二階常微分方程組正周期解的存在性

袁志宏

（呂梁學(xué)院　數(shù)學(xué)系，山西　呂梁　033000）

二階常微分方程組正周期解的存在性

袁志宏

（呂梁學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西呂梁033000）

文章考慮二階常微分方程組正周期解的存在性，用Green函數(shù)將求方程的解轉(zhuǎn)化為求積分算子T的不動點，并且給出了不動點存在的充分條件，這一結(jié)論推廣和改進了先前的結(jié)果.

二階常微分方程；周期解

本文主要考慮下列二階常微分方程組正周期解的存在性:

其中λ＞0，μ＞0為參數(shù)，連續(xù)，且f（·，u）:R→R+是t的T-周期函數(shù).

我們所考慮的問題（1）中的非線性項與文［1］相同.文［1］利用Krasnosel'skill's不動點定理，研究了周期邊值問題:

獲得了關(guān)于正解的存在性和多重性的結(jié)果.在文獻［2］中，Wang和An討論了當λ＞-π2時，在對f做合適假設(shè)的前提下，得到二階微分方程在Dirichlet邊值問題條件下有一個解或兩個解的結(jié)果.受此啟發(fā)本文利用錐上的不動點定理獲得了所研究問題的周期解的存在性和多重性的判別條件，主要利用Green函數(shù)將求方程的解轉(zhuǎn)化為求積分算子T的不動點.

函數(shù)（u，φ）是方程（1）的正T-周期解，當且僅當

（ii）u，φ滿足（1）式.

顯然，問題（1）的正T—周期解等價于下列周期邊值問題的正解:

于是，我們轉(zhuǎn)化為求問題（2）的正解.

1　相關(guān)概念及引理、定理

首先給出下列定義，引理及定理，它們在后面主要結(jié)論的證明中起著非常重要的作用.

引理2.1Green函數(shù)G有下列性質(zhì):

（b）存在C＞0，使得G（t，s）≤CG（s，s），t，s∈［0，T］；，其中C=eωΤ，

（c）存在σ＞0，使得G（t，s）≥σG（s，s）G（t，t），t，s∈［0，T］；對下列邊值問題

從而，問題（4）的解可以表示為

記［0，T］表示［0，T］上一切連續(xù)函數(shù)的全體，規(guī)定范數(shù)||u||=

則P0是C［0，T］中的錐.

定義積分算子T:P0→P0為

引理2.2算子T:P0→P0是全連續(xù)的.

證明設(shè)S是P0中的有界集，即存在a＞0，使得對任意的u∈S，有||u||≤a.再由引理2.1知，G是連續(xù)的，從而在閉區(qū)間［0，T］×［0，T］上有界，不妨設(shè)|G（t，s）|≤M，t，s∈［0，T］.于是

再證等度連續(xù).由于G在區(qū)間［0，T］×［0，T］上一致連續(xù)，即對任給的ε＞0存在δ＞0，使得當t1，t2∈［0，T］，|t1-t2|＜δ時，對一切s∈［0，T］，恒有|G（t1，s）-G（t2，s）|＜ε.于是對于u∈S，有

從而T（s）中諸函數(shù)等度連續(xù).

最后關(guān)于連續(xù)性，可容易證明.從而問題（4）的正周期解轉(zhuǎn)化為求算子T的不動點.

證明若u≥0是問題（4）的解，則

所以，

另一方面，結(jié)合（5）式，有

定義［3，定理4.4，p.314］E是Bannach空間，P?E是錐，設(shè)Ω1，Ω2是E中有界開集全連續(xù).如果滿足條件

引理2.4Y（P）?P，且T:P→P是全連續(xù)的.

3　主要結(jié)論與證明

定理2.2假設(shè)下列條件成立:

證明由條件（A3）知，存在c1＞0，r∈（0，1），使得q（x）≤c1x，x∈［0，r］，且使下列式子成立:由引理2.1以及條件（A2），當u∈?Br∩P時，可得

從而，

另一方面，由條件（A1）知，存在c2＞0，R1＞1使得

且滿足

再結(jié)合條件（A2）和引理2.1，有

利用定理2.1，問題（2）至少有一個正解.

定理2.3假設(shè)條件（A1），（A2）成立，且滿足條件:

有兩個正解.

證明由條件（A2）和（A5），對任意的u∈?BR∩P，有

即||Tu||≥||u||，u∈?BR∩P.

另一方面，由條件（A4）知，存在c3＞0，0＜r＜ρ使得

且滿足

再結(jié)合條件（A4）和引理2.1，當u∈?Br∩P時，有

故||Tu||≥||u||，u∈?BR∩P.由錐壓縮拉伸定理可得，T在中至少有兩個不動點，即問題（2）至少有兩個解.

〔1〕F.M.Atici，G.S.Guseinov，Positive periodic solutions for nonlinear difference equations with periodic coefficients，J.Math.Anal.Appl.232（1999）166-182.

〔2〕F.Wang，Y.An，Positive solutions for a second-order differentialsystem，J.Math.Anal.Appl.373（2011）370-375.

〔3〕郭大鈞.非線性泛函分析（第二版）.山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

〔4〕Z.Zhang，J.Wang，On existence and multiplicity of positive solutions to periodic boundary value problems for singular nonlinear second order differential equations，J.Math.Anal.Appl.281（2003）99-107.

O177.91

A

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