拓?fù)湟恢陆禈?biāo)與性質(zhì)(gω)

戴　磊

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

?

拓?fù)湟恢陆禈?biāo)與性質(zhì)(gω)

戴磊

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

摘要：Banach空間算子T滿足性質(zhì)(gω)當(dāng)且僅當(dāng)T在它的所有孤立的特征值處有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)且T*在T的上半B-Weyl譜的補(bǔ)集上具有單值擴(kuò)張性質(zhì)。另外，利用所得結(jié)論證明了代數(shù)paranormal算子和初等算子滿足性質(zhì)(gω)。

關(guān)鍵詞：性質(zhì)(gω)；拓?fù)湟恢陆禈?biāo)；代數(shù)paranormal算子；初等算子

0　引言

對(duì)線性算子譜理論的研究一直是算子理論中一個(gè)重要課題和熱門分支，Weyl型定理是譜理論中一個(gè)比較活躍的研究方向，而性質(zhì)(gω)是Weyl型定理變化性質(zhì)之一。近年來關(guān)于性質(zhì)(gω)的研究有許多，例如文獻(xiàn)[1-2]利用單值擴(kuò)張性質(zhì)分別研究了算子及其攝動(dòng)的性質(zhì)(gω)；文獻(xiàn)[3]研究了性質(zhì)(gω)與Weyl型定理之間的關(guān)系；文獻(xiàn)[4]利用變化的本性逼近點(diǎn)譜研究了算子的性質(zhì)(gω)；文獻(xiàn)[5]利用一致Fredholm指標(biāo)性質(zhì)研究了算子的性質(zhì)(gω)。本文主要利用拓?fù)湟恢陆禈?biāo)給出了Banach空間中有界線性算子T滿足性質(zhì)(gω)的一個(gè)等價(jià)刻畫，然后將所得結(jié)果應(yīng)用到了初等算子和代數(shù)paranormal算子上。

1　預(yù)備知識(shí)

本文中，X表示無限維復(fù)Banach空間，B(X)表示X上的有界線性算子代數(shù)。稱算子T∈B(X)為一個(gè)上半Fredholm算子，若R(T)閉且n(T)=dim(N(T))<；若d(T)=dim(X/R(T))<, 則稱T為一個(gè)下半Fredholm算子。算子T∈B(X)稱為Fredholm算子，若n(T)和d(T)都有限。算子T的指標(biāo)ind(T)定義為ind(T)=n(T)-d(T)。指標(biāo)為0的Fredholm算子稱為Weyl算子；指標(biāo)小于等于0的上半Fredholm算子稱為上半Weyl算子；指標(biāo)大于等于0的下半Fredholm算子稱為下半Weyl算子。算子T的升標(biāo)asc(T)為滿足 N(Tn)=N(Tn+1)的最小的非負(fù)整數(shù)，若這樣的整數(shù)不存在，則記asc(T)=；而算子T的降標(biāo)des(T)為滿足R(Tn)=R(Tn+1)的最小的非負(fù)整數(shù)，同樣，當(dāng)這樣的整數(shù)不存在時(shí)，記des(T)=。如果T的升標(biāo)和降標(biāo)均有限，則它們一定相等[6]，此時(shí)稱T為 Drazin 可逆的。記T的Weyl 譜、本性逼近點(diǎn)譜、Drazin 譜分別定義如下：

σw(T)={λ∈C:T-λ不為Weyl普及算子}；

σea(T)={λ∈C:T-λ不為上半Weyl算子}；

σD(T)={λ∈C:T-λ不為Drazin可逆}。

稱T在λ0處有單值擴(kuò)張性質(zhì)，如果任給λ0的開鄰域U(λ0)，f為U(λ0)→X上的解析函數(shù)且滿足(T-λI)f(λ)=0(λ∈U(λ0))，則恒有f≡0。如果T在任意點(diǎn)λ∈C都有單值擴(kuò)張性質(zhì)，則稱T有單值擴(kuò)張性質(zhì)。顯然，若intσp(T)=?，則T有單值擴(kuò)張性質(zhì)，于是T在任意λ∈isoσ(T)或λ∈Cσa(T)處都有單值擴(kuò)張性質(zhì)。

2　主要結(jié)論

定義1[7]設(shè)T∈B(X)，如果存在d∈N，使得對(duì)任意的n≥d，都有R(T)+N(Tn)=R(T)+N(Td)，則稱T有n≥d的一致降標(biāo)；如果R(T)+N(Td)還是閉集，則稱T有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)。

由文獻(xiàn)[8]知，當(dāng)T是半B-Fredholm算子時(shí)，T有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)。如果T有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)，根據(jù)文獻(xiàn)[9]中推論4.9可知T有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1設(shè)T∈B(X)且設(shè)λ∈isoσ(T)，如果T-λI有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)，則λ是T的一個(gè)極點(diǎn)。

下面記Π(T)為T的譜集中所有極點(diǎn)的全體，E(T)為T的譜集中孤立的特征值全體，顯然Π(T)?E(T)。

性質(zhì)2T在λ∈E(T)處有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)當(dāng)且僅當(dāng)E(T)=Π(T)。

