例析自主定義型問(wèn)題的求解

◇ 北京 丁益祥(特級(jí)教師)

例析自主定義型問(wèn)題的求解

◇ 北京 丁益祥(特級(jí)教師)

自主定義型問(wèn)題是指根據(jù)問(wèn)題的設(shè)計(jì)需要,人為地定義某個(gè)概念、某種運(yùn)算、某條規(guī)則等等,并要求按照這些自主定義的概念、運(yùn)算、規(guī)則處理的問(wèn)題.因此,讀懂并理解這些概念、運(yùn)算、規(guī)則的定義,對(duì)于解決這類問(wèn)題起著至關(guān)重要的作用.

1 自主定義新概念問(wèn)題

例1 設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集,若對(duì)任意x、y∈S,都有x＋y,x－y,xy∈S,則稱S為封閉集.現(xiàn)給出下列命題:

①集合S＝{a＋bi|a、b為整數(shù),i為虛數(shù)單位}為封閉集;

②若S為封閉集,則一定有0∈S;

③封閉集一定是無(wú)限集;

④若S為封閉集,則滿足S?T?C的任意集合T也是封閉集

其中所有真命題的序號(hào)是________.

按照題目中給出的定義,如果復(fù)數(shù)集C的一個(gè)非空子集S是封閉集,那么,必須滿足對(duì)于S中的任意2個(gè)數(shù),它們的和、差、積仍是S中的數(shù).因此,要完成題目中4個(gè)命題真假的判斷,必須依據(jù)封閉集的概念,逐一審視.

對(duì)于命題①,?x、y∈S,不妨設(shè)x＝a1＋b1i, y＝a2＋b2i,且a1、b1、a2、b2都是整數(shù),則

由于a1、b1、a2、b2都是整數(shù),所以a1±a2,b1± b2,a1a2－b1b2,a1b2＋a2b1都是整數(shù),所以x＋y∈S,x－y∈S,xy∈S,因此①正確.

對(duì)于命題②,?x、y∈S,由于S為封閉集,所以x－y∈S.取x＝y(tǒng),得0∈S,因此②正確.

對(duì)于命題③,若集合S＝{0},顯然S滿足封閉集定義中的所有條件,所以S是封閉集.但S是有限集,因此③錯(cuò)誤.

對(duì)于命題④,取S＝{0},T＝{0,1},滿足S? T?C.但由于0－1＝－1?T,故T不是封閉集,因此④錯(cuò)誤.

綜上所述,真命題是①、②.

例2 設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)(如[2]＝2,[5/4]＝1),對(duì)于給定的n∈N?,定義＝則當(dāng)x∈ [3/2,3)時(shí),函數(shù)的值域是________.

上述2個(gè)問(wèn)題,都是自主定義新概念問(wèn)題.例1自主定義了封閉集的概念.正確理解封閉集的意義,明確封閉集中元素的基本特征,并據(jù)此逐一分析所給命題,是解決問(wèn)題的基本方法.例2自主定義了一個(gè)新函數(shù)將命題視角聚焦在對(duì)新函數(shù)符號(hào)的閱讀和理解上.同時(shí),著意考查了函數(shù)的單調(diào)性及其值域、考查了閱讀理解能力、自主學(xué)習(xí)能力以及分類與整合的思想.由于符號(hào)“”與組合記號(hào)“”有著相同的結(jié)構(gòu)形式,極易弄混,因此,此題對(duì)思辨意識(shí)也有著較高的要求.

自主定義新概念是自主定義型問(wèn)題中的典型問(wèn)題之一,求解這類問(wèn)題,關(guān)鍵在于對(duì)自主定義的新概念的閱讀和理解.

2 自主定義新運(yùn)算問(wèn)題

例3 定義一種運(yùn)算“?”:當(dāng)m,n都是正奇數(shù)或都是正偶數(shù)時(shí),m?n＝m＋n;當(dāng)m,n一個(gè)是正奇數(shù)另一個(gè)是正偶數(shù)時(shí),m?n＝mn.則集合M＝{(a,b)| a?b＝36,a、b∈N?}中元素的個(gè)數(shù)是( ).

A 21; B 26; C 31; D 41

當(dāng)a、b都是正奇數(shù)或都是正偶數(shù)時(shí),a?b＝

36＝1＋35＝2＋34＝…＝34＋2＝35＋1,有35個(gè)(a,b);

當(dāng)a、b一個(gè)是正奇數(shù)另一個(gè)是正偶數(shù)時(shí),a?b＝1×36＝3×12＝4×9＝9×4＝12×3＝36×1,有6個(gè)(a,b).

綜上,集合M中共有41個(gè)元素.選D.例4 任意2個(gè)非零平面向量α和β,定義α?β＝若平面向量a、b滿足|a|≥|b|＞0,a與b的夾角且a?b、b?a都在集合{n/2|n∈Z}中,則a?b＝( ).

A 1/2; B 1; C 3/2; D 5/2

由定義,得

所以(a?b)∈(1,2).而(a?b)∈{n/2|n∈Z},所以a?.因此選C.

上述2個(gè)問(wèn)題,都是自主定義新運(yùn)算問(wèn)題.例3的求解,應(yīng)分正整數(shù)m、n奇偶性相同或奇偶性相異2種情況,并按題目中關(guān)于“?”的不同定義分別進(jìn)行運(yùn)算.例4自主定義了2個(gè)非零向量α和β之間的一種運(yùn)算“?”,讀懂這種運(yùn)算的意義,并注意運(yùn)算結(jié)果所在集合中元素的特征以及三角函數(shù)的有界性,是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

自主定義新運(yùn)算問(wèn)題,通常會(huì)對(duì)所給出的運(yùn)算符號(hào)賦予明確的意義,并給出與之“等價(jià)”的常規(guī)意義下的算式.處理這類問(wèn)題,一般只需把給出的算式當(dāng)作公式或法則使用,即可快速獲解.

3 自主定義新規(guī)則問(wèn)題

例5 為綠化環(huán)境,某地區(qū)大面積植樹(shù)造林,在區(qū)域{(x,y)|x≥0,y≥0}內(nèi)植樹(shù)(如圖1).第1棵樹(shù)在A1(0,1)點(diǎn),第2棵樹(shù)在B1(1,1)點(diǎn),第3棵樹(shù)在C1(1,0)點(diǎn),第4棵樹(shù)在C2(2,0)點(diǎn),接著按圖中箭頭方向每隔一個(gè)單位種2棵樹(shù),那么第2016棵樹(shù)所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是( ).

A (8,45);

B (9,45);

C (8,44);

D (9,44)

觀察圖中各正方形右上角頂點(diǎn)處所植樹(shù)的序號(hào)以及方向,不難發(fā)現(xiàn),正方形對(duì)角線OB1所在直線上的點(diǎn)(1,1)處種植第1×2棵樹(shù),點(diǎn)(2,2)處種植第2×3棵樹(shù),點(diǎn)(3,3)處種植第3×4棵樹(shù),……,點(diǎn)(n,n)處種第n(n＋1)棵樹(shù).并且,當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),由該頂點(diǎn)出發(fā)的箭頭方向向下,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),由該頂點(diǎn)出發(fā)的箭頭方向向左.

由此只需確定滿足不等式n1(n1＋1)≤2016≤n2(n2＋1)的正整數(shù)n1或n2即可.

因?yàn)?4×45＝1980＜2016＜2070＝45×46,所以與第2016棵樹(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為44.

又2016－1980＝36,所以第2016棵樹(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為44－36＝8.因此,第2016棵樹(shù)所在的點(diǎn)的坐標(biāo)是(8,44).

例6 甲、乙2人做報(bào)數(shù)游戲,游戲的規(guī)則是:2人從1開(kāi)始輪流連續(xù)報(bào)數(shù),第一個(gè)報(bào)數(shù)的人1必須報(bào),每人一次至少報(bào)1個(gè)數(shù),最多可以連續(xù)報(bào)7個(gè)數(shù),并且前一個(gè)人報(bào)完數(shù)后,后一個(gè)人必須接著前一個(gè)人所報(bào)的最后一個(gè)數(shù)往后依次連續(xù)報(bào)數(shù).例如:前一個(gè)人報(bào)數(shù)“1,2”,則后一個(gè)人可以有“3”,“3,4”,…,“3,4, 5,6,7,8,9”共7種報(bào)數(shù)方法.規(guī)則約定,誰(shuí)先報(bào)出“100”誰(shuí)獲勝.現(xiàn)從甲開(kāi)始報(bào)數(shù),若甲要想必勝,則甲第一次報(bào)出的數(shù)應(yīng)該是________.逆過(guò)來(lái)想.由于規(guī)則約定每人一次至少報(bào)1個(gè)數(shù),最多可以連續(xù)報(bào)7個(gè)數(shù),因此,若甲想下一次能報(bào)出100,則甲前一次報(bào)出的最后一個(gè)數(shù)必須是92.這樣,乙雖可以有“93”,“93,94”,…,“93,94, 95,96,97,98,99”共7種報(bào)法,但此時(shí),甲只需對(duì)應(yīng)報(bào)“94,95,96,97,98,99,100”,“95,96,97,98,99,100”,…,“100”,即可獲勝.

如此看來(lái),當(dāng)乙報(bào)m(1≤m≤7)個(gè)數(shù)時(shí),甲只需報(bào)8－m個(gè)數(shù),就可以搶先報(bào)出“100”.這是一個(gè)首項(xiàng)為100,公差為－8的等差數(shù)列問(wèn)題.易知,甲只需逐次搶先報(bào)出92,84,76,…,4,即可獲勝.因此,甲要想必勝,第一次報(bào)出的數(shù)應(yīng)該是“1,2,3,4”.

上述2個(gè)問(wèn)題,都是自主定義新規(guī)則問(wèn)題.例5規(guī)定了植樹(shù)的初始位置、株距間隔以及走勢(shì).求解此題我們從2個(gè)不同角度進(jìn)行了分析.分析1由正方形對(duì)角線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征與該點(diǎn)處所植的樹(shù)的序號(hào)之間的關(guān)系切入,通過(guò)直觀抽象和適當(dāng)?shù)挠?jì)算快速地解決了問(wèn)題.分析2通過(guò)與平方數(shù)的聯(lián)想,結(jié)合株距間隔以及箭頭走勢(shì)分析,也不難獲得正確的結(jié)果.例6規(guī)定了報(bào)數(shù)游戲的規(guī)則以及獲勝的標(biāo)準(zhǔn),通過(guò)逆向思維,利用倒推的方法,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了等差數(shù)列問(wèn)題來(lái)求解.

從以上2個(gè)問(wèn)題的處理過(guò)程,我們清晰地看到,問(wèn)題給出的規(guī)則是定律,只要我們真正理解問(wèn)題提出的規(guī)則,并且堅(jiān)決遵照?qǐng)?zhí)行,那么問(wèn)題必將迎刃而解.

自主定義型問(wèn)題在近年的數(shù)學(xué)高考中有著較高的考查頻率,讀懂自主定義的概念、法則、運(yùn)算或規(guī)則,并能真正理解和掌握,是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵.為此,我們既要重視課本中現(xiàn)成的概念、法則、運(yùn)算或規(guī)則的學(xué)習(xí)和應(yīng)用,又要善于從所給的材料中,學(xué)習(xí)領(lǐng)悟或抽象概括出課本中沒(méi)有的新的概念、法則、運(yùn)算或規(guī)則,進(jìn)而達(dá)到利用新概念、新運(yùn)算、新規(guī)則解決“從未見(jiàn)過(guò)的”新問(wèn)題的目的.

北京陳經(jīng)綸中學(xué))