淺談利用微積分知識求解高中物理中的疑難問題

費琳翔

（天津武清區(qū)楊村三中 天津 301700）

淺談利用微積分知識求解高中物理中的疑難問題

費琳翔

（天津武清區(qū)楊村三中 天津 301700）

微積分在高中物理解題中有著廣泛的應用，特別是一些公式推演以及解題方法都會涉及到微積分連續(xù)累積的思想，其對于物理概念以及物理定律的給出都有著一定的影響。本文將從自身在物理學習和解題中對微積分知識的運用進行闡述，從而提出微積分知識在求解高中物理疑難問題中的重要作用。

微積分；高中物理；疑難問題

微積分知識在高中數學課程中學習的比較淺顯，在物理課程的應用沒有得到足夠的重視，但微積分知識對于解決疑難物理問題有著重要的作用。在高三復習階段，基于已經掌握了一定的物理求導和積分知識，可以嘗試用微積分知識解決物理疑難問題。

1 利用微積分知識求解非線性變量的過程量

在求解非線性變量的過程量中，通常我會選擇一個微元作為分析對象，在分析其受力、狀態(tài)、變化等情況之后，將難以分析，不易確定的變量對象或物理變化過程拆分成一個小的處理單元，化整為零，在將每個區(qū)間內的問題整理之后，再將這些零散的問題整合起來，就可以得出想要的結果[1]。我曾經遇到過如下的物理問題，都是通過這種思路尋找解題答案的。

例如：如圖1所示，豎直向上方向上，磁感應強度為B的勻強磁場中，兩條相互平行，相距L的光滑平行金屬導軌P1P2P3-Q1Q2Q3，兩導軌間的電阻連接為R，導軌P2P3、Q2Q3處于同一水平面上，且P2Q2垂直P2P3，傾斜導軌和水平導軌均用相切的一小段光滑圓弧連接，長度忽略不計。在傾斜角為θ的斜導軌P1P2-Q1Q2上放置一根質量為m的細金屬桿AB，桿AB始終垂直于導軌并與導軌保持良好接觸?，F用沿P1P2方向的拉力F施加于桿AB，使桿AB在高h處由靜止開始向下做勻加速直線運動，當桿AB運動到P2Q2時撤去拉力，最終在CD處停下，測得CD與P2Q2之間的距離為s，不計導軌和桿A的電阻，不計空氣阻力。求：桿AB下滑過程中通過電阻R的電荷量q；桿AB運動到P2Q2處時的速度v；回路中最大感應電流I和桿AB在斜導軌上的加速度大小a。

圖1

將水平軌道上的運動分割成數個小段，每個小段有相對應的微小時間，設為△t，則對于每微小段時間△t內，借助牛頓第二定律，則為：

而a=△v/△t，把式子左右兩邊都乘以△t，則變成BiL△t=m△v

在進行求和得出∑Bil△t=∑m△v，將式子左邊的i△t替換成△q，

其中，∑i△t=∑△q=q1，q1為棒由P2Q2到停下來過程中通過AB橫截面的總電量，而，，式子右側的∑△v=v-0=v，即此段初末速度之差，即AB棒由P2Q2到停下來的過程中速度的變化量。

由于速度v出現，第三問的兩個問題也就此解決了：最大感應電流I是在P2Q2位置處，由E=BLv及，得出。由v2=2a，斜面加速度為：

在解決物理疑難問題時，我已經充分地認識到微積分知識在其中發(fā)揮的重要作用，因此，常將此種思想滲透到物理解題當中。

2 利用微積分知識求解物理量的瞬時值

在高三物理復習階段，處理物理圖像相關物理量的曲線某一點的切線的斜率的物理意義，即相應的縱坐標物理量和橫坐標物理量的比值的瞬間值。

在處理此類問題時，我首先要找出相應的導數對應的物理量的意義，位移關于時間函數的導數的物理意義等，通過比值求導出物理量的瞬間值。

例如，兩平行金屬導軌處于同一水平面上，每兩根導軌每米的電阻為r=0.1Ω/m，導軌的端點P、Q用電阻可忽略導線相連，兩導軌建的距離l=0.2m，隨著時間的變化，勻強磁場垂直桌面，已知B與t之間的關系B=kt（k=0.02T/s），其中一個電阻不計的金屬桿可以在導軌上無摩擦滑動，在滑動的過程中，保持與軌道垂直，在t=0的情況下，金屬桿緊靠P、Q端，在外力作用下，恒定加速度使桿從靜止狀態(tài)開始滑動，求：在桿滑動6s時，金屬桿受到的安培力。

常規(guī)解法：

在t時刻，金屬桿與初始位置的距離L=1/2at2，此時桿的速度v=at，此時桿和導軌構成的回路面積s=Ll，回路中的感應電動勢為BLv，而 B=kt，回路的總電阻為R=2Lr，回路中的感應電流為，作用于桿的安培力為F=Bli，由上解得出代入公式得F=1.44×10-3N。

微積分知識解法：

現下筆者將用導數來進行推理，以加深微積分知識運用的意義。

從已知的情況上分析，電動勢產生的原因有兩個：△B感生的；△s動生的，如此就很容易得出

用導數來解題，可以更好地幫助我理解解題含義，而且當物理題中有變量的情況下，問題處理起來更為方便。

3 利用微積分知識再現物理過程的本質

在處理物理問題時，若能拓寬解題思路，從多角度入手，問題就會更容易解決。

在解決物理疑難問題時，我曾遇到過這樣一道綜合性的問題：MN、PQ是兩個傾斜防置的平行金屬導軌，電阻忽略不計，其構成的平面與水平面成θ=37°角，導軌上端接阻值R=1.5Ω的電阻，導軌寬L=1m，磁感應強度B=1T的勻強磁場垂直導軌平面，垂直導軌跨接一金屬桿ab，ab的質量m=0.2kg，電阻r=0.5Ω，ab與導軌間的動摩擦因數u=0.5，ab桿從靜止開始，2s后開始勻速運動，求：ab勻速運動的速度v；ab加速運動過程中，通過R的電荷量Q；ab加速過程中，整個回路產生的焦耳熱Q。

首先我列出金屬桿的動力方程，即：

然后將等式兩邊進行積分處理，得出：

第三個問題是解決整個回路產生的焦耳熱，通常我可采用三種方法進行處理，即能量守恒、電流做功以及克服安培力做功[3]。在處理的過程中，方法3容易發(fā)生平均值求解錯誤，所以，在沒有十足的把握的情況下，筆者一般會采用前兩種方法進行解題[4]。通過對問題的全面分析，可以清晰地了解線路整個物理過程發(fā)生的本質，可以使我對物理規(guī)律的理解更為全面和深刻。當然，問題處理也就更得心應手了。

4 結束語

在高三物理復習階段，對于疑難問題的解決，運用微積分知識可以更好地幫助我理解問題并解決問題，從而有效提高了學習成績，為高考取得好成績創(chuàng)造了條件。

[1]滿桂花.利用微積分知識求解高中物理中的疑難問題[J].物理教師，2011，32（7）：64～65.

[2]冉芳.高中新課程改革下微積分知識的滲透之分析[J].科技風，2014，26（2）：224.

[3]李小棣.妙用微積分知識解決一個物理疑難[J].物理通報，2011，40（10）：39，57.

[4]王國士.巧用微積分活解物理題[J].物理教學探討，2013，31（6）：25～26.

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2016-2-10