證明如果E(T)=Π(T)，則任給λ∈E(T)，都存在p≥1，使得

X=N((T-λI)p)⊕R((T-λI)p)。

根據(jù)定義易知T在λ處有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)。反之利用性質(zhì)1可知。

如果T*有單值擴(kuò)張性質(zhì)，則T有性質(zhì)(gb)[1]。

另外，如果T在λ∈E(T)處有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)，則T有性質(zhì)(gω)。

下面定理說明T*的單值擴(kuò)張性質(zhì)假設(shè)可減弱到集合上半B-Weyl預(yù)解集上。

定理1設(shè)T∈B(X)，則T滿足性質(zhì)(gω)當(dāng)且僅當(dāng)下列敘述成立：

(1)T在集合E(T)上有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)；

推論1假設(shè)T在任意λ∈isoσ(T)處都有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)，

證明根據(jù)定理1，(1) 顯然成立，只需證(2)。

下面設(shè)H(σ(T))表示在σ(T)的某一鄰域內(nèi)解析且在σ(T)的任一分支上不為常值的復(fù)值解析函數(shù)全體。

定理2假設(shè)T在任意λ∈isoσ(T)處都有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)，

(1)如果T*有單值擴(kuò)張性質(zhì)，則任給f∈H(σ(T))，有f(T)都滿足性質(zhì)(gω)；

(2)如果T有單值擴(kuò)張性質(zhì)，則任給f∈H(σ(T))，有f(T*)都滿足性質(zhì)(gω)。

f(T)-λI=(T-λ1I)n1(T-λ2I)n2…(T-λkI)nkg(T)，

N(f(T)-λI)?N(f(T)-λI)∩R(f(T)-λI)={0}[9]。

于是f(T)-λI可逆，從而λ0∈isoσ(f(T))。由性質(zhì)2知λ0∈Π(f(T))，則λ0∈E(f(T))。反之，設(shè)μ0∈E(f(T))，且設(shè)f(T)-μ0I=(T-μ1I)n1(T-μ2I)n2…(T-μkI)nkg(T)，其中：μi≠μj(i≠j)，g(T)可逆。

(2)根據(jù)推論1(2)的證明過程可知，T*在任意λ∈isoσ(T*)處都有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)。如果T有單值擴(kuò)張性質(zhì)，則由類似于(1)的證明可知，任給f∈H(σ(T))，f(T*)都滿足性質(zhì)(gω)。

3　應(yīng)用

稱T為normaloid算子，如果對(duì)任意的λ∈C，都有算子T的譜半徑r(T)=‖T-λI‖。如果任給λ∈C，T-λI都是normaloid算子，則稱T是transaloid算子。由文獻(xiàn)[10]知，若T是transloid算子，則任給λ∈C，H0(T-λI)=N(T-λI)。記

H(p)={T∈B(X): 任給λ∈C，都存在p≥1，使得H0(T-λI)=N[(T-λI)p]}，

則transaloid算子?H(1)?H(p)。H(p)類算子涉及比較廣泛，它包括Banach空間中的廣義scalar算子、subscalar算子、totally paranormal算子及Hilbert空間中的hyponomal算子、p-hyponormal (0

X=H0(T-λI)⊕K(T-λI)

=N[(T-λI)p]⊕K(T-λI)

?R[(T-λI)p]=K(T-λI)

?X=N[(T-λI)p]⊕R[(T-λI)p]。

由拓?fù)湟恢陆禈?biāo)的定義知，如果T∈H(p)，則任給λ∈isoσ(T)，均有，T有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)。

推論2設(shè)T∈B(X)，

(1)若T∈H(p)，則任給f∈H(σ(T))，有f(T*)都滿足性質(zhì)(gω)；

(2)若T*∈H(p)，則任給f∈H(σ(T))，有f(T)都滿足性質(zhì)(gω)。

下設(shè)H為Hilbert空間，稱T∈B(H)是paranormal算子，如果任給x∈H，‖x‖=1，‖Tx‖2≤‖T2x‖。如果存在非常值多項(xiàng)式p，使得p(T)是paranormal算子，則稱T是代數(shù)paranormal算子。由定義易證

引理1(1) 若T∈B(H)是代數(shù)paranormal算子，則任給λ∈C，T-λI也是代數(shù)paranormal算子；

(2)若T∈B(H)是代數(shù)paranormal算子，T(M)?M，則T|M也是代數(shù)paranormal算子。

引理2[11]設(shè)T∈B(H)是代數(shù)paranormal算子，

(1)如果σ(T)={λ}，則T=λI；

(2)如果T是擬冪零算子，則它是冪零算子。

推論3設(shè)T∈B(H)是代數(shù)paranormal算子，則任給f∈H(σ(T))，f(T*)都滿足性質(zhì)(gω)。

證明因?yàn)門是代數(shù)paranormal算子，則存在非常值多項(xiàng)式p使得p(T)是paranormal算子。由于paranormal算子有單值擴(kuò)張性質(zhì)，則p(T)有單值擴(kuò)張性質(zhì)。因此T有單值擴(kuò)張性質(zhì)。

下證T在任意λ∈isoσ(T)處都有n≥d的拓?fù)湟恢陆禈?biāo)。

設(shè)λ∈isoσ(T)，利用譜投影可以把T表示為T=T1⊕T2，其中σ(T1)={λ}，σ(T2)=σ(T){λ}。若λ=0，則T1是擬冪零的代數(shù)paranormal算子，由引理2(2)知T1是冪零算子。因此T是可逆算子與冪零算子的直和，于是T是B-Weyl算子[12]。故T在0處有拓?fù)湟恢陆禈?biāo)。若λ≠0，由σ(T1)={λ}知σ(p(T1))=p(σ(T1))={p(λ)}。則p(T1)-p(λ)I是擬冪零算子。因?yàn)閜(T1)是paranormal算子，則由引理2(2)知q(T1)=p(T1)-p(λ)I=0。因此T是代數(shù)paranormal算子，根據(jù)引理2知T1-λI是冪零算子。因?yàn)門-λI是可逆算子與冪零算子的直和，于是T1-λI是B-Weyl算子[12]。故T在λ處有n≥d拓?fù)湟恢陆禈?biāo)。根據(jù)定理2(2)可知，任給f∈H(σ(T))，f(T*)都滿足性質(zhì)(gω)。

定義dTS為廣義導(dǎo)子δTS(X)=TX-XS或初等算子ΔTS(X)=TXS-X，其中T,S*∈B(H)是hyponormal算子，即|T|2≤|T|2，|S*|2≤|S|2。根據(jù)文獻(xiàn)[13]知，任給λ∈C，asc(dTS-λ)≤1且任給λ∈isoσ(dTS)，H0(dTS-λ)=N(dTS-λ)。因此，dTS有單值擴(kuò)張性質(zhì)，且任給λ∈isoσ(dTS)，dTS在λ處有n≥d拓?fù)湟恢陆禈?biāo)。由定理2(2)可知

推論4任給f∈H(σ(T))，f(dTS*)都滿足性質(zhì)(gω)。

參考文獻(xiàn):

[1] Berkani M, Sarih M, Zariouh H. Browder-type Theorems and SVEP[J].Mediterranean Journal of Mathematics,2011,8(3):399-409.

[2] Amouch M, Berkani M. On the Property (gω)[J].Mediterranean Journal of Mathematics,2008,(3):371-378.

[3] Amouch M. Polaroid Operators with SVEP and Perturbations of Property (gω)[J].Mediterranean Journal of Mathematics, 2009,6(4):461-470.

[4] 戴磊,曹小紅,孫晨輝. 廣義(ω)性質(zhì)的一個(gè)注記[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2010，(2):219-226.

[5] 戴磊,張建華,曹小紅,等.CFI算子和Weyl型定理(英文)[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2014，(4):590-598.

[6] Lauren K, Neumann M. An introduction to local spectral theory[M].Oxford：Clarendon Press,2000.

[7] Grabiner S. Uniform ascent and descent of bounded operaters[J]. Journal of the Mathematical Society of Japan,1982,34:317-337.

[8] Finch J. The single valued extension property on a Banach space[J].Pacific Journal of Mathematics,1975,58:61-69.

[9] Taylor A. Theorems on ascent, descent, nullity and defect of linear operator[J].Mathematische Annalen,1966,163:8-49.

[10] Curto R E, Han Y M. Weyl’s theorem, a-Weyl’s theorem, and local spectral theory[J].Journal of the London Mathematical Society,2002,67(2):499-509.

[11] Curto R E, Han Y M. Weyl’s Theorem for Algebraically Paranormal Operators[J].Integral Equations & Operator Theory,2003,47(3):307-314.

[12] Berkani M. Index of B-Fredholm operators and generalization of a Weyl theorem[J].Proceedings of the American Mathematical Society,2002,130(6):1717-1724.

[13] Duggal B P. Weyl’s theorem for a generalized derivation and an elementary operator[J].Matematicki Vesnik,2002,54(3):71-81.

【責(zé)任編輯牛懷崗】

中圖分類號(hào)：O177.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-5128(2016)16-0009-05

收稿日期：2016-03-18

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目：基于量子力學(xué)的算子譜理論問題研究(11501419)；陜西省軍民融合基金資助項(xiàng)目：與量子力學(xué)相關(guān)的算子譜論研究(15JMR20)

作者簡(jiǎn)介：戴磊(1983—)，男，河南滎陽人，渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院副教授，理學(xué)博士，主要從事算子代數(shù)與算子理論研究。

Topological Uniform Descent and Property(gω)

DAI Lei

(School of Mathematics and Physics, Weinan Normal University, Weinan 714099, China)

Abstract:A Banach space operator T satisfying property (gω) if and only if T has topological uniform descent for n≥dat all λ which are isolated eigenvalues of T and T*, and has the single-valued property in the complement of the upper B-Weyl spectrum of T. In addition, the results show that the property (gω) holds for algebraically paranormal operators and elementary operators.

Key words:property(gω); topological uniform descent; algebraically paranormal operators; elementary operators

【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】