分析習(xí)題課”。

“數(shù)學(xué)分析精講”由具有該課程豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教授或副教授擔(dān)任主講，主要向?qū)W生傳授該課程的知識(shí)與科學(xué)思想，構(gòu)建起內(nèi)容體系的框架，并引入一些實(shí)際問(wèn)題，將內(nèi)容與該部分內(nèi)容可以解決的實(shí)際問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，引起學(xué)生的興趣。

“數(shù)學(xué)分析精讀”由具有豐富教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的副教授或講師擔(dān)任主講，帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)會(huì)如何預(yù)習(xí)、聽(tīng)課、做筆記、提問(wèn)、解題、歸納、提高等。主要內(nèi)容包括以下四個(gè)方面：一是內(nèi)容精讀，簡(jiǎn)要概述每節(jié)中的基本概念、重要定理和公式，并對(duì)要點(diǎn)與難點(diǎn)做適當(dāng)分析。二是疑難解答，解答在《數(shù)學(xué)分析》學(xué)習(xí)過(guò)程中可能遇到的一些疑難問(wèn)題，主要涉及某些概念的理解、重要定理的應(yīng)用、解題技巧的總結(jié)及某些模糊問(wèn)題的辨析。三是典型例題，選取若干個(gè)緊扣內(nèi)容的典型題目，通過(guò)分析和求解，使學(xué)生從中得到啟發(fā)，有助于提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。四是鞏固提高，配套一定量的題目，使學(xué)生所學(xué)的方法和技巧得以應(yīng)用，進(jìn)而達(dá)到鞏固知識(shí)，提高能力之目的。

“數(shù)學(xué)分析習(xí)題課”由講師或助教主講，帶領(lǐng)學(xué)生完成相當(dāng)數(shù)量的習(xí)題，鞏固和提高在“數(shù)學(xué)分析精講”和“數(shù)學(xué)分析精讀”課上學(xué)到的知識(shí)。經(jīng)過(guò)批改后，在習(xí)題課上總結(jié)出學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，并將學(xué)生在解題過(guò)程中一些閃光的思想向全體同學(xué)加以推廣。同時(shí)，可以提供一些開(kāi)放式的題目，促使學(xué)生自己去思考。

研究?jī)?nèi)容可以由圖1體現(xiàn)。

改革的成果是在原有培養(yǎng)目標(biāo)不變的情況下，制訂出地方院校適用的數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)大綱及編寫(xiě)相應(yīng)的《數(shù)學(xué)分析講義》與《數(shù)學(xué)分析習(xí)題課講義》，經(jīng)過(guò)在學(xué)生中試用，效果顯著。

四、結(jié)論

本文針對(duì)基礎(chǔ)相對(duì)較弱的地方本科院校數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)改革進(jìn)行分析，找到一條適合學(xué)生學(xué)習(xí)的新途徑，由具體到抽象，由計(jì)算到理論，使學(xué)生能夠既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林，能夠既適合學(xué)生學(xué)習(xí)，又能順利達(dá)到培養(yǎng)目標(biāo)。改變了《數(shù)學(xué)分析》課程的傳統(tǒng)教學(xué)模式，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，由感性到理性，由具體到抽象，采用完全符合認(rèn)知規(guī)律的方法進(jìn)行教學(xué)，對(duì)地方院校數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課的教學(xué)改革具有一定的理論價(jià)值和借鑒作用。

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