一個(gè)“含參數(shù)的函數(shù)（不等式）的最值（恒成立）問(wèn)題”的解法探究

全志淼

（湖南省衡陽(yáng)市第一中學(xué) 湖南衡陽(yáng) 421000）

一個(gè)“含參數(shù)的函數(shù)（不等式）的最值（恒成立）問(wèn)題”的解法探究

全志淼

（湖南省衡陽(yáng)市第一中學(xué) 湖南衡陽(yáng) 421000）

眾所周知：函數(shù)貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)，涉及了幾乎所有的知識(shí)點(diǎn)，對(duì)函數(shù)知識(shí)掌握的好壞，決定了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的效果。很多有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題，入手容易，但分類眾多且運(yùn)算困難，因此有不少同學(xué)談“函數(shù)色變”。不過(guò)，在學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程中，若能根據(jù)具體問(wèn)題特點(diǎn)，選擇合適的方法，將會(huì)使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化，看似極難的題目得到巧妙的解決，從而極大地增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。本文對(duì)函數(shù)中最具典型的問(wèn)題之一：含參數(shù)的函數(shù)（不等式）的最值（恒成立）問(wèn)題進(jìn)行探究，以助讀者高屋建瓴，并對(duì)其他相關(guān)問(wèn)題也能應(yīng)對(duì)裕如。

（1）求函數(shù)f（x）的定義域；

（2）確定函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

故函數(shù)f（x）的定義域是：（-1，0）∪（0，+∞）

當(dāng)x＞0時(shí)，上式恒小于0，因此f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；

∴g（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增

∴g（x）＜g（0）=-1

∴f′（x）＜0，所以f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減。

（3）方法一：參變量分離（參數(shù)獨(dú)立了）

∴d（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，顯然：d（2）=1-3ln3＜0，d（3）=2-ln4＞0

故必存在a∈（2，3）使得d（a）=0，即：

又由（*）式可確定a∈（2，3）

∴a+1∈（3，4）

所以：正整數(shù)k的最小值為3。

方法二：變形后求導(dǎo)（參數(shù)沒(méi)有獨(dú)立）

即證明：

h（x）min=h（k-1）=lnk-k+2＞0

∴最大的正整數(shù)k為3。

方法三：先探索后證明（由特殊到一般）

令x=1，得k＜2（1+ln2）

∴k值不大于3。

h（x）的正負(fù)僅與-2x+1+xln（x+1）+ln（x+1）有關(guān)。

令p（x）=-2x+1+xln（x+1）+ln（x+1），則p′（x）=ln（x+1）-1

由p′（x）=0知x=e-1，易得p（e-1）是函數(shù)p（x）的極小值。

即最小值：p（e-1）=3-e＞0

∴正整數(shù)k的最大值為3。

親愛(ài)的讀者朋友，你的收獲怎么樣？那我們?cè)賮?lái)試一試好嗎？

引申練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=ex-ax

（1）若對(duì)一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值的集合；

（2）若方程f（x）=a（lnx-x+1）（a＞0）有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根x1，x2（0＜x1＜x2）。

附解答：（1）若a≤0，則對(duì)x＜0，f（x）≤1存在。這與題設(shè)矛盾，故首先有a＞0。

f′（x）=ex-a，令f′（x）=0，得x=lna。

當(dāng)0＜x＜lna時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞lna時(shí)，f（x）單調(diào)遞增。

∴f（x）的最小值為f（lna）=a-alna≥1恒成立。

令g（t）=t-tlnt，則g′（t）=-lnt。

當(dāng) 0＜t＜1 時(shí)，g′（t）＞0，g（t）單調(diào)遞增；當(dāng)t＞1 時(shí)，g′（t）＜0，g（t）單調(diào)遞減。

故當(dāng)t=1 時(shí)，g（t）取最大值g（1）=1。

綜上所述：a的取值集合為{1}。

（2）由f（x）=a（lnx-x+1），可得ex-alnx-a=0。

∴φ（x）=φ（1）=e

∴a≥e

令g（x）=ex-alnx-a，若y=g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，則a＞e，所以g（1）=e-a＜0。

由g（a）=ea-alna-a（a＞e）得g′（a）=ea-lna-2。

∴g′（a）在（e，+∞）上單調(diào)遞增。

∴g′（a）＞g′（e）=ee-3＞e2-3＞0

∴g（a）在（e，+∞）上單調(diào)遞增。

∴g（a）＞g（e）=ee-2e＞0，則g（1）g（a）＜0

∴1＜x2＜a。

G634.6

A

1004-7344（2016）23-0042-02

2016-7-26

全志淼（1999-），男，高中。