分析在高中數(shù)學(xué)解題中代換法的靈活運(yùn)用

◇ 陜西 陳衛(wèi)衛(wèi)

分析在高中數(shù)學(xué)解題中代換法的靈活運(yùn)用

◇ 陜西 陳衛(wèi)衛(wèi)

代換法,即換元法是高中數(shù)學(xué)常用的解題方法之一.通過代換將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化,有利于學(xué)生對題目的了解,增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯性和理性思考.但如何靈活地將代換法運(yùn)用于高中數(shù)學(xué)解題之中,需要我們認(rèn)真研究.

1 函數(shù)與三角的代換

三角代換廣泛運(yùn)用于函數(shù)最值問題的求解,將所求問題轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)型值域問題,它使復(fù)雜的數(shù)學(xué)題簡單化.

因?yàn)?－x2≥0,所以－1≤x≤1.

設(shè)x＝cosα,α∈[0,π],則有

因?yàn)棣痢蔥0,π],所以α＋π/4∈[π/4,5π/4].又所以求出函數(shù)的值域?yàn)閇－1,2].

2 二元與一元的代換

某些數(shù)學(xué)問題常涉及2個變量,解題中運(yùn)用代換法,化二為一,可實(shí)現(xiàn)問題的簡潔求解.

例2 函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R).設(shè)A(x1, y1),B(x2,y2)是函數(shù)g(x)＝f(x)＋ax圖象上任意不同的2點(diǎn),線段AB的中點(diǎn)為C(x0,y0),直線AB的斜率為k.證明:k＞g′(x0).

設(shè)t＝x2/x1＞1,則只需證即證,其中t∈(1,＋∞).設(shè)

所以h(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,h(x)＞h(1)＝0,所以成立,即k＞g′(x0)成立.

3 常量與變量的代換

有些數(shù)學(xué)題中的常量具有特殊性,暗示著某種巧妙的解題思路,并有尋求解題途徑的導(dǎo)向功能,如能充分挖掘、巧妙轉(zhuǎn)化,可以簡化運(yùn)算,優(yōu)化解題過程.

4 部分與整體的代換

對于較復(fù)雜的函數(shù),決定其性質(zhì)的往往只是函數(shù)的一部分,因此可將問題其轉(zhuǎn)化為對其局部的研究.

例4 (2016年北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝xea－x＋bx.曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y＝(e－1)x＋4.

(1)求a、b的值;

(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(1)a＝2,b＝e,f(x)＝xe2－x＋ex.

(2)對f(x)求導(dǎo)得f′(x)＝e2－x－xe2－x＋e＝e2－x(1－x－ex－1),因?yàn)閑2－x恒為正,所以f′(x)的正負(fù)由1－x－ex－1來決定,故可構(gòu)造函數(shù)g(x)＝1－x－ex－1,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)的最值問題.

總而言之,在高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用代換法,有利于簡化數(shù)學(xué)問題的求解過程,提升學(xué)生的解題能力.

陜西省延安市富縣高級中學(xué